中考數學試題中動點問題的解法教學

安徽省合肥市第四十五中學 孫莉莉

一、妙用相對運動原理，求解中考動點問題

在中學物理知識學習過程中，針對那些復雜度比較大的運動學問題，一般會采取相對運動原理來進行求解，其中，參照物選擇的合理性會對整體的求解質量與效率產生直接影響。如果選擇的參照物非常符合實際的題目分析需求，那么可以將問題大大簡化。同理，如果在求解中考動點問題的類型題過程中可以靈活地運用相對運動原理，對定點和動點之間的關系進行有效處理，那么常常也會起到非常關鍵的問題簡化作用，提高問題求解的效率。

例1：在圖1 中，已知正六邊形的邊長為2，其中頂點A 和頂點B 分別位于坐標系的x、y 軸上，試求正六邊形的頂點D 和坐標系原點O 之間最小值與最大值的乘積。

二、把握動與靜的關系，求解中考動點問題

動點與定點二者本來是處于相對狀態的，如果在求解動點問題的時候很難確定動點的實際運動軌跡，那么可以充分發揮動與靜二者之間的關系，采取“動定轉換”的策略，直接將動點問題確定為轉換之后的軌跡，這樣就可以利用“動定轉換”的策略來簡化動點問題，降低其求解難度，最終可以將一些不明顯的動點問題轉化為比較熟悉且具有簡單規律的數學解題模型。

解析：這里我們主要分析第（3）題。基于題干信息可知，為了求出線段AP 的最小值與最大值，由于三點分別在線段上做運動，所以主要以菱形作為主要參考對象。其中點P 與點A 分別是動點與定點，但是這種建立動點的運動形式要求出運動軌跡非常困難，增加了中學生的學習難度。如果可以采取“動定轉換”的策略，將線段EF 當成參考系，那么可以確定線段EF 會處于保持靜止狀態，而菱形則會處于相對運動狀態，其中，P 點為定點，而A 點則相應地處于動態變化狀態，這樣只需要對定點A 的實際運動軌跡進行確定即可，最終可以快速求解出這道動點問題的答案。

∵∠BAD=60°，所以點A 的運動軌跡實際上就是除了E 點和F點之外的以F 點、A 點和E 點構成的圓弧部分，這樣可以便捷地確定∠EPF=120°，由此可知P 點在△EAF 的外接圓O 上，這樣就可以確定AP 的最小值和最大值分別為半徑與直徑狀態，即分別為4 和8，這時候對應的圖形位置分別如圖4 所示。

由此可知，在求解中考數學動點問題期間，可以靈活地運用“動定轉換”的策略，將問題進行適當簡化，這樣往往可以快速確定求解問題的突破口，快速解決相應的數學動點問題。

三、歸納常見題型解法，求解中考動點問題

通過對中考數學試卷中關于動點問題的題型進行歸納、總結和分析，可知其主要包括“動點”與“動線”兩種類型，其中前者還可以根據動點的數目不同分成單個動點或雙個動點。與此同時，在涉及的具體動點問題中，常常會以函數類題目、最短距離類題目、存在型題目、最值類題目等形式存在，所以為了更加快速地求解相應的數學問題，可以結合這些常見的動點題型，做好解題方法的歸納和總結，這樣才能不斷提升求解動點問題的能力。

例3：在圖5 中，某一矩形ABCD 的長邊與短邊分別為4 和3，其中P 是一個在矩形邊上運動的動點，現從A 點出發，依照點A、點B 和點C 的順序在邊AB 和BC 上面移動，假定PA=x，其中頂點D 與直線PA 間距離為y，則y與x 之間的函數關系曲線類似于下述哪一個圖像（ ）。

解析：動點P 位于邊AB 上移動時，點D 和AP 之間的距離實際上就是AD 的長度。而點P 在BC 邊上進行移動的時候，依據AD∥BC，可知∠APB=∠PAD，所以結合相似三角形的相關比例關系，可以順利地求出函數y 與變量x 之間的關系式。借助這種分析就可以對其中包含的函數規律和關系進行快速概括，最終求出問題。此外，針對最值等不同類型的動點問題，也要注意歸納不同題型的常用求解技巧與方法。