應用題解決的心理學研究及其對中學數學教學的啟示

呂立夏　喻平

摘要：應用題解決的心理學研究主要集中在問題表征、情境因素、解題策略、模式識別、元認知及非智力因素對應用題解決的影響等方面。將相關研究成果應用于中學數學應用題教學，可以提煉出幾點策略：豐富領域知識，形成扎實基礎;加強審題訓練，提升表征水平;構建變式問題，促進知識遷移;設計自我提問單，提高監控技能。

關鍵詞：應用題解決 領域知識 問題表征 模式識別 元認知

應用題解決是數學學習的難點，因而成為心理學研究關注的問題。應用題解決的心理學研究主要集中在問題表征、情境因素、解題策略、模式識別、元認知及非智力因素對應用題解決的影響等方面。本文對相關研究做簡要介紹，并由此提出中學數學應用題教學的幾點策略。

一、心理學對應用題解決的一些研究

（一）問題表征

問題表征是指通過審題，明確給定的條件、目標和允許的操作，檢索、激活頭腦中與之相關的知識和經驗，將外部的物理刺激轉化為內部心理符號，形成問題空間的過程。西蒙認為，問題表征是問題解決的一個中心環節，它說明問題在頭腦中是如何表現出來的。有時候問題解決的難度并不在問題本身，而在于解題者對問題表征的方式。

問題表征是一個逐步深化的過程。傅小蘭等就一道應用題對34名學生進行測試，通過分析被試的解答，得出被試對問題進行表征、建立問題空間的一般過程。第一，問題信息的搜索和提取。在這個過程中，解題者需要從問題陳述中、長時記憶中提取全部有關信息;一旦搜索問題信息時遺漏了某些信息，建構的問題空間就不完整，也就無法求得問題的正確解。第二，問題信息的理解和內化。在這一過程中，解題者需要對搜索和提取的問題信息做深加工，從而正確地理解和利用問題信息，發現問題的結構，構建自己的問題空間。第三，發展隱喻約束條件與意識化，即對問題規則（約束條件）的理解和掌握在構建正確的問題空間中起著重要的作用。問題表征過程中的任何環節出了差錯，都將導致構建出錯誤的或不完整的問題空間。因而，正確的問題表征是解決問題的必要前提。

Mayer依據提取信息的不同將問題表征劃分為數字表征、關系表征、圖式表征三種類型。數字表征指依據問題中的數字關系理解問題;關系表征指依據問題中的變量關系理解問題;圖式表征指依據問題的內在結構理解問題。有學者依據問題的表征形式對問題做分類：（1）字面特征分類，即依據題目的文字描述而非從數學角度做出的分類（例如，把題目內容是食品的歸為一類）;（2）表層結構分類，即依據題目的表面信息而非從數學本質角度做出的分類（例如，把題目內容是路程問題的歸為一類）;（3）深層結構分類，即依據題目的數學本質做出的分類（例如，把有關路程內容的問題分為追擊問題、相遇問題等）。馮虹等的研究表明，隨著年級的增高，學生越來越傾向于按照題目的深層結構分類，數學成績優秀生與差生分類的結果差異顯著。

問題表征離不開對信息的搜索和提取，離不開專門知識（也就是領域知識）的支持。有研究表明，領域知識不同的學生在問題表征過程中具有不同的特點：領域知識豐富的學生更傾向于深層次表征問題，而領域知識貧乏的學生更傾向于淺層次表征問題。也就是說，如果學生頭腦中具備豐富的公式、定理、問題原型和應用題模式，那么其更傾向于對問題做深層次表征，從而正確地解決問題。張維的研究也證實了這個結論。研究采用“學習—再認”范式，研究學科領域知識豐富性不同的學生（依據數學學業成績分類）在問題表征層次上的特點。“學習—再認”是指讓被試先學習一個材料，然后進行測試，判斷測試題中是否出現了前面學習過的東西，包括表面特征和原理特征。結果表明，“知識豐富組”表征問題除了采用表面特征外，還會對原理特征進行表征;“知識貧乏組”為避免干擾，會丟棄原理特征，往往用表面特征來識別問題。

（二）情境因素

應用題的表述往往是有情境的，那么情境是否會對問題解決產生影響？不少學者對此進行了研究。Zhang通過“TicTacToe”式同型游戲問題發現，問題的外部結構與情境不僅是對內部意識的輸入和刺激，而且具有獨立于內部表征的作用，就此提出了問題的外部表征概念。他認為，外部表征是指問題情境的成分和結構，外部表征的信息只能被知覺系統察覺、分析和加工。邢強等通過對相關文獻的整理、分析，提出數學應用題的外部表征影響因素主要包括文本表面特征、文本內容熟悉程度、符號、插圖、問題與文本的呈現位置、不同的措辭、情境內容的現實性等。

