例談函數方程思想的教學策略

宮明

[摘? 要] 函數思想與方程思想之間是密切相關、相輔相成的，函數與方程之間的辯證關系，形成了函數方程思想. 中考復習中，進行函數方程思想的專題講解，對幫助學生提高函數方程思維品質有著很重要的意義.

[關鍵詞] 函數;方程;函數方程思想;教學策略;中考復習

方程與函數相結合的綜合題，是各地中考試題的熱點題型，主要是從動態角度建立函數解析式，從靜態角度建立方程求解，解題時要注意函數的圖像信息與方程的代數信息的相互轉化. 筆者開設了一節中考復習公開課“函數方程思想的應用”，以函數的本質——“變量”為抓手，注重數形結合思想的滲透，突出函數與方程的靈活轉化，為函數方程思想的中考復習提出一些建議.

從數式方程走出變量函數

例1? 已知一串數字：-8，-5，0，7， 16，…，按此規律，第______個數是891.

師：這是一條找規律的題目，同學們小學的時候就接觸過，你會做嗎？

生1：我使用搭小橋找規律的方法，數與數之間的間隔分別是+3，+5，+7，+9，…，按此規律，就可以數到891.

師：你數到答案了嗎？

生1：感覺有些困難.

師：好，這名同學通過差的方法探討數量間的規律，能得到答案，但可能要費點時間.

生2：我發現間隔+3，+5，+7，+9，這與1，4，9，16，25的間隔相同，所以可以把每個數看成1-9，4-9，9-9，16-9，25-9，這樣數的規律就可以寫成x2-9，當代數式等于891，列方程可解得第30個數為891.

師：很好，這名同學將原數字與1，4，9，16，25建立聯系，找出答案. 有沒有同學也使用這種方法？

……

師：這些同學思維很活躍，但如果沒有想到這一層聯系，這道題目就沒有辦法解決了嗎？

生3：第1個數等于-8，第2個數等于-5，第3個數等于0……以此類推，出現很多組有序實數對，然后通過列表、描點、連線發現圖像是拋物線，使用待定系數法算出二次函數解析式，當y=891時，x=30，也可得到答案為第30個數.

師：非常好，這名同學從函數角度發現數的規律，然后建立方程解題，他所使用的思想方法就是函數方程思想.

實施意圖? 數學課程標準從三至六年級鼓勵學生擺放實物、畫圖和發現數字變化規律，促進“關系”思想的萌芽;七年級通過用代數式描述數量的變化，搭建起“模式”與“關系”的橋梁;八、九年級通過觀察圖像，從直觀的直線、曲線體會不同的函數. 3名同學對本題的解答，體現了思維的不同層次，由直觀、形象到抽象、邏輯，再到問題一般化的過程，經歷了如圖1所示的環節.

函數方程思想的重要體現

例2? 當x=m或x=n（m≠n）時，代數式x2-2ax+a2+4的值相等，則當x=■時，代數式x2-2ax+a2+4的值為______.

師：請同學們計時完成，比比誰做得更快.

生1：根據題意，我可以建立等式m2-2am+a2+4=n2-2an+a2+4，解得m+n=2a，即x=a，那么代數式x2-2ax+a2+4的值為4.

師：你花了多長時間解決這道題？

生1：我花了2分多鐘.

生2：我把代數式x2-2ax+a2+4理解成二次函數y=x2-2ax+a2+4，頂點式為y=（x-a）2+4，通過拋物線的圖像我發現，求當x=■時代數式的值，就是求頂點的縱坐標，看圖2可得答案為4.

師：你花了多長時間呢？

生2：不到1分鐘.

實施意圖? 學生在學習和掌握函數和方程思想時，往往是一個螺旋上升的抽象過程. 抽象的數字往往可借助直觀的圖像來認識和思考，因此數形結合思想就成為研究函數方程思想的重要工具. 數形結合思想也是笛卡爾數學的重要思想，列方程和建立函數關系的重要思想就是笛卡爾數學思想的運用，其步驟如圖3.

本題對比了2種不同的解題方法，可以發現把代數式理解為函數，借助函數圖像，可以使理解更加直觀，使解題更加便捷.

函數思想與方程思想的依賴

關系

例3? 關于x的一元二次方程ax2-3x-1=0的兩個不相等的實數根都在-1和0之間（不包括-1和0），則a的取值范圍是______.

學生思考3分鐘后讓學生回答.

生1：因為一元二次方程ax2-3x-1=0有兩個不相等的實數根，我通過根的判別式解得a>-■，之后我就不會了.

生2：實數根都在-1和0之間，我想先利用公式法解出方程的根，再建立不等式解題，但不等式中有根號，我們沒有學過.

師：這名同學的嘗試沒有成功，但探索精神值得大家學習. 我們是否可以把方程問題轉化為函數問題來思考？

生3：一元二次方程ax2-3x-1=0的實數根可以看成二次函數y=ax2-3x-1的圖像與x軸交點的橫坐標.

生4：我畫出拋物線的圖像，通過圖像可以發現，當x=0時，y<0，即-1<0，當x=-1時，y<0，即a<-2，所以，最終答案是-■

例4? 如圖5，一次函數y1=x與二次函數y2=ax2+bx+c的圖像相交于P，Q兩點，則函數y=ax2+（b-1）x+c的圖像可能是（? ? ? ）

師：你是如何思考這道題目的？

生1：y=ax2+（b-1）x+c是二次函數，我需要找出a，b-1，c的正負情況.

師：你有答案嗎？

生1：從二次函數y2=ax2+bx+c的圖像我發現a>0，c>0，b-1的正負情況還沒找到.

生2：我的答案是選擇A.

師：這么快就得到了，你是怎么想的？

生2：兩個函數圖像的交點坐標可以通過建立方程組y=x，y=ax2+bx+c求解，代入消元得x=ax2+bx+c. 因為P，Q兩點在第一象限，所以方程x=ax2+bx+c有兩個正實數根，即方程ax2+（b-1）x+c=0有兩個正實數根，觀察圖像可知答案為A.

實施意圖? 函數與方程雖是兩個不同的數學概念，但在解題中它們之間相互聯系、相互滲透，一個函數若有解析式，那么這個解析式就可以看成是一個方程，它的兩端可以分別看成函數，因此，許多有關方程的問題可用函數的方法解決;反之，許多有關函數的問題也可以用方程的方法解決.

寫在最后

函數與方程思想在整個數學體系中有著基本而又重要的地位，它是中小學數學教學的核心內容，在中考復習中教師應予以重視. 教學中，教師應結合具體問題，運用函數方程思想構建數學模型，借助數形結合化抽象為具體，幫助學生準確地分析、快速地解答，加深學生對函數方程思想的理解，使學生能夠學以致用，實現思想方法的內化，優化學習效果，提升學生的綜合素質.