APOS 理論視角下的初中數學概念教學
——以“黃金分割”為例

江蘇省蘇州工業園區金雞湖學校 吳潔瑜

一、APOS 理論概述

APOS 理論最開始是美國著名數學教育家杜賓斯基提出的，他認為學生學習數學概念就是要建構心理結構。數學概念的學習不僅可以建立在具體存在的對象上，也可以建立在學生已有的認知基礎和能力水平上，將新概念與舊知融合，從而建構更高層次的心理結構。這一建構的基本模型經歷4 個階段：A——Action（活動）、P——Process（過程）、O——Object（對象）、S——Schema（圖式）。該理論認為學生在數學學習過程中若經過了前三個階段，一般就能夠在思考、建構的基礎上形成綜合心理圖式，進而將問題順利解決。

杜賓斯基還認為，活動、過程、對象也可看作是數學知識的三種狀態，而圖式則是由這三種知識構成的一種認知結構。雖然這四者具有先后順序，但實際上學生對某一數學概念的理解并不只是線性的，還可以是循環的。

新課標一直倡導，學生是課堂活動的主體，而教師則是活動的組織者、引導者和合作者。學生學習應該是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程。這和APOS 學習理論是一致的。在初中數學的概念教學中，也應該做到讓學生在做中學，將抽象的概念內化到學生原有的認知結構中，而不是由教師將抽象概念灌輸給學生。根據筆者近四年的初中數學實際教學經驗，認為有必要將APOS 學習理論應用于初中數學的概念教學，現結合九年級下“黃金分割”一課談談APOS 理論在初中數學概念教學中的應用。

二、概念教學

1.概念的引入——活動（Action）階段

這里的活動是指學生通過教師預先設置的問題進行外部刺激，一步一步地通過引導性指令去感受一個客觀的數學對象。數學課堂教學其實是數學活動的教學，經歷一系列的操作活動是學生數學認知的基礎性行為。學生可以感受數學家探索實驗發現的整個過程，通過動手實踐來獲得經驗、概念。其實，數學活動的實驗過程除了像生物、化學等學科中的觀察實驗以外，還需要合情推理、演繹推理、運算實驗。沒有行為操作和心理操作，數學概念也就沒有了心臟，而教師則要扮演好課堂活動的組織者、引導者和合作者的身份。

2.概念的歸納——過程(Process)階段

經過活動的不斷重復，行為操作就可以內化為一種叫作“過程(process)”的心理操作，但活動不是數學教學的目的，一節課就40分鐘，如果放任活動，教學效果也不會理想。因此就需要教師的引導者作用，引導學生對“活動”進行思考，經過思維的內化，從而歸納出特定概念所特有的性質。學生一旦經歷了這一“過程”，就有了之前活動的經驗和思維，不需要再通過外部指令的刺激也能獲得概念。也就是說，學生有了活動階段形成的經驗和思維并可以自然地應用，甚至還能夠將這些經驗和思維重新排列和組合，形成新的經驗思維。

例如，學生在第一環節歸納出了黃金分割點和黃金比的概念，而不必再進行具體的運算，并且能從單位1 延伸到n 的表達，也就是說，當已知點B 是線段AC 的黃金分割點（AB ＞BC），當AC=n，學生就能得到AB ≈0.618n，那么他就已經完成了這種“過程”模式的建構，接下來教師可以繼續引導：“一條線段有幾個黃金分割點？”在這一階段，教師可以借助信息技術和多媒體手段輔助教學，這樣能更好地展示概念的內涵和外延。

3.概念的鞏固——對象(Object)階段

當學生能把內化概念的“過程”進行新一輪的實踐和轉化的時候，這一“過程”就轉化為學生心理內部的一種獨立“對象”，也就是學生通過前面的活動了解到了概念的形成過程，并對概念給出了具體的定義、數學符號以及數學語言，使得概念更加具體和精致，并壓縮為一個具體的對象。這個“對象”的過程也就是對數學概念的內涵和外延進行進一步加工，使學生更新和建構新的心理結構，建立更清晰的概念表象。概念進入“對象”階段時，建構的結構關系也就相對穩定。

這一階段，教師可以設計2～3 個生活中的實際問題，讓學生在解決問題的過程中鞏固概念，同時，教師注重剖析表達式中精煉的數學語言和符號所表示的含義，讓學生在解決問題的過程中分析概念所適用的條件和范圍。“對象”既是概括的結果，又是新的概括的起點。

例如，在“黃金分割”一課中，筆者在問題解決的過程中又提出了一個新的問題：如圖5，下面的矩形中哪一個更好看？大部分同學都會選擇③號矩形。此時再次引導學生探究：為什么這樣的矩形更好看？這個矩形的寬和長的比有什么特點？學生會在前面建立的思維引導下，通過計算發現寬與長的比值就是黃金比。在這一過程中，筆者利用多媒體動態演示，將矩形的寬BC 繞著點B 順時針旋轉90°，使得BC 與長AB 共線，讓學生更加直觀地感受到點B 為線段AC 的黃金分割點，如圖6。

這一環節建立在學生已有的“黃金分割點”和“黃金比”的概念基礎上，又繼續探索研究生成的“黃金矩形”的概念。再次活動探究，筆者又通過幾何畫板演示黃金曲線的生成過程，幫助學生內化黃金矩形與黃金曲線概念的生成以及概念與概念之間的內在聯系。 在這個基礎上，筆者引導學生對黃金分割點進行尺規作圖，并讓學生探討此種做法的科學性（如圖7）。通過新一輪的內化、壓縮、解壓如此循環之后，學生最終形成完整的黃金分割概念這一“對象”。

4.概念的模型生成——圖式(Schema)階段

數學概念的“圖式”階段是經歷了“活動”“過程”“對象”包括已有的數學概念，和其他“圖式”一起進行新的排列組合所形成的一種認知結構。那么經過上述三個階段的上升學習過程，學生已經形成了關于黃金分割的概念，并且會更新和構建新的認知結構，它可用于解決與這個概念相關的問題。那么黃金分割在實際生活中有哪些運用？此時可以布置作業，讓學生利用書籍和網絡搜集有關黃金分割在建筑、音樂、美術、體育、生物等各個領域中運用的實例，再進行一次班級分享交流，使學生建立黃金分割與其他相關概念的綜合圖式。

APOS 理論認為概念的生成來源于學習者的反復操作和不斷反思，從而形成靜態結構，也就是對象階段。初中階段的數學概念基本都涉及操作（活動）、對象和過程，需要教師進行組織、引導和協調，幫助學生構建一個又一個連貫的概念框架，也就是APOS 理論中所說的綜合圖式，這種圖式可以幫助學生在解決數學問題的時候靈活運用所需的數學思維，提高學生自主學習、動手實踐、合作探索和解決問題的能力，同時也對教師的綜合素養提出了更高的要求。