運(yùn)用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)提效初中數(shù)學(xué)建模教學(xué)
——以平面幾何中的“費(fèi)馬點(diǎn)”問題為例

蔣文榮 康 雯 鄧 慧 譚勢威

（[1]桂林市第十九中學(xué) 廣西·桂林 541001；[2]廣西師范大學(xué) 廣西·桂林 541004）

1 問題提出

兩院院士大會(huì)提出：要把關(guān)鍵核心技術(shù)掌握在自己手中，才能從根本上保障國家經(jīng)濟(jì)安全、國防安全和其他安全。關(guān)鍵核心技術(shù)源于基礎(chǔ)研究，特別是數(shù)學(xué)研究，甚至有專家指出高技術(shù)本質(zhì)上就是數(shù)學(xué)技術(shù)。數(shù)學(xué)已廣泛滲透到各個(gè)領(lǐng)域，特別是人工智能時(shí)代的到來，數(shù)學(xué)在各行各業(yè)中扮演著越來越重要的角色。與此同時(shí)對人才的培養(yǎng)提出了更高的要求，在數(shù)學(xué)教育教學(xué)中，如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力已成為迫切需要解決的問題。數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)溝通現(xiàn)實(shí)世界的橋梁，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與應(yīng)用能力的重要活動(dòng)形式。

數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)思想的一大核心內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和建模思想方法是十分必要的，許多中學(xué)數(shù)學(xué)教師也重視數(shù)學(xué)建模教學(xué)。但在數(shù)學(xué)建模的實(shí)際教學(xué)中，存在著“數(shù)學(xué)建模教學(xué)難實(shí)施”、“費(fèi)時(shí)費(fèi)力”、“學(xué)生學(xué)不懂”等問題。現(xiàn)代信息技術(shù)的發(fā)展為數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新教育注入了新的活力，如何利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)改善數(shù)學(xué)建模教學(xué)中存在的“增負(fù)”和“弱化數(shù)學(xué)本身學(xué)習(xí)”等問題？本文借助Hawgent動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，以“費(fèi)馬點(diǎn)”問題為例，探討利用動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)助力數(shù)學(xué)建模教學(xué)。

數(shù)學(xué)建模的主要步驟如圖1所示：

圖1

2 案例呈現(xiàn)

平面解析幾何往往有著濃厚的實(shí)際背景，經(jīng)由高度的數(shù)學(xué)抽象而來。關(guān)注平面解析幾何的實(shí)際背景，從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、進(jìn)而解決問題，是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的好素材。“費(fèi)馬點(diǎn)”問題是十七世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家、被譽(yù)為業(yè)余數(shù)學(xué)家之王的皮埃爾·德·費(fèi)馬（PierredeFermat，1601-1665）提出的，本質(zhì)上是一道選址問題，在生產(chǎn)生活、物流、甚至軍事中都有著非常廣泛的應(yīng)用。

2.1 作出合理假設(shè)，建立數(shù)學(xué)模型

2.1.1 實(shí)際情境引入

問題（三村短路問題）：有一個(gè)村莊，由于條件有限，打算合建一所小學(xué)，并且共同修筑從小學(xué)到各村的道路。假如你是工程設(shè)計(jì)師，請問應(yīng)該將小學(xué)的地址選在什么地方，才能使修筑的道路總長最短呢？

師：你能試著從這個(gè)實(shí)際情境中提出數(shù)學(xué)問題嗎？

生1：三個(gè)村莊的位置中心構(gòu)成一條直線時(shí)，在位于中間位置的村莊建立學(xué)校可使得道路總長最短（兩點(diǎn)之間線段最短）。因而著重考慮三個(gè)村莊的位置構(gòu)成三角形時(shí)的情況。

生2：在 ABC中，點(diǎn)P在 ABC內(nèi)，問：P點(diǎn)在何處時(shí)使得PA+PB+PC的值最小？

圖2

2.1.2 分析問題

師：觀察示意圖，請找出變化的對象和不變的對象，并明確要解決的目標(biāo)。

生：變的對象：點(diǎn)P、PA、PB、PC；不變的對象：ABC。要解決的目標(biāo)：PA+PB+PC的最小值。

2.1.3 小組探究活動(dòng)

