在“充分計算和有序涂色”中深刻理解概念

周婷婷

【摘要】質數和合數的概念比較抽象，質數和奇數，合數和偶數的概念容易混淆，因此，教師嘗試在充分計算和有序涂色中突破教學難點，并突破認知障礙，深刻理解概念.

【關鍵詞】充分計算;有序涂色;突破教學難點;突破認知障礙;理解概念

【探究初衷】

蘇教版五年級下冊“因數和倍數”單元中質數（素數）和合數的概念比較抽象，同時因數、倍數、奇數、偶數、質數、合數的概念集體出現，學生容易混淆質數和奇數，合數和偶數的概念，六年級復習教學時發現學生對質數、合數的概念模糊，應用不靈活.為什么五年級下學期教學設計面面俱到，但學生沒有深刻理解質數和合數的概念和內涵呢？原因是教師的教學設計和教學手法沒有突破教學難點，學生沒有突破認知障礙，理解本質停留在淺層理解層面上，解決問題停留在高度模仿階段.如何嘗試突破教學難點，幫助學生深刻理解概念和內涵，斯托利亞爾《數學教育學》中提出：“鞏固性的原則要求學生長期地保持系統的知識、技能和技巧.如果對所學習的教材沒有深刻的理解，僅僅靠死記，是不能實現這個原則的.”即使小學五、六年級的學生，直觀仍是抽象知識學習的重要基礎，學生仍需要在觀察中培養形象思維，在計算中培養邏輯思維，依靠形狀、顏色、聲音和感覺來進行思維.蘇霍姆林斯基說：“孩子的智慧在他的手指上.”基于學生在第一學段積累數形結合的涂色經驗，第二學段教材內容安排六年級上冊多面體表面涂色問題，以及平面區域涂色問題，教師嘗試運用充分計算和有序涂色突破教學難點和認知障礙，幫助學生從計算中生成歸納推理的方法，從而讓其深刻理解概念[1].

從兒童認知水平和經驗出發，將“質數和合數”課堂教學刪減練習和猜謎語環節，增補涂色研究環節，調整作業課為研究單交流課.四個研究單層層深入，根據計算結果采用有序涂色，直觀觀察1、質數、合數的分類，形成條理清晰的歸納推理方法，深刻理解1、質數、合數的概念.

【探究過程】

一、情境導入，激發學習興趣，感受質數、合數的重要生活價值

數學學家們通過對質數和合數的不斷研究，發現質數和合數可以給人們提供更加安全、高品質的生活：銀行往往使用質因數加密法（研究課總結時首尾呼應質數的重要價值），質數除了被應用在密碼學和軍事上，還在我們身邊的汽車變速箱齒輪的設計上發揮著重要的作用，為了最大化減少磨損，相鄰連個齒輪的齒數都是質數……我們身邊也有質數和合數的存在，我們班36人，隔壁班37人，參加運動會哪個班能排成方隊？學生直觀感受到，能不能排成方隊和班級總人數的因數個數有關，質數、合數與因數的個數有關[2].

二、課中研究，初步形成概念的本質，踏實計算中生成歸納推理方法

2，3，5，6，8，9中，只有兩個因數的有2，3，5（1和本身兩個因數），有兩個以上因數的有6，8，9（除了1和它本身還有別的因數）.概念引入：只有1和本身兩個因數的數是質數（素數）.除了1和它本身還有別的因數的數叫合數.

1.1—20的質數和合數

核心問題：哪些數是質數？哪些數是合數？1是質數嗎？1是合數嗎？

在1—20表格中分類： “1”的因數只有1個，它既不是質數也不是合數; 2，3，5，7，11，13，17，19的因數都是1和它本身兩個因數，它們是質數;4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20都有2個以上因數，它們是合數.

驅動問題：你怎么判斷除了1的數是質數還是合數？

學生：我是一個數一個數地試著找它們的因數，發現只有2個因數的是2，3，5，7，11，13，17，19，它們是質數.

學生：我也是這樣一個一個地找它們的因數，但我把奇數9，15誤當成質數了.

放大問題，充分討論：奇數 9，15為什么不是質數而是合數？

學生：9=3×3，9有3個因數，9是合數.15=3×5，15有4個因數，15是合數.