趙繼源基于一道零分率超過60%的高考數學試題——“冷軋機”應用題，設計了6道對比應用題，對高二學生展開測試。結果發現，應用題背景的熟悉程度對學生解題有顯著影響;對于背景熟悉的題目，數據抽象與否對解題影響不顯著，但在陌生背景下則達到了顯著水平;對于背景陌生的題目，即使凸顯關鍵信息，其影響也不明顯。他還進一步發現，對于中等或中下水平的學生而言，凸顯關鍵信息對于解題不會有任何幫助，但對于數學基礎較好的學生，凸顯關鍵信息對于解題有明顯的啟發作用。

章巍將代數應用題的語言描述特征分解為語量、語境、語序和關鍵詞的隱蔽程度四個指標，通過實驗逐一研究每個指標與解題效果的關系。結果表明：語量對初二學生解答代數應用題效果的影響明顯，“學困生”相對于“學優生”更容易受語量的影響;語境對解答代數應用題效果的影響明顯;語序對解答代數應用題的效果有一定程度的影響，但不夠顯著;關鍵詞的隱蔽程度對解題結果有一定程度的影響，但不夠顯著，而對解題時間的影響卻非常顯著，即大多數學生面對關鍵條件隱蔽性較強的代數應用題時，會花費大量時間去尋找和發掘這些條件。

情境內容的真實性是指數學應用題的背景是真實存在的。一些學者據此定義了規則應用題和不規則應用題：規則應用題即傳統的應用題，題目規范，條件充分，答案唯一;而不規則應用題由于背景真實，條件可能多余，也可能不足，答案可能無解，也可能有多解。學生解決不規則應用題時，不僅要結合數學知識，而且要基于日常生活經驗。Sweller等提出的認知負荷理論可以解釋為何有多余條件的應用題對學生來說是最難的。該理論認為，在解決有多余信息的問題時，解題者必須對兩種信息進行加工，即正確解題所需的信息以及多余信息;解題者首先需要集中精力來區分這兩種信息，然后才能對解題有關的信息進行充分的表征。

馮虹等用眼動分析法分析不同年級學生對不同類型題目（完整的、有多余條件的、缺少條件的和缺少問題的題目）的表征層次和解題策略。結果發現：不同年級學生對“題設”的相對注視次數（被試在某個興趣區的注視次數占全部注視次數的百分比）的差異并不顯著，但是對“關鍵信息”的相對注視次數則表現出了明顯的年級特征;學生解規則題目時對“題設”的相對注視次數非常顯著地小于不規則題目，解不規則題目時對“關鍵信息”的相對注視次數顯著大于規則題目。實驗還發現，學生解缺少條件的題目時正確率最高，原因在于學生對題目進行深度表征后，會添加一些很容易解答的條件或問題;而解有多余條件的題目時正確率最低，說明有多余條件的題目對學生而言最難解決。

（三）解題策略

解決應用問題有一些策略（最常用的就是畫圖策略）。信息區分策略是指在解題過程中將題目背景及問題分析成語義單元，對信息類型進行檢驗、區分，找出信息之間的相關性，目的是對這些信息進行比較，進而與問題相匹配。Littlefield等通過觀察學生的眼動軌跡，發現學生一共使用了5種區分策略。（1）重讀題目策略：通過重復地閱讀題目，將部分信息及語義特征貯存到工作記憶中，然后對信息進行比較。（2）單一比較策略：在數字及關系詞之間進行簡單、直接的比較，可能會根據問題部分的要求直接列出方程。（3）以特征為基礎策略：在題目中尋找與問題部分的語義特征相匹配的語義特征，通常會將注視點集中在變量名或與問題部分相似的事件、概念上。（4）“問題—引導”策略：以問題部分的語義特征為指導，對信息進行分析。（5）首次讀題區分策略：對語義類型進行區分，找到解題所需的關鍵信息，將注視點集中在關鍵信息和相關數字信息上。岳寶霞等以初二學生為被試，采用眼動分析法探討了題目難度、冗余信息和數學成績對學生采用信息區分策略的影響，結果證實了學生解答應用題存在上述5種策略。