請以小組為單位，借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，尋找點(diǎn)P的位置。（教師巡回指導(dǎo)）在探究過程中，請注意以下兩個(gè)問題：（1）判斷三個(gè)點(diǎn)所形成的位置關(guān)系；（2）嘗試借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件尋找P點(diǎn)的最優(yōu)位置。

小組通過探究活動(dòng)發(fā)現(xiàn)：（1）三角形為銳角三角形或直角三角形時(shí)，P點(diǎn)在三角形的內(nèi)部。（2）三角形為鈍角三角形時(shí)，P點(diǎn)在三角形的內(nèi)部，有時(shí)在三角形的鈍角頂點(diǎn)上。借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：當(dāng)三角形有一個(gè)角等于120。時(shí)，P點(diǎn)在120°角頂點(diǎn)上時(shí)PA+PB+PC最小。當(dāng)三角形有一個(gè)角大于120。時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)的位置在最大角的頂點(diǎn)上。

【評(píng)析】首先，有效的數(shù)學(xué)建模教學(xué)始于精心的問題設(shè)計(jì)。以著名的“三村短路”問題引入本次教學(xué)，感受數(shù)學(xué)來源于實(shí)際生活，并服務(wù)于實(shí)際生活，激發(fā)數(shù)學(xué)建模興趣。其二，完整的數(shù)學(xué)建模過程需要進(jìn)行合理假設(shè)。數(shù)學(xué)建模的目的在于解決現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問題，要用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題，必須進(jìn)行合理的假設(shè)。

數(shù)學(xué)建模不能沖淡對數(shù)學(xué)本身的學(xué)習(xí)，強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)學(xué)習(xí)置于首位。引導(dǎo)學(xué)生利用皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，使學(xué)生通過拖動(dòng)、測量等，快速判斷最優(yōu)選址的大概位置，減輕學(xué)生分情況討論最優(yōu)選址位置的負(fù)擔(dān)，使其親身經(jīng)歷對實(shí)際問題進(jìn)行合理假設(shè)和抽象，從實(shí)際問題中提出數(shù)學(xué)問題的完整過程。

2.2 尋求已有經(jīng)驗(yàn)，求解數(shù)學(xué)模型

2.2.1 聯(lián)系已知

師：你之前解決過相似的題目嗎？

生1：和“將軍飲馬”最短路徑問題相似，“將軍飲馬”問題是通過構(gòu)造對稱變換，將折線段轉(zhuǎn)化為直線段，利用“兩點(diǎn)之間線段最短”公理解決。

生2：解決過“造橋選址”的問題，通過構(gòu)造平移變換，將三條線段的問題轉(zhuǎn)化成兩定點(diǎn)之間的距離問題。

師：你能從中受到什么啟發(fā)？

生3：我們能否利用某種變換將這個(gè)問題轉(zhuǎn)化成求兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離的問題。

2.2.2 遷移運(yùn)用，小組探究

小組討論交流：我們學(xué)習(xí)過什么基本變換？采取那種變換比較合適？怎么變換？并借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件驗(yàn)證結(jié)論。

問題預(yù)設(shè)：學(xué)習(xí)過對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換。采取旋轉(zhuǎn)變換比較合適，如圖所示，可將 APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到 AP′C′，此時(shí)，PA=PP′，PC=P′C′，PA+PB+PC 就轉(zhuǎn)化成了PB+PP′+P′C′。P點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，P′經(jīng)由P點(diǎn)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)60。得到，隨P點(diǎn)變化而變化。此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)C′為定點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成了求兩定點(diǎn)之間的距離問題，當(dāng)B、P、P′、C′四點(diǎn)共線時(shí)，有 PA+PB+PC=PB+PP′+P′C′最短。

