以問題串為燈照亮一次函數的復習方向

福建省漳州第一中學 顏月紅

在初中研究一次函數的過程中不停地滲透著數形結合的思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想，所研究的內容和方式對后續函數的學習都起到鋪墊和類比的作用，因此，學生對一次函數知識的認識及掌握情況在整個初中階段的學習中顯得尤其重要。在中考總復習過程中，教師采用問題串的形式組織教學，通過富有層次性的問題串，幫助學生理清知識點之間的關系，進一步引導學生完成一次函數的中考復習過程。

模塊一：基礎知識復習

例1：請寫出一個過點（1，2）的一次函數的表達式。

問題串：（1）你求出的表達式是唯一的嗎？

（2）請說說你是怎樣求的，條件是什么？為什么可以是那樣的條件？

【設計意圖】因為正比例函數是特殊的一次函數，值的確定只需一個點，所以大部分學生寫出了y=2x 這個表達式。老師可以再追問兩個問題來引發學生思考，一次函數y=kx+b 的表達式的確定需要兩個條件，在已知的一個條件下，學生至少還有3 種添加條件的方式，可以是一個點，可以是k 的值，也可以是b 的值。通過引導學生進行思維碰撞，不僅能回顧一次函數表達式的確定條件以及待定系數法的應用，而且還能開拓學生的思維，活躍課堂氣氛。

（3）請寫出一個與直線y=2x 平行的直線的表達式，你能寫出幾種？理由是什么？

（4）請寫出一個與直線y=2x 相交的直線的表達式，說說你是如何求解的，理由是什么？并求出兩直線的交點坐標。

（5）在（4）的條件下，記l1：y1=2x，所求直線記為l2：y2=kx+b，求出當x 為何值時，y1≤y2？

【設計意圖】該問題串的設置讓學生明晰了從數與形兩個角度來判定直線位置關系的方法，同時也復習了如何求兩直線的交點坐標。讓學生比較兩直線對應的函數值大小，是綜合考查函數、方程、不等式的關系。

例2：請畫出函數y=-2x+3 的圖像，你是怎么畫的？

問題串：（1）如何大致判斷你所畫的圖像是正確的？

（2）若該圖像上有兩點，坐標分別是（-1，y1）和（3，y2），請比較y1與y2的大小，并用兩種方法說明。

（3）若該圖像上有兩點，坐標是（x1，y1）和（x2，y2），當x1＜x2時，比較y1與y2的大小。上述兩種方法是否可用，為什么？

（4）對于y=kx+b，若x1＜x2時，y1＞y2，求k 的值。

（5）對于一次函數y=（a-4）x+b，y 隨x 的增大而增大，求a的取值范圍。

【設計意圖】通過幾個問題串的設計來復習一次函數的增減性，特別是一次函數增減性的圖形語言、文字語言和符號語言的表述以及相關運用。

模塊二：一次函數的運用

例3：(2019 聊城)某快遞公司每天上午9 ：00－10：00 為集中攬件和派件時段，甲倉庫用來攬收快件，乙倉庫用來派發快件，該時段內乙兩倉庫的快件數量y(件)與時間x(分)之間的函數圖像如右圖所示，那么當兩倉庫快遞件數相同時，此刻的時間為( )

A. 9：15 B. 9：20 C. 9：25 D. 9：30

問題串：（1）請說明圖中橫軸、縱軸及點A、B、C、D 表示的意義。

（2）說明甲圖像上升，乙圖像下降的理由？想想如何求甲、乙的表達式？

（3）“兩倉庫快遞件數相同”是指什么相同？在圖像上如何體現？

（4）結合本題說說解決圖像問題，關鍵點是什么？

【設計意圖】本例問題串設置是引導學生從圖像的角度認識一次函數，進一步鞏固學生利用一次函數圖像解決實際問題的基本技能以及如何根據題意將文字語言轉化到圖像中，讓學生明白解決該類型題的關鍵是要看懂圖像中點的意義。

例4：（2015 年十堰市中考數學節選）市場調查發現，種植草莓不超過20 畝時，所得利潤y（元）與種植面積m（畝）滿足關系式y=1500 m，當超過20 畝時，y=1380m+2400。而當種植櫻桃的面積不超過15 畝時，每畝可獲利潤為1800 元，超過15 畝時，每畝利潤z（元）與種植面積x（畝）之間的函數關系式如下表。（為所學過的一次函數、反比例函數或二次函數中的一種）請寫出z 與x 之間的關系式。

x（畝）20 25 30 35 z（元）1700 1600 1500 1400

問題串：（1）你認為z 與x 之間滿足的函數關系是什么？你是怎么判斷的？

（2）請你根據表格說明，x 每變化1 個單位，z 的變化情況是什么樣的？

（3）對于任意一次函數y=kx+b，x 每變化1 個單位，y 的變化情況是什么樣的？

【設計意圖】解決本例的關鍵是求出z 與x 的關系式，而用表格的方式來描述一次函數的模型是學生比較薄弱的，因此，本問題串的設置是引導學生從表格里點的坐標之間的變化關系分析一次函數的本質屬性，鞏固學生根據表格數據判斷函數模型的方法，培養學生數據分析能力和數學建模能力。因此，本題的重點放在z 與x 的關系上。

綜上，以問題串為燈，步步引導學生完成一次函數的中考復習，開啟復習課的奇妙之旅。