運用基本圖形巧證三角形相似

張小艷

有關相似三角形的問題較復雜，圖形變化多樣，但是復雜圖形都是由基本圖形組合而成的，掌握一些基本圖形的構成形式及性質，能準確、快速地解決問題.下面我們一起來認識一下相似三角形的基本圖形的幾種類型.

基本圖形一：A型圖

如圖1，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點.DE //BC.結合三角形的判定定理“兩組角對應相等的兩三角形相似”，可得△ABC，△ADE.這種基本圖形很像英文字母A，因此我們將它稱為“A型圖”.

變形1：如圖2，DE與BC不平行，∠AED=∠B，結合∠A=∠A，由相似i角形的判定定理可得△ABC∽△AED.

變形2：如圖3.DE與BC不平行，點E與點C重合，∠AED=∠B，結合∠A =∠A，可得△ABC∽△AED，即△ABC∽△ACD.

“A型圖”的特點：兩個相似三角形有公共角，并且有兩邊在同一條直線上.

例1 如圖4.在銳角△ABC中，點D、E分別在邊AC、AB上.AG⊥BC于點G，AF⊥DE于點F.∠EAF=∠ GAC.

（1）求證：△ADE∽△ABC.

（2）若AD=3 ，AB=5，求AF/AG的值.

分析：（1）根據(jù)求證的結論可以看出，△ADE和△ABC的位置關系是基本圖形中“A型圖”的圖2形式，尋找相似的條件即可證得結論.由于AG⊥BC.AF⊥DE，所以∠AFE=∠AGC=90°.又因為∠EAF=∠GAC，所以可得∠AED=∠A CB，結合公共角可證得△ADE∽△ABC.

（2）由相似三角形的性質可求比值，

解：（1）∵AG⊥BC，AF⊥DE，

∴∠AFE= ∠AGC=90°.

點評：對于符合“A型圖”特征的兩個三角形，常常要添加平行于三角形一邊的平行線，有時還要借助公共角來證明它們相似.

基本圖形二：X型圖

如圖5，D、E分別是△ABC的邊BA、CA的延長線上的點，DE //BC，因此可得△ABC∽△ADE，這種基本圖形被形象地稱為“X型圖”.

變形：如圖6，DE與BC不平行.當∠B=∠E時，結合∠BAC=∠EAD，可證得△ABC∽△AED.當AE：AB=AD：AC時，結合∠BAC=∠EAD.可得△ABC∽△AED.

“X型圖”的特點：兩個相似三角形有對頂角，并且有兩邊在同一條直線上.

例2如圖7，正方形ABCD的頂點A在等腰直角△DEF的斜邊EF上，EF與BC相交于點G.連接CF

（1）求證：△DAE≌△DCF.

（2）求證：△ABG'一△CFG.

分析 （1）由正方形ABCD和等腰直角三角形DEF，可以得到AD=DC，DE=DF.再找它們的夾角，利用“SAS”即可證得△DA E：△DCF.

（2）△ABG和△CFG的位置關系符合“X型圖”的特征，有一組對頂角，再找另一組相等的角即可，延長BA交ED于點M.由全等三角形的性質可知∠EAD=∠FCD，通過等量代換得到∠GAB=∠GCF，利用兩組角分別相等的兩個三角形相似即可證得結論.

點評：對于符合“X型圖”特征的兩個三角形，經常作平行線找相等的兩角，或者通過證明兩邊對應成比例及夾角相等來判定它們相似.

基本圖形三：K型圖

如圖9，若點C、A、D在同一條直線上，當∠C= ∠D= ∠BAE=90°時，利用互余的兩角關系可得∠B=∠EAD.所以得到△ABC∽EAD.這種基本圖形很像英文字母K，因此我們將它稱為“K型圖”.

變形：如圖10，若點C、A、D在同一條直線上，當/C=∠BAE=∠D時.由∠B+∠C=∠BAE+ ∠EAD得∠B= ∠EAD.所以得到△ABC∽△EAD.

“K型圖”的特點：兩個三角形各有一條邊在同一條直線上，并且只有一個公共點.

例3如圖11.在△ABC中，AB=AC.點E在邊BC上移動（點E不與點B、C重合），滿足∠DEF=∠B，且點D、F分別在邊AB、AC上.

（1）求證：△BDE∽△CEF

（2）當點E移動到BC的中點位置時，求證：FE平分∠DFC.

分析：（1）從△BDE和△CEF的位置關系上看符合圖10的“K型圖”的特征，思路是利用兩組角分別相等證明兩三角形相似.

根據(jù)等腰三角形的性質可得∠ B=∠C.

易知∠B+ ∠BDE= ∠DEF+∠FEC，可得∠BDE=∠FEC.

結合以上結論可證得△BDE∽△CEF.

點評：有關“K型圖”的問題通常用“兩組角分別相等的兩三角形相似”的判定方法來解決.只有挖掘角與角之間的關系才能找到兩組分別相等的角。