情境引入過程探究，語言概述深化性質

郝金良

[摘? 要] “角平分線的性質”的教學過程對學生知識與能力的提升有極大的幫助，而在實際教學中，需要教師綜合學情與知識難度，把握內容核心，精設教學環節. 文章對“角平分線的性質”展開教學探討，提出相應的建議.

[關鍵詞] 角平分線;性質;情境;模型;探究;語言

“角平分線的性質”是初中數學重要的教學內容，該內容是全等三角形知識的延續，可為后續的角相等、線段相等的證明提供全新的思路和方法. 本章節的內容教學，目的是使學生在明晰角平分線性質的基礎上能靈活運用，發展學生的推理思維. 角平分線的性質內容具有極強的操作性，因此在實際教學中需要合理設置教學環節，全方位地提升學生的能力，下面展開教學探究.

情境引入教學，問題自然生成

學生在理解角平分線的性質時存在一定的難度，不過該內容與全等三角形的知識關聯緊密，故在課堂過渡階段適合采用“情境引入，問題生成”的教學方式，即結合生活情境，讓學生聯系舊知充分感知角平分線.

教學中可以從兩方面進行：一是利用生活中常見的實物，二是設置動手活動.

案例1?展示生活中常見的風箏，如圖1，利用風箏的特征來展示性質內容：已知AB=AD，BC=DC，讓學生思考如下兩個問題.

（1）不采用度量的方式，是否可以確定∠DAC與∠BAC的大小關系？

（2）AC為∠DAB的平分線，如何證明？能說明其中的道理嗎？

實際教學中，學生能猜想出∠DAC=∠BAC，而要確定AC為∠DAB的平分線，只需要引導學生結合三角形的全等知識來說明：根據條件，利用“SSS”可證明△ADC≌△ABC，再利用全等三角形的性質可得到∠DAC=∠BAC，從而完成新課的內容引入.

案例2?在課堂中設計折紙活動，通過折紙讓學生初步感知角平分線的性質. 課前準備如圖2的A4紙，設紙的四個頂點分別為A，B，C，D，然后過頂點B任意折出一條直線BE，接著將△ABE剪下，讓學生觀察所剩的梯形BCDE，思考如何在不使用工具的情況下將∠EBC分為兩個相等的角.

教學引導環節中讓學生通過翻折操作來確定BE與BC在對折重疊的情況下可以滿足要求，同時結合三角形全等、翻折特性等知識使學生理解操作的原理所在.

利用豐富具體的情境設計，學生可以深入理解角平分線的定義、感受角平分線所帶來的幾何特性，這能為后續的性質探究做鋪墊. 另外，學生的積極性在情境教學中得到了充分調動，有利于課堂教學的順利推進.

活用數學模型，過程探究教學

角平分線的性質內容，邏輯性極強，教學中需要引導學生明晰性質定理的條件與結論. 同時，考慮到學生的認知過程是課堂教學成功的關鍵，故教學中建議采用過程探究的方式，利用相應的數學模型，設計探究活動，引導學生進行嚴密推理，概括性質定理.

從實際問題中抽象數學模型、探究模型得出性質定理的方式更為合理，學生經歷探究過程后能深刻體會性質的內容. 實際教學時，可采用如下思路：將平分角儀器抽象為數學模型，利用幾何知識解釋儀器的工作原理，然后結合工作原理進行角平分線作圖，通過測量來得出“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”的性質定理，具體教學時可參考如下設計.

1. 模型引導，實踐啟發

活動1? 展示圖3的平分角儀器，按圖設定點位置. 已知AB=AD，BC=DC，沿AC繪制一條射線AE.

設問：此時AE就是∠DAB的平分線，請說明原因.

教學引導：教學中啟發學生將實際問題抽象為相應的數學模型，然后利用全等三角形的性質闡釋平分角儀器的工作原理，能使學生深刻體會角平分線知識的應用.

活動2?通過作角的平分線來啟發學生：參考平分角儀器繪制平分線，讓學生練習利用直尺和圓規作∠AOB的平分線，并詳細說明作圖過程.

實際教學時可進行如下設問引導：

（1）利用平分角儀器繪制平分線時，要將儀器的頂點與角的頂點重合，儀器的側邊與角的兩邊重合，且確保儀器的兩邊相等（AB=AD）. 具體作圖時如何體現該過程呢？

（2）在使用平分角儀器的過程中，要確保BC=DC，具體作圖時如何體現該過程呢？

（3）按照圖4方式繪制，則射線OC就是∠AOB的平分線，你能說明這樣作圖的理由嗎？

2. 測量探究，性質證明

學生利用尺規可以作出具體角的平分線，對于其性質的得出可以采用測量探究的方式，即測量相應的線段長，于是自然可以證明.

