基于異質參與者的最優歧視性競賽規則研究*

王春雷，潘佳玉

(廣西大學 商學院，廣西 南寧 530004)

1 引 言

在市場經濟中，許多資源的配置結果是通過價格實現的，例如股票、古董、土地使用權、與股神巴菲特共進午餐等.但是，還有許多資源的配置并不是通過市場價格機制而是通過競賽方式完成，例如考大學、找工作、器官移植等.這種競賽可以概括為:競賽參與者為獲得獎勵彼此競爭, 并付出不可收回的努力的過程[1].競賽是經濟社會中的一種普遍現象，在激勵和資源配置方面發揮了重要作用.例如，高考考生努力學習以便進入好的大學或者好的專業；研究人員努力發表論文和撰寫課題申請書達到職稱晉升或獲得科研經費支持；運動員努力訓練希望在比賽中獲得更好的名次.在某些競賽情形下，競賽組織者可以通過制定競賽規則，使得競賽規則有利于一部分參與者.比如，特定地區或者特殊背景的高考考生可以獲得加分；國家或教育部的基金項目管理部門在評審時會向西部地區高校傾斜.

現有關于競賽理論的研究文獻已經對這種歧視性競賽規則進行了比較深入的研究.Fu(2006)采用全支付拍賣模型論證了大學為保證其學術質量，招生規則一般會偏向于少數族裔[2].Tsoulouhas等(2007)分析了企業在選擇首席執行官時，當內部員工比外部人員優秀或者差不多時，規則應有利于內部員工，只有當外部人員相對優秀很多時，規則才應偏向于外部人員[3].Fain(2009)發現在一些情形下歧視性的競賽規則能夠促使所有類型的競賽參與者都提高努力水平[4].董志強(2009)分析了組織中扶弱抑強的歧視性資源配置現象，發現若互相競爭的代理人能力不對稱，扶弱抑強的歧視性資源配置政策將更有利于委托人[5].海江濤等(2013)表明政府在激勵投標商參與公共產品技術創新時，如果存在技術外溢，政府應采取偏袒性的競賽規則[6].侯琨等(2014)論證了如果針對不同類型的競賽參與者設置不同的約束條件，能夠誘致更高的總努力水平[7].

盡管上述研究對理解現實中的競賽規則設計具有指導價值，但這些模型的假設和結論并不總是令人信服.研究文獻通常假設模型只有兩位競賽參與者，按照能力或者對獎品的估值分成高、低兩類，但現實中的競賽參與者通常要多于兩位，而且參與人的類別往往要多于兩類.更重要的是，在只有兩位競賽參與者時，歧視性競賽規則通常使得競賽參與者獲勝概率相等[8].也就是說，競賽的結果看起來是競賽設計者“丟硬幣”決定的.在實際中，盡管競賽組織者會偏向于能力相對較弱的競賽參與者，但通常不會使得其獲勝概率與能力較強的競賽參與者一樣大.因此，本文放松了競賽參與者數量的限制，來分析競賽參與者規模對競賽結果以及競賽規則設計的影響.結果表明，即便競賽參與者只有兩類，而且每類參與者人數相等，這種競賽的均衡結果以及規則設計也與兩人競賽模型有顯著差異.此外，研究文獻一般基于Lazear和Rosen(1981)[9]提出的錦標賽模型來分析歧視性競賽規則，但這種模型很難處理參與者數量大于2的情況，因此本文采用的是Tullock(1980)[10]提出的尋租競賽模型，這一模型已經在皮建才(2012)[11]、魏光興(2016)[12]等國內文獻中得到了運用，不過這些文獻分析的仍然是參與者數量為2的情況.

與本文分析框架最接近的文獻是Frank等(2013)[13]，他們同樣采用尋租競賽模型分析在多個異質參與者存在的條件下，如何設計歧視性的競賽規則最大化競賽參與者的總體努力水平.然而，在他們的模型中，競賽參與者的努力成本函數是線性的，這會導致歧視性競賽規則將一部分參與者排除在外.這一結論與現實也不太相符，例如國家自然科學基金委不會因為筆者研究水平太低而不讓其申請科研項目.因此，本文假定競賽參與者的努力成本函數是二次型的，在很多現實情形下，二次型成本函數是一個更好的假設.例如，員工努力工作的時間越長，其負效用也越來越大.在這一假定之下，無論競賽參與者的能力有多差，競賽組織者在設計競賽規則時也不會將他排除在外.

