高等數(shù)學(xué)數(shù)值逼近解題思路和應(yīng)用研究

高 雅 杜永霞

（河套學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系 內(nèi)蒙古巴彥淖爾 015000）

引言

數(shù)值逼近解題思路是一種具有簡(jiǎn)化作用的解題方法，能夠幫助學(xué)生快速地找到解題突破口。因此，高等數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，要注對(duì)重培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)值逼近的解題思路，并提高學(xué)生對(duì)數(shù)值逼近方法的應(yīng)用能力，使數(shù)值逼近方法能夠幫助學(xué)生提高高數(shù)學(xué)習(xí)質(zhì)量。

一、數(shù)值逼近解題思路概述

數(shù)值逼近是一種新型解題方式，可以將繁瑣的解題步驟和解題方法進(jìn)行簡(jiǎn)化。同時(shí)，數(shù)值逼近解題思路可以培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新研究的能力，使學(xué)生可以更好地根據(jù)算法解決生活實(shí)際問題。因此，這種方法在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。第一，在傳統(tǒng)高等數(shù)學(xué)的解題過程中，往往會(huì)出現(xiàn)大量繁瑣的公式。這會(huì)使學(xué)生在繁瑣的解題過程中逐漸失去對(duì)高數(shù)學(xué)習(xí)的興趣。而數(shù)值逼近解題思路可以簡(jiǎn)化解題過程，能夠有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。第二，高等數(shù)學(xué)的邏輯性和理論性極強(qiáng)，數(shù)值逼近解題方法的應(yīng)用可以使學(xué)生對(duì)抽象的理論知識(shí)更容易理解，并且能夠加強(qiáng)學(xué)生的思考，幫助學(xué)生建立高等數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而有效培養(yǎng)學(xué)生的思考能力[1]。第三，數(shù)值逼近解題思路可以幫助學(xué)生系統(tǒng)地掌握解題方法，促使學(xué)生做到舉一反三，幫助學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)知識(shí)點(diǎn)。同時(shí)，數(shù)值逼近解題思路可以促使學(xué)生在解題過程中對(duì)解題思路、解題方法等進(jìn)行創(chuàng)新研究，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新研究能力。

二、數(shù)值逼近解題思路在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

在數(shù)值逼近解題思路中，較為常用的有平方逼近法和插值法，尤其是在函數(shù)和微積分計(jì)算中，這兩種方法可以使表達(dá)式更為完整，更為簡(jiǎn)化，極大降低了解題難度。下文針隊(duì)這兩種方法進(jìn)行簡(jiǎn)要分析。

（一）平方逼近法

平方逼近法的理論難度較高，在實(shí)際應(yīng)用中，平方逼近法不需要計(jì)算出函數(shù)準(zhǔn)確值，只需在函數(shù)集合中找到新代數(shù)結(jié)構(gòu)，以此省略大量函數(shù)理論和概念[2]，使三角函數(shù)的正交系使用變得更簡(jiǎn)單。同時(shí)，正交系的使用可以幫助我們得出不同的函數(shù)展開式，從而有效解決實(shí)際問題。

（二）插值法

插值法是函數(shù)計(jì)算中較為常用且較為普遍的方法。這種方法可以利用高次代數(shù)或者是低次多項(xiàng)式作為插值函數(shù)的近似解析表達(dá)式，使計(jì)算更簡(jiǎn)單，計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確。常用的插值法有牛頓插值法、分段插值法[3-4]、埃爾米特插值法等。插值法除了在函數(shù)中應(yīng)用外，還可以在微分、積分中應(yīng)用。

三、高等數(shù)學(xué)數(shù)值逼近解題思路的應(yīng)用實(shí)例分析

數(shù)值逼近還可以對(duì)含有二分、微分、泰勒公式等內(nèi)容的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答。下文就針對(duì)這三種方法進(jìn)行詳細(xì)的實(shí)例分析。

（一）運(yùn)用二分法進(jìn)行數(shù)值逼近解題

所謂二分法使將函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間進(jìn)行一分為二的劃分，使區(qū)間端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)。教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，可以利用逼近解題思路對(duì)此類題目進(jìn)行講解，并將解題步驟展示給學(xué)生，使學(xué)生在解題過程中能夠?qū)Ρ平忸}思路有更清晰的認(rèn)識(shí)，從而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)高數(shù)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的掌握。

例如，方程lnx=kx(k＞0)有幾個(gè)實(shí)根？這個(gè)題目包含了增減函數(shù)的數(shù)值逼近解題思路，解題步驟如下。

（二）運(yùn)用微分法進(jìn)行數(shù)值逼近解題

教師在教學(xué)過程中，可以加強(qiáng)利用數(shù)值逼近解題思路對(duì)微分類型題目進(jìn)行解答，使學(xué)生在解題過程中，提高對(duì)數(shù)值逼近解題思路的學(xué)習(xí)興趣。從而進(jìn)一步提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率和質(zhì)量。

（三）運(yùn)用泰勒公式進(jìn)行數(shù)值逼近解題

數(shù)值逼近解題思路還可以對(duì)含有泰勒公式內(nèi)容的題目進(jìn)行解答。這需要教師在講解例題的過程中，加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，促使學(xué)生深入地思考，以幫助學(xué)生在這一過程中建立起良好的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系。

不論數(shù)值逼近解題思路應(yīng)用在哪種題型中，教師都要在教學(xué)過程中對(duì)教材知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行篩選、分析、整合，以找到適合的典型教學(xué)例題。

四、結(jié)束語

數(shù)值逼近解題思路是高等數(shù)學(xué)最為常用的基本算法之一，它可以將復(fù)雜的解題思路和解題方法進(jìn)行簡(jiǎn)化，能夠有效激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生思考能力和創(chuàng)新能力，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系。因此，教師在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中，要進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)值逼近解題思路的學(xué)習(xí)，為學(xué)生日后更深入地學(xué)習(xí)、研究和發(fā)展奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。