人們關注的另一個問題是，能力水平不同的學生是否會采用不同的策略解決問題。張錦坤等運用作品分析法分析初二優秀生、中等生和差生對兩道中等偏上難度幾何應用題的解答情況，以此探討各層次學生解答應用題的策略類型。分析發現，不同水平的學生在兩道幾何應用題的解題過程、解題步驟上所使用的策略是不同的：優秀生的解題策略為“俯瞰型”，他們能深刻理解問題，通過不斷創造中間條件靈活連接條件與問題的關系;中等生為“經驗型”，表現為過度依賴過去的解題經驗，對問題與條件之間關系的綜合把握不夠靈活;差生為“盲目型”，表現為對解題的目的指向性不強，只是試探性地從已知條件中推導出一些結果。

（四）模式識別

數學應用題存在模型，這是數學教師在教學實踐中總結出來的經驗。在問題解決中，解題者調用頭腦中的模型來解決當前問題，就是模式識別。

施鐵如通過對初一年級兩組學生的對比實驗發現：能否識別應用題的類型在很大程度上決定著能否迅速、準確地解答問題;要正確識別應用題的類型，需要從具體的語義情境中分出確定的、一般的結構關系，這既依賴于對當前題目信息的加工，也依賴于對記憶中貯存的有關信息的搜尋;識別題目類型的訓練有利于形成解題技能，而這種訓練應該圍繞模型選擇多種多樣的變式習題來進行。

王亞同等將例子的概括化程度稱為圖式化程度。圖式化本質上就是一種模式化。他們研究發現，利用由結構類似性形成的代數圖式可以比較容易地解決目標問題。

陸昌勤等做了對比實驗：在實驗班采用解答代數應用題的認知過程模式教學——對每道題目，學生都要填寫表1;在控制班按照傳統方式教學。結果表明，實驗班學生解題正確率非常顯著地高于控制班，因為實驗班學生的頭腦中形成了解決問題的模式，有優良的認知結構。

（五）元認知及非智力因素

許多研究證實，元認知及非智力因素對問題解決有顯著影響。童世斌等采用對比實驗，對實驗班進行兩個階段的訓練。第一階段，訓練掌握元認知知識，即解決問題的有效思維策略。訓練內容包括：準確理解題意，理清復雜的數量關系，尋找隱含的數量關系，總結解題思路。第二階段，訓練元認知監控。利用“元認知監控自我提問單”訓練學生通過自我監視和控制來確保自己在問題解決過程中運用所學的策略性知識。結果表明：學生的思維策略訓練效果顯著，中等生、差生的效果尤為顯著;在思維策略訓練的基礎上加上元認知監控訓練，能夠更有效地提升解答數學應用題思維訓練的效果。

由于數學應用題的篇幅長、背景陌生，不少學生對數學應用題有著與生俱來的畏懼感。數學焦慮是情感，也是認知方面對數學的恐懼，指學生在數學學習過程中由于過度的擔心和憂慮而引起的一系列生理上和心理上的消極狀態。宋廣文等通過對初中學生進行測量研究，發現數學焦慮對解答應用題的成績具有一定的負向作用。

二、對中學數學教學的啟示

上述應用題解決的一些心理學研究，可以給我們一些有益的啟示，從而提出如下幾點中學數學應用題教學策略。

（一）豐富領域知識，形成扎實基礎

掌握基礎知識，形成基本技能，是教學三維目標中的第一維，也是學生發展數學核心素養的基礎。事實上，上述關于領域知識的豐富的心理學研究，本質上就指向“雙基”的扎實性。基礎知識的厚實、基本技能的嫻熟，不僅對解決應用題有舉足輕重的作用，而且對解決所有的數學問題都至關重要，是數學學習質量高低的一個顯性指標。

在應用題教學中，要豐富學生的數學領域知識，可考慮如下兩點：

首先，幫助學生在長時記憶中貯存必需的公式、定理和法則。解決應用問題會用到大量的數學公式，如速度公式、濃度公式、復利公式等。不僅如此，解決應用題還會用到一些跨領域的知識。一是數學學科內部的跨領域。比如，許多應用題都與距離有關，而距離是線段的長度，因而，大多數求距離的應用題，可能會與平面幾何、三角函數、解析幾何的一些公式、定理有關系。二是跨學科領域。比如，解決數學應用問題可能會用到物理、化學、生物等學科的相關公式、法則。因此，記憶重要的知識是解答應用題的必要條件，教師應該將知識分門別類，幫助學生形成知識體系，有序貯存知識。

其次，幫助學生總結題目類型，形成解題模式。如前文所述，心理學的相關研究表明，對模式進行有效的識別是解決應用問題的關鍵。波利亞也提倡解題模式的訓練，他提出的笛卡兒模式、雙軌跡模式等就是數學解題模式的典范。事實上，許多學生對應用題的錯誤解答，或者是因為無法識別題目類型，或者是因為錯誤識別題目類型。因此，教師要幫助學生養成辨析問題類型的習慣，提升識別模式的能力。當然，這樣做的前提是學生頭腦中具備相關的模式。對此，可以采用“解題總結、分門別類、提煉方法、形成模式”的路徑。