2 基本模型

假設一個競賽有n個參與者，參與者i付出的努力水平為xi，xi≥0.參與者i獲勝的概率表示為：

(1)

如果競賽獎品可以拆分，如引言中提到的銷售競賽中的獎金，這筆獎金可以分給多位參與競賽的銷售人員，而且參與者的努力結果也可以被觀測到，如銷售產品的數量，式(1)還可以看作參與者i分享獎金的比例.上述競賽模型還可以同錦標賽模型聯系起來.在最簡單的錦標賽模型框架下，競賽參與者的努力結果用xi+εi衡量，獲勝的概率為pi=P(xi+εi>xj+εj,?j≠i).Jia(2008)[14]用xiεi而不是xi+εi來衡量努力結果，在對誤差項εi的分布進行特殊設定的情況下，同樣可以得到式(1).

(2)

其中Vi是參與人對獎品的估值.由于競賽參與者努力水平選擇{xi}僅與{ci/Vi}有關，因此在下文中為簡便化處理，令所有競賽參與者對獎品的估值Vi=1，i=1,…,N.此時，ci可以看作是根據獎品估值標準化后的邊際成本系數.

競賽組織者的目標是使得競賽參與者付出的總體努力水平之和最大，即

(3)

(4)

借鑒Cornes和Hartley(2005)[15]的思想，本文提出一種非常簡便的均衡求解方法.令

每位參與者付出的努力水平滿足條件：

(5)

式(5)的函數形式要比最優反應函數簡單得多.均衡時，每位參與者付出的努力水平僅僅與均衡總體努力水平相關.

根據式(5)，均衡時競賽參與者i獲勝的概率為

(6)

根據以上分析，得到命題1.

3 歧視性競賽規則

假設競賽組織者可以針對每位參與者付出的努力水平設置一個權重wi>0，參與者i獲勝的概率變為：

(7)

如果所有的權重相等，表明競賽規則對所有參與人來說都是公平的.如果權重不相等，表明競賽規則會對某些競賽者有利，是一種歧視性的競賽.在其他人權重不變的條件下，wi越大，競賽規則越偏向于參與者i.

令yi=wixi，yi衡量的是參與者i在競賽中的表現，這個指標越大，說明參與者表現越好，其獲勝概率也越大.競賽參與者i的期望收益可以表示為競賽表現yi的函數，即

(8)

給定權重{wi}的條件下，競賽參與者i一旦確定努力水平xi，其在競賽中的表現yi就隨之確定，也就是說，xi與yi是一一對應的關系.因此，在競賽組織者確定歧視性競賽規則并告知所有競賽參與者的前提下，參與者i選擇努力水平xi最大化其期望收益等同于選擇競賽表現yi最大化其期望收益.

(9)

(10)

根據式(10)，每位競賽參與者的競賽表現與總體表現水平之間的關系為

(11)

易知，均衡時競賽參與者i獲勝的概率為

(12)

競賽組織者的目標是設計權重{wi}使得參與者付出的總體努力水平之和最大，即

(13)

競賽參與者付出的努力水平xi=yi/wi，而競賽表現由式(12)確定，因此式(13)可以寫成：

(14)

(15)

令拉格朗日函數為

(16)

一階條件為：

(17)

(18)

(19)

根據式(19)可知，在均衡時，競賽設計者賦予每個參與者的權重與其邊際成本系數成正比.也就是說，最優歧視性競賽規則設計表現出一種“抑強扶弱”(董志強, 2009)[5]的特征.

根據上述分析，得到命題2.

4 結 論

采用Tullock(1980)提出的尋租競賽模型，本文分析在有多個異質參與者競爭且每位參與者面臨的成本函數為二次型的情況下，如何設計歧視性的競賽規則使得競賽參與者的總體努力水平達到最大.研究文獻通常利用最優反應函數求解均衡策略以及最優競賽規則，但很難處理競賽參與者數量眾多的情況, 因為通常需要求解一個多元非線性方程組.本文借鑒Cornes and Hartley(2005)的思路提出了一種非常簡便的均衡求解方法.無論競賽參與者數量有多大，命題1和命題2表明均可以方便地利用一個一元方程求解均衡策略和最優歧視性競賽規則，即使不能得到解析解，也可以通過數值方法得到均衡結果.此外，競賽參與者規模對均衡結果以及最優歧視性競賽規則具有顯著影響，即使競賽參與者只有兩類，且每類參與者人數相等，也不能直接簡化成兩位競賽模型，因此許多研究文獻只考慮兩位競賽參與者的簡化設定并不妥當.