操作活動：在圖紙上作∠AOB，然后作出∠AOB的平分線OC，并在OC上取一點P，取點P的三個不同的位置，接著過點P分別作AO和BO的垂線，設垂足分別為D，E，如圖5. 分別測量PD和PE的長，將三次測量所得的數據填入表1.

設問：（1）對比PD和PE的大小關系，可以得出什么結論？

（2）結合上述測量數據，可以猜想出角平分線的什么性質？

教學引導：教學中需要引導學生關注兩點，一是線段長的大小關系（相等），二是線段在角平分線上的屬性（到角兩邊的距離）. 同時明晰性質中的條件與結論，用幾何推理的方式得出角平分線的性質.

上述探究活動設計充分結合了模型抽象和實際測量，學生經歷了性質發現、推理證明的過程，可以深刻體會幾何問題證明的基本思路，能進一步培養學生思維的邏輯性和嚴密性.

語言命題概括，深入理解性質

利用語言概括角平分線的性質是教學的核心，有利于學生深刻理解定理. 對于角平分線性質的命題教學，需要引導學生掌握文字概述和幾何表述兩種方式，教學難點主要有兩點：一是學生難以區別命題的條件與結論;二是難以靈活進行文字語言和幾何語言之間的轉化.

在角平分線的性質定理中，“條件”“結論”的隱蔽性較強，教學中需要引導學生將其拆分，明晰“角平分線上有一點”為“條件”，“該點到角兩邊的距離相等”為“結論”. 另外，語言轉化的過程中要引導學生結合性質命題來構建幾何模型，利用幾何語言來描述幾何關系，讓學生經歷由“已知”推理“結論”的過程. 具體教學時可參考如下設計.

活動1? 結合角平分線的性質內容進行條件與結論的拆分與提取，思考如何用“如果……，那么……”將命題“角平分線上的點到角兩邊的距離相等”分為兩段.

教學引導：首先引導學生對性質命題進行轉化——“一點位于一個角的平分線上，該點到角兩邊的距離相等”，然后引導學生明確“一點位于一個角的平分線上”為命題的條件，也是結論成立的前提，“該點到角兩邊的距離相等”為命題的結論.

活動2? 結合性質命題進行數學語言轉化，關注活動1所提煉的條件與結論，思考其中所隱含的幾何特性，并用幾何語言進行描述.

教學引導：首先引導學生提取條件中的幾何特征，然后結合相應的幾何圖像來對其加以表述，最后得出相應的幾何結論.

條件：一點位于一個角的平分線上→OC為∠AOB的平分線，點P是OC上任意一點.

結論：點到角兩邊的距離相等→過點P作PD⊥OA，垂足為D，PE⊥OB，垂足為E，則PD=PE.

利用上述幾何信息可以繪制如圖6的幾何圖形. 該圖形直觀地呈現了∠AOB的平分線、點P位于平分線OC上的位置特性，以及點P到角兩邊的距離. 根據幾何圖形可以深刻理解性質定理所表達的內容，同時可以進一步開展性質定理的證明. 進行定理證明教學時，同樣可結合全等三角形知識，從數學語言角度進行探究，具體如下.

已知：如圖6，在∠AOB中，∠AOC=∠BOC（呈現了OC平分∠AOB的情形），點P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E.

求證：PD=PE（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）.

證明：因為PD⊥OA，PE⊥OB，所以∠PDO=∠PEO=90°. 在Rt△PDO和Rt△PEO中，因為∠PDO=∠PEO，∠DOP=∠EOP，PO=PO， 所以△PDO≌△PEO. 所以PD=PE（全等三角形的對應邊相等）.

完成定理的語言表述和幾何證明之后，有必要進一步引導學生對性質定理進行語言對照，從文字語言和幾何語言的對比上來理解定理.

文字語言：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

幾何語言：已知∠AOC=∠BOC，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，則PD=PE.

總之，角平分線的性質定理是數學幾何的核心內容，在實際教學中需要充分把握學情，從知識與能力兩方面展開教學設計. 教學時，可聯系舊知情境引入，完成問題的自然引出;抽象數學模型，開展過程探究，引導學生認識性質定理;設計活動語言轉化證明，讓學生在深刻理解定理的同時提升語言概括能力. 以知識傳達、方法指導、情感提升為目標的課堂教學是對當下素質教學的貫徹落實，對學生的長遠發展有極大的幫助，值得倡導、借鑒.