核心問題：質數、合數的分類標準和奇數、偶數的分類標準相同嗎？

學生：不同，奇數、偶數是根據能不能整除以2，或者是不是2的倍數，看末尾數字就可以判斷.質數、合數分類要看所要判斷的數的因數的個數.

2.21—50的質數和合數

在1—50表格中分類，集合的增加使得學生產生學習歸納推理思想方法的需求，大多數學生主動采用排除2的倍數，3的倍數，5的倍數的思想方法，也有學生仍然根據表內乘法判斷合數，教師提出驅動問題：數量變多了，怎樣才能有序，不遺漏、不重復地找出質數和合數呢？

學生：我是先找除了2以外的2的倍數：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30，32，34，36，38，40，42，44，46，48，50，因為它們有因數2，那么它們就是合數，我把它們劃去;再找除了3以外的3的倍數：6，9，12，15，18，21，24，27，30，33，36，39，42，45，48，它們有因數3，那么它們就是合數，我把它們劃去;最后找除了5以外的5的倍數：10，15，20，25，30，35，40，45，50，它們有因數5，那么它們就是合數，遇到已經劃去的合數可以不劃.

學生：偶數都是合數（除2以外），奇數中有一部分數除了1和本身外，還有其他因數，這些奇數不是質數，是合數.

在多人、多次表達中深刻理解2的特殊性.教師詳細示范：除了2以外的2的倍數涂綠色，除了3以外的3的倍數涂紅色，除了5以外的5的倍數涂黃色，組織學生在下一張研究單上涂色操作.本次研究錯誤資源搜集：39=3×13，奇數39不是質數.課后作業是關注39的合數數感情況.教師設計課后研究單，布置獨立研究任務，一一列舉研究收獲，準備研究交流課發言[3].

三、課后小研究，走進概念的本質，熟練歸納推理方法

1.在1—100表格中分類，學生將除了2以外的2的倍數涂綠色，除了3以外的3的倍數涂紅色，除了5以外的5的倍數涂黃色……

學生：我不得不用新的顏色，因為出現了不是2，3，5的倍數的數，即49是7的7倍，77是7的11倍，91是7的13倍.100以內有25個質數沒有顏色，它們是2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97.

學生：我把小研究做好以后，將25個質數都涂成粉色，簡潔明了.我把它們記在心里，解決問題時能幫助我加快速度和檢驗.

教師：你把整個研究的過程進行了進一步的歸納整理，并且在理解的基礎上記憶，這是一個非常好的方法.

驅動問題：研究數字更多的情況下，會不會出現其他的倍數呢，是否需要涂新的顏色？課后研究驅動學生通過快速涂色，將推理方法熟練化、深刻化，在更大集合中感受質數、合數的本質.

2.在1—200表格中分類，學生采取涂色法排除2的倍數，3的倍數，5的倍數……的有序思考的方法，錯誤資源搜集：133是質數嗎？

核心問題：怎么推理出它是質數還是合數？

學生：133不能整除2，3，5，能整除7，它是7的19倍，可以用7的倍數所用顏色涂好.

學生將排除合數和1后呈現同一種顏色的數字進行整理.在直觀結果中感受歸納推理確定因數個數的普適性、通用價值.猜想沒有進展，教師繼續追問驅動問題：數字更多的情況下，會不會出現其他的倍數，需要涂新的顏色呢？根據我們收獲的歸納推理方法可以幫助我們持之以恒地研究下去！

四、研究課交流，熟練歸納推理，深刻理解概念，產生新的猜想

研究共性收獲交流：每50個數為一橫行，100個數為一個數段，借助電子表格電子涂色或打印紙質表格手動涂色，除2外，2的倍數是合數;除3外，3的倍數是合數;除5外，5的倍數是合數;除7外，7的倍數是合數;除11外，11的倍數是合數……觀察同種顏色的數字，發現除2以外的偶數都是合數，奇數中大多數是合數.

研究個性收獲交流：

學生：給出一個大的奇數，很難判斷它是質數還是合數，我們可以按照歸納推理，一步一步計算.比如，奇數中的187是質數還是合數？209是指數還是合數？323是質數還是合數？437是質數還是合數？

學生：187除以11等于17，209除以11等于19，323除以17等于19，437除以19等于23，這些數通過依次除以2，3，5，7，11……總能找到除1和本身以外的因數，從而是合數.