（二）加強審題訓練，提升表征水平

審題與問題表征直接相關，審題的質量影響問題表征的質量。因此，加強對學生審題的訓練十分必要。

審題教學可以分為以下幾步：分層理解，分類整理，分步反推。首先，引導學生采用“首次讀題區分策略”通讀題目，對題目信息中的問題背景、基本元素的數量或位置關系、解題目標進行分層理解。第一遍通讀，主要了解問題背景、明確解題目標。其次，引導學生采用“‘問題—引導策略”“以特征為基礎策略”等進行精讀，在問題的引導下借助圖形或表格清晰地表述關鍵信息，并將文字語言進行初步的數學表征。第二遍精讀，關注與解題相關的數量或位置關系。最后，引導學生分步反推，尋找已知條件與解題目標之間的聯系、隱含信息以及相關知識。

例1（2020年高考江蘇數學卷第17題）某地準備在山谷中建一座橋梁，橋址位置的豎直截面圖如圖1所示：谷底O在水平線MN上，橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）。經測量，左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關系式h1=140a2;右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關系式h2=-1800b3+6b。已知點B到OO′的距離為40米。

（1）求橋AB的長度;

（2）計劃在谷底兩側建造平行于OO′的橋墩CD和EF，且CE為80米，其中C、E在AB上（不包括端點）。橋墩EF每米造價k（萬元），橋墩CD每米造價32k（萬元）（k>0），問：O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

1.分層理解。

通讀題目后，可將題目的文字信息初步分為3個層次。第一層次：問題背景——在山谷中建橋梁;第二層次：與橋梁相關的元素的數量與位置關系;第三層次：解題目標——橋的長度、橋墩總造價何時最低。

2.分類整理。

了解問題背景和解題目標后，采用“問題—引導”策略精讀基本元素的數量與位置關系信息。教師可以引導學生借助表格對相關信息集中整理（得到下頁表2），使學生比較清晰地抓住關鍵信息。

3.分步反推。

（1）橋AB的長度。

①題目的目標是什么？可以怎么理解？

“橋AB的長度”，即線段AB的長度，點A與點B之間的距離。

②題目的條件是什么？可以怎么理解？

條件1：“橋AB與MN平行，OO′為鉛垂線（O′在AB上）;點B到OO′的距離為40米”。結合圖形，已知BO′=40，只要再求出AO′的長度，就可以求出AB=AO′+BO′。

條件2：“左側曲線AO上任一點D到MN的距離h1（米）與D到OO′的距離a（米）之間滿足關系式h1=140a2”。這里的a、h1都是正數，并且只要知道其中一個的值，就可以通過關系式求出另一個的值。

條件3：“右側曲線BO上任一點F到MN的距離h2（米）與F到OO′的距離b（米）之間滿足關系式h2=-1800b3+6b”。與條件2的理解相同。除此之外，還已知b的一個取值BO′=40，可以求出h2的一個取值——OO′的長度。

③題目的條件和目標有哪些數學聯系？

線段AB的長度←AO′的長度←OO′的長度←h2=-1800b3+6b，b=40。

（2）O′E為多少米時，橋墩CD與EF的總造價最低？

①題目的目標是什么？可以怎么理解？

求出O′E的長度，使得橋墩CD與EF的總造價最低?？梢赃@樣理解：橋墩的總造價與O′E的長度有關，需要求出二者之間的關系式。

②題目的條件是什么？可以怎么理解？

條件1：“CE為80米”。結合圖形，已知CE=80，那么知道了O′E的長度，也就知道了CO′=CE-O′E。

條件2：“橋墩EF每米造價k（萬元），橋墩CD每米造價32k（萬元）（k>0）”。由此可知，只要求出EF和CD的長度，就能知道總造價。

③題目的條件和解題目標有哪些數學聯系？

總造價←EF和CD的長度←EF=EF1-FF1，CD=CD1-DD1，且CD1=EF1=OO′←DD1=140CO′2，FF1=-1800O′E3+6O′E←CO′+O′E=CE=80←設O′E=x。（D1、E1分別為直線CD、EF與直線MN的垂足）

（三）構建變式問題，促進知識遷移

設計數學應用題時，可以考慮對一個起點問題（稱為源題）進行變式，得到相同問題、相似問題、同型問題、相異問題。相同問題是指與源題有相同的問題情境和解題原理，屬于近遷移題;相似問題是指與源題有相同的問題情境、不同的解題原理，屬于中遷移題;同型問題是指與源題有不同的問題情境、相同的解題原理，屬于中遷移題;相異問題是指與源題有不同的問題情境和解題原理，屬于遠遷移題。

