冰雹猜想中的白言規則

中國林業科學研究院 林產化學工業研究所 李 科

冰雹猜想：對于任一正整數，如果它是奇數，那么對它乘3 加1；如果它是偶數，那么對它除以2。如此循環，終將回到1（被稱為數學不可及的問題）。它風靡全球，無論是中小學還是高校師生都為之著迷，但近百年無人能破解其中秘密，然而白言規則（LiKe’s rule）指出了其變化規律：正整數在考拉茲算法下都會轉變為3n-1形式的數，3n-1 再轉變為更小的3m-1 并最終經32-1、31-1 回到1（讓猜想變得觸手可及）。那么正整數為何會按此規律變化呢？文獻中雖做了詳細證明，但過于學術。為便于理解和推廣，本文避開相關證明，僅從變化規律入手，加以簡化，盡量做到讓廣大中學生一目了然。詳見下文：

一、冰雹猜想

冰雹猜想是一個風靡全球的數字游戲。按照上述規則，6 和23的變化過程如下：

6：6， 3， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1；

23：23， 70， 35， 106， 53， 160， 80， 40， 20， 10， 5， 16， 8， 4， 2， 1。

無論你選什么正整數，都將會回到1。不信你可以試試，不在此贅述。

二、白言規則

對于上述的兩個數6 和23，它們在變化過程中分別經歷了8 和80。而8=32-1，80=34-1，它們均是3n-1 可表示的偶數；且23 在變化到80 后又降至8（32-1），這都完美符合白言規則。其他數也是如此，比如27 經過242（35-1）再降至80（34-1），8（32-1），回到1。

三、變化規律

那么為什么所有正整數都會符合白言規則呢？這就不得不從LiKe 揭示的變化規律說起。LiKe 在研究猜想時不僅巧妙地研究奇數，且靈活地根據奇數乘3 加1 后必可除以2 將這兩步歸為1 步，并出奇地只研究僅有該變化的數（2n-1），制作表格后使得潛藏規律奇跡般地躍然紙上，詳見表1。

表1：LiKe 研究奇數變化的簡表

從表1 中可以看出以下5 條明顯的規律：

（1）偶數經除以2 都會轉變為奇數。這是因為所有偶數除以2 得到的是全體整數，若將偶數再除以2 又是整數，不斷循環。最終所有偶數都可以轉化為奇數，所以只需研究表1 中的奇數L0(1,3,5,7,…,0) = {2n-1 ∣n ∈Z+}即可。

（3）對經乘3 加1 再除以2 后為偶數的奇數，經過考拉茲運算也會轉變到On1和Ln。這是因為L0產生的偶數會再次降至L0并最終100%可轉變到1 或L1；同理，Ln-1產生的偶數同樣是100%可轉變到L0或Ln，并最終轉變到On1和Ln。

（4）所有奇數L0(1,3,5,7,…,0)都可轉變為On1數列集合(1，5，17，53，…，On1)中的項。這是因為對所有奇數L0(1，3，5，7，…，O)可轉變到O01和L1，L1可轉變到O11和L2，并最終得到數列Ln(On1，On2，On3，…，Onm)，且無確定的奇數可一直增至L∞。而這其中，又只有Ln的首項On1是不可延續的，所有給定的奇數必將轉變為最小奇數On1數列集合(1，5，17，53，…，On1)={2×3n-1|n ∈Z}中的項。

（5）綜上，On1∈(1，5，17，53，…，2×3n-1)={2×3n-1|n ∈Z} 奇數，那么On1也必然會經過上述變化再次回到數列On1{2×3n-1|n ∈Z}中；

對于以上結論，只要擴展表1 并耐心推演，都是顯而易見的。還有一點同學們恐怕難以理解，且在表1 中也并非一目了然，需稍加說明。

（6）2×3n-1 經過奇數乘3 加1 和偶數除以2 的操作，只會轉變為更小的2×3m-1，即m ＜n。

本文避開煩瑣的證明過程，僅用顯而易見的規律及邏輯推理詮釋了一個重要的數學概念——冰雹猜想中的白言規則（LiKe’s rule）：對于所有正整數，如果按照奇數乘3 加1，偶數除以2 來不斷運算，偶數中2 的冪可直接降至1，非2 冪的偶數均可轉化為奇數；所有奇數均可轉變到LiKe 第二數列{3n-1 ∣n ∈Z+}=（2，8，26，80，…，3n-1）中的數；3n-1 再不斷降低至8（32-1）回到1。全文化繁為簡，旨在便于中學生理解，從而進一步加強對未知問題的求索興趣。