求陰影部分面積的思路和方法

于秀坤

求與圓有關的陰影部分的面積是中考命題的熱點，解決問題時應根據(jù)圖形的特點靈活選擇方法.

一、直接利用公式計算

例1 （2019.梧州）如圖1，已知半徑為1的⊙O上有三點A、B、C，OC與AB交于點D.∠ADO=85°，∠ CAB=20°，則陰影部分的扇形OAC的面積是___.

解析：根據(jù)三角形外角的性質得到∠C= ∠ADO-∠CAB=65°.利用等腰三角形的性質求得∠AOC=50°，再由扇形的面積公式直接求陰影部分的面積，答案為5π/36.

點評：由等腰三角形的性質和三角形的內角和定理求出∠AOC的度數(shù)，直接利用扇形的面積公式求陰影部分的面積，

二、和差法

例2（2019.福建）如圖2，邊長為2的正方形ABCD的中心與半徑為2的OO的圓心重合，E、F分別是AD、BA的延長線與⊙O的交點，則圖中陰影部分的面積是____.

解析：延長Dc、CB分別交OO于M.N，觀察可發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積等于圓的面積與正方形的面積差的1/4，答案為π一1.

點評：本題采用和差法求解，這種方法是求陰影部分面積的常用方法，基本思路是把陰影部分的面積轉化為規(guī)則圖形面積的和或差.

例3 如圖3，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA =3，OB=2.將Rt△AOB繞點D順時針旋轉90°后得Rt△FOE.將線段EF繞點E逆時針旋轉90°后得線段ED.分別以O.E為圓心，OA、ED的長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD.則圖中陰影部分面積是（? ?）.

A. π

B.5π/4

C. 3+π

D. 8-π

點評：本題考查的是扇形面積的計算、旋轉的性質、全等三角形的性質.陰影部分顯然是不規(guī)則圖形，要求陰影部分的面積，需要將其轉化為規(guī)則圖形面積的和或差的形式.

三、割補法

例4（2019.通遼）如圖5，等邊三角形ABC內接于⊙O，⊙O的半徑為2.則圖中陰影部分的面積等于（? ?）.

A.π/3

B.2/3 π

C.4/3 π D.π

解析：觀察圖形可知

陰影包括兩部分，分別是一個三角形和一個弓形.連接OC，根據(jù)題意可知S△AOB= S△AOC，所以可把△ABO“補”到△ACO處，從而把陰影部分的面積轉化為扇形AOC的面積，計算∠AOC的度數(shù)，再利用扇形的面積公式可求得陰影部分的面積為4/3 π.選c.

點評：利用等面積割補法將不規(guī)則圖形的面積轉化為規(guī)則圖形的面積來求解，這種方法是求陰影部分面積的重要方法.當陰影部分不是一個整體時，通常可采用此方法.

四、等積法

例5 （2019.南充）如圖6，在半徑為6的OO中，點A，B，C都在⊙O上，四邊形OA BC是平行四邊形.則圖中陰影部分的面積為（? ）.

A.6π B.3√3π C.2√3π D.2π

解析：連接OB，根據(jù)平行四邊形的性質得到AB=OC，所以△AOB是等邊三角形，所以∠AOB=60°.由OC//AB，可得S△AOB= S△ABC，進而可知陰影部分的面積等于扇形AOB的面積，答案為A.

點評：解決本題的關鍵是借助平行線間的距離相等及同底等高的三角形的面積相等，把陰影部分的面積轉化為扇形的面積.

求陰影部分的面積的方法比較多，除了上述介紹的方法，還有一些求解方法，如對稱法、轉化法等，在求解時應根據(jù)已知條件并結合圖形的特點，選擇適當?shù)姆椒?