對于相同問題，通過教師對例題的講解，學生容易實現遷移，因為這是一種模仿性解題行為。對于相似問題，由于問題情境不變而解題原理變了，學生容易受到情境的影響產生負遷移，即還是企圖利用原來的原理解決，因此，解決起來存在一定的困難。對于同型問題，由于問題情境變了而解題原理不變，教師應當注意引導學生從不同的情境中概括出相同的原理，這樣不僅可以提高學生解決問題的遷移能力，還能發展他們的數學抽象素養。

例如，有些代數應用題可以使用“單價×數量=總價”“速度×時間=路程”“工作效率×工作時間=工作量”等數量關系來解決。如果教師將這一系列同型問題的解答過程放在一起，引導學生歸納出一個更具有概括性的數量關系，即“單位量×單位時間=總量”，就達到了同型問題的訓練目的。

例2（源題）客車從甲地到乙地需要20小時，貨車從乙地到甲地需要30小時，現在兩車分別從甲乙兩地同時相向開出，多少小時后兩車相遇？120x+130x=1

（相同問題）湯姆從自己家開車到比爾家需要4小時，比爾從自己家開車到湯姆家需要3小時。如果他們同時從自己家開車向對方家駛去，要多久才能見面？14x+13x=1

（同型問題）①將1400元獎學金按照兩種獎項獎勵給22名學生，其中一等獎每人200元，二等獎每人50元，則獲得一等獎的學生有多少人？[200x+50（22-x）=1400]

②買了共138米的兩種布料，花了540元，其中藍布料每米3元，黑布料每米5元，則兩種布料各買了多少米？[3x+5（138-x）=540]

（相似問題）兩輛汽車從相距84 km的兩地同時出發相向而行，甲車的速度比乙車的速度快20 km/h，半小時后兩車相遇，則兩車的速度各是多少？12x+12（x+20）=84

以上的源題、相同問題、同型問題、相似問題可以讓學生依次解答。學生全部解決后，教師可以同時呈現問題以及對應的方程，引導學生歸納出更一般的數量關系——“部分1+部分2=總體”。這樣，學生即使遇到背景陌生的應用題，只要抓住這個數量關系，去題目中尋找信息，將部分與整體分別用代數式表示出來，就可以解決一大類應用題。

（四）設計自我提問單，提升監控水平

心理學研究表明，優秀生在解決應用題時能有效地監控自己的認知加工過程，而中等生、差生則缺少有效的自我監控，但經過一段時間的元認知訓練后，中等生、差生解題效果有顯著的提升。因此，在教學中，教師應該有意識地對學生進行元認知訓練。

元認知訓練可以分為內隱訓練和外顯訓練。內隱訓練主要是通過在教學過程中示范性地解釋解題所用的程序性知識和策略性知識，讓學生體會元認知策略的有效性;外顯訓練可以通過制作一個與課堂傳授的元認知策略相一致的“元認知監控自我提問單”，要求學生在解題時回答相應的問題，達到監控自己認知加工過程的目的。當學生對這一系列的元認知策略應用自如時，說明他們已將元認知知識內化，可以不再要求他們在解題時填寫提問單。

“元認知監控自我提問單”的設計，可以以波利亞的“怎樣解題表”為基礎，根據不同時間段、不同知識點進行相應的修改。例如，上述例1審題教學中的“分步反推”環節所提的問題即是“元認知監控自我提問單”的部分問題。

整體地看，“元認知監控自我提問單”可以分為以下三個部分：

（1）審題環節：①問題的背景是什么？②解題目標是什么，應當怎么理解？③已知條件是什么，可以怎么理解？④能畫一個表或者一張圖，將題目中的關鍵信息表示清楚嗎？

（2）擬定、執行方案環節：①已知條件和解題目標之間有哪些數學聯系？②如果看不出有哪些聯系，再觀察解題目標，能否想出一道自己熟悉的具有相同或相似解題目標的問題？③如果感覺數據太抽象，能否用具體的數據替換抽象的數據尋找解題思路？

（3）回顧反思環節：①能否判斷每個步驟都是正確的？②問題的答案是否有現實背景？③回顧解題過程，遇到了什么困難？有哪些收獲？④解題方法是否具有一般性？是否能在其他題目的解答中利用這個方法或思路？

*本文系喻平教授團隊的“數學學習心理學研究及其教學啟示”（中學）系列文章之七。

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