教師：根據2個質數的積，一步步找到原來的2個質數因數的步驟多，正因為如此，如果我們將很多互質數的積設定為密碼，他人很難很快找出原來的那些數，電子技術同樣難以破譯，因此，質數在密碼界赫赫有名.

學生：偶數除了2都是合數，因為它們都是2的倍數.奇數中的質數個位是1，3，7，9，但個位是1，3，7，9的奇數不一定是質數.

學生：每個數段奇偶數各一半，但質數比合數少很多，1—10000中有1229個質數，很多奇數也是合數.

學生：我猜想（除了3和2）大的質數與小的質數差都是偶數，不知道對不對？

學生：我找出最大的質數是691，我整理出 1—100共有25個質數，101—200共有21個質數，201—300共有16個質數，301—400共有16個質數，401—500共有17個質數，501—600共有14個質數……每一個數段的質數可能呈越來越少的趨勢，不知道對不對？

學生：我來補充，雖然我只計算到200，但通過搜集材料發現：以1000個數為一個數段，質數個數也呈下降趨勢，對前面同學新猜想有一些幫助.1—1000有168個質數，1000—2000有135個質數，2000—3000有127個質數……每一個數段的質數也是呈越來越少的趨勢，對上一位同學的問題有幫助.

學生：我覺得偶數除了2都是合數，因為它們都是2的倍數.奇數中的質數個位是1，3，7，9，但個位是1，3，7，9的奇數不一定是質數.可以提醒我們有些奇數實際是合數，要踏實的邏輯計算，不能簡單地當成質數.

教師：同學們，你們通過大量的計算，有序的涂色，認真的思考，對1、質數、合數的本質有了深刻的認識，并且熟練掌握了判斷質數、合數的歸納推理方法，同時收獲了一些有助于自己精準解決問題的小訣竅，并產生了新的猜想，歸納推理的方法可以幫助你繼續研究下去，收獲更多的驚喜.

【探究反思】

學生在層層推進的研究過程中，結合倍數的特征，采用自主探索、踏實計算、有序涂色，形成1、質數、合數表.從課堂到課后，持續培養歸納推理的思維，放大課堂研究過程中生成的錯誤資源，引領學生通過歸納推理走進核心概念，在交流課的平臺，學生會呈現豐富的學習品質：善于觀察、靈活創新、持之以恒.研究單設計注意點：圍繞需要突破教學難點，基于培養歸納推理能力的目的，研究范圍適當擴大但減少重復，適當加深但控制好難度，體現從有限至無限的思想方法.涂色注意點：學生在邏輯清晰的計算過程中，結合倍數關系的有序涂色，生成一張有顏色的質數表，在直觀體驗中得到歸納推理經驗.涂色有利于兒童直觀思維優勢的發揮，但不能完全突破特殊數字的數感形成，再給學生一些課堂留白去感受一部分質數是合數的現象，理解找因數的歸納推理的過程.配套練習注意點：練習數量的減少使練習的診斷價值弱化，教師提前剔除價值薄弱的練習.鼓勵學生獨立、持續探究200以后的質數和合數，不能借助太多資料，數學結論不是數學本質本身.

經過情境引入后，教師引導學生對概念進行層層推進的探究，使學生對質數、合數的概念的理解得到提升，并有利于學生對質數、合數的概念問題的推理和思考.數學無處不在，看似抽象的質數、合數在生活中也無處不在，這一階段的學生，在具體可見的熟悉的問題中，能更好地理解質數、合數的概念和含義.因此，在后續學習過程中，教師可以選擇豐富的生活情境、具體的生活案例來進行教學，比如，班級人數是否可以排成表演方陣，花店如何搭配花束，教師分發的獎品總數究竟是多少.從而幫助學生將質數、合數的抽象概念和實際意義互相依存、協同發展.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2011年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2012.

[2]吳正憲，周衛紅，陳鳳偉.吳正憲課堂教學策略[M].上海：華東師范大學出版社，2013.

[3]王永春.小學數學與數學思想方法[M]. 上海：華東師范大學出版社，2014.