圖3

【評(píng)析】建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)生并不是空著腦袋走進(jìn)課堂的，教師不能無視學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，而應(yīng)該把已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)作為新知識(shí)的生長點(diǎn)。數(shù)學(xué)建模本身就是一個(gè)微型的科學(xué)研究過程，這個(gè)過程必須以扎實(shí)、優(yōu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)。本問題的難點(diǎn)就在于構(gòu)造圖形旋轉(zhuǎn)變換，從學(xué)生熟悉的最短路徑問題“將軍飲馬”和“造橋選址”問題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)助力探究發(fā)現(xiàn)，破解難點(diǎn)，為成功數(shù)學(xué)建模指明方向，促使學(xué)生成功構(gòu)造旋轉(zhuǎn)變換解決問題。

2.3 把握問題中心，優(yōu)化模型解決

2.3.1 回歸問題

問題1：題目要求的是什么？你能準(zhǔn)確找到點(diǎn)P的位置嗎？

問題預(yù)設(shè)：求解目標(biāo)是找到點(diǎn)P的位置，使得PA+PB+PC的值最小。

生 1：借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，拖動(dòng)點(diǎn) P，使得 B、P、P′、C′共線時(shí)，P點(diǎn)的位置即可確定。

生2：借助動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件拖動(dòng)可能存在一定的誤差，且沒有動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)支持時(shí)更難找到點(diǎn)P的位置。

2.3.2 優(yōu)化方法

問題2：不借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，嘗試找到點(diǎn)P的位置。

問題預(yù)設(shè)：如圖所示，將 APB繞點(diǎn)A向三角形外旋轉(zhuǎn)60°，得到 AP′′B′，當(dāng) B′、P′′、P、C 共線時(shí)，有 PA+PB+PC=PP′′+PB′+PC最短。此時(shí)，連結(jié)點(diǎn) B′、點(diǎn)C，B′C與線段 BC′的交點(diǎn)即為所求P點(diǎn)。

圖4

2.3.3 結(jié)果檢驗(yàn)

借助Hawgent動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)技術(shù)軟件，在 ABC內(nèi)任取一點(diǎn)P1，連結(jié)P1A、P1B、P1C并分別測出其長度，拖動(dòng)點(diǎn)P1，驗(yàn)證P點(diǎn)是否為使PA+PB+PC最小的點(diǎn)。

【評(píng)析】首先，主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題，樂于數(shù)學(xué)建模。如果學(xué)生能主動(dòng)積極地提出有價(jià)值的、自己感興趣的問題，那么學(xué)生建模時(shí)會(huì)更有創(chuàng)造性、積極性，會(huì)樂于從不同的角度、層次探索建模的方法。如果可能，在討論結(jié)果的過程中，仍要不斷地提出問題，同時(shí)把一個(gè)特殊的問題放到更加寬闊的背景里，這樣才有可能發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論，這些機(jī)會(huì)對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維是非常重要的。引導(dǎo)學(xué)生抓住問題中心，明確“找到點(diǎn)P的確切位置”這一目標(biāo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)借助技術(shù)來解決問題的不足——不能精準(zhǔn)找到P點(diǎn)的位置，促使學(xué)習(xí)源起于學(xué)習(xí)者的主動(dòng)需要，進(jìn)而促使學(xué)生主動(dòng)借助嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理來解決這一問題。

其次，在數(shù)學(xué)建模的過程中應(yīng)始終明確解決的目標(biāo)，鼓勵(lì)學(xué)生依據(jù)要解決的目標(biāo)自主評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型、模型解決方法等，發(fā)現(xiàn)不足，并不斷優(yōu)化模型，調(diào)整解決的方式方法，最終解決問題。

最后，檢驗(yàn)是數(shù)學(xué)建模不可或缺的一個(gè)重要步驟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行檢驗(yàn)和完善有利于養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)建模習(xí)慣。

2.4 變式中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，完善數(shù)學(xué)模型

變式 1：如圖，P為 ABC內(nèi)的一點(diǎn)，當(dāng)∠APB=∠BPC=120。時(shí)，證明點(diǎn)P到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短。

圖5

證明：將 APC繞點(diǎn)A向外旋轉(zhuǎn)60°，得到 AP′C′，由“有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形”知 P′AP為等邊三角 形；∴∠APP′=60°，∠AP′P=60°，又∵∠APC=∠AP′C′=120°，根據(jù)平角等于 180°可知 B、P、P′、C′四點(diǎn)共線，由“兩點(diǎn)之間線段最短”可知，P點(diǎn)到 ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短。得證。

2.4.1 觀察發(fā)現(xiàn)，提出并驗(yàn)證猜想

（1）猜想：在三角形內(nèi)部對3邊張角均為120°的點(diǎn)P到ABC三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最短。

（2）借助皓駿動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)軟件，改變?nèi)切?ABC的形狀和大小，觀察點(diǎn)P對3邊張角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P對3邊張角的度數(shù)均為120°，猜想得到驗(yàn)證。

變式2：如圖，已知矩形ABCD，AB=4，BC=6，M為矩形內(nèi)一點(diǎn)，E為BC邊上任一點(diǎn)，求MA+MD+ME的最小值。

圖6

【評(píng)析】發(fā)現(xiàn)問題、提出問題并解決問題是發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的主要途徑。變式1由費(fèi)馬點(diǎn)的另一定義改編而來，經(jīng)歷了之前找費(fèi)馬點(diǎn)的過程，學(xué)生要成功解決該問題并不難。設(shè)置變式1的目的在于：一，通過遷移運(yùn)用，鞏固數(shù)學(xué)建模思想方法；二，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，提出問題并解決問題，從練習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，技術(shù)助力猜想，形成對費(fèi)馬點(diǎn)的深刻、完備的認(rèn)識(shí)。變式2將費(fèi)馬點(diǎn)問題放在矩形當(dāng)中，打破“只有看到三角形求三條線段最短之和”時(shí)才想到“費(fèi)馬點(diǎn)問題”的定勢思維，緊緊抓住費(fèi)馬點(diǎn)問題的本質(zhì)，從而達(dá)到以不變應(yīng)萬變之效。兩道變式緊扣教學(xué)主題，層層遞進(jìn)，引發(fā)思考，促進(jìn)深度理解。

3 總結(jié)歸納，體會(huì)模型思想

3.1 小結(jié)歸納

1643年，在一封寫給意大利數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家托里拆利的私人信件中，費(fèi)馬提出了這個(gè)極富挑戰(zhàn)性和趣味性的幾何難題，請求托里拆利幫忙解答（也有一種說法是費(fèi)馬本人實(shí)際上已經(jīng)找到了這個(gè)問題的答案，他是為了挑戰(zhàn)托里拆利才寫信向他“請教”的），托里拆利和他的學(xué)生維微安尼經(jīng)過一段時(shí)間的研究終于解決了這個(gè)問題，這個(gè)特殊點(diǎn)P后來被成為費(fèi)馬點(diǎn)。同學(xué)們，今天我們成功解決的就是著名的“費(fèi)馬點(diǎn)”問題。你能試著描述費(fèi)馬點(diǎn)嗎？

生1：在三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最短的點(diǎn)稱為△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)。

生2：在△ABC中如果有一點(diǎn)P，使∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則稱P為其費(fèi)馬點(diǎn)。

3.2 拓展延伸

你還能用其它方法找到費(fèi)馬點(diǎn)嗎？

【評(píng)析】形成結(jié)論是數(shù)學(xué)建模活動(dòng)必不可少的一環(huán)。以費(fèi)馬點(diǎn)的故事背景結(jié)尾，給學(xué)生以成功的體驗(yàn)；引導(dǎo)學(xué)生描述費(fèi)馬點(diǎn)的定義，形成對費(fèi)馬點(diǎn)系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)；引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)問題解決方法，以便學(xué)生進(jìn)行歸納并進(jìn)行遷移運(yùn)用。