Black-scholes期權(quán)定價(jià)公式的顯式差分近似

梁 娟，趙治榮，張園園

（1.太原工業(yè)學(xué)院理學(xué)系，山西太原 030008；2.山西財(cái)經(jīng)大學(xué)資源環(huán)境學(xué)院，山西太原 030006）

Black-scholes公式期權(quán)定價(jià)的表達(dá)式的數(shù)值解在計(jì)算和分析方面比解析解有很大的優(yōu)越性。本文對期權(quán)定價(jià)公式的差分格式作進(jìn)一步的分析。

Black-scholes期權(quán)定價(jià)模型推導(dǎo)：

原生資產(chǎn)價(jià)格演化遵循幾何Brown運(yùn)動：

利用Δ-對沖技巧，我們來給出期權(quán)定價(jià)的數(shù)學(xué)模型[1-3]。

假設(shè)∏t=Vt-ΔSt為t時(shí)刻形成的投資組合，則由文獻(xiàn)[4]得到在t+dt時(shí)刻，投資組合的回報(bào)為：

由于Vt=V(St,t)，其中St是由隨機(jī)微分過程(1)確定的隨機(jī)過程，由It?公式得：

聯(lián)立(2)和(3)得：

方程（4）為Black-scholes方程[5-6]。

作函數(shù)代換x=InS,τ=T-t，將方程(4)轉(zhuǎn)化為常系數(shù)拋物型方程的Cauchy問題[7]：

令變換函數(shù)V=ueατ+βx，然后選擇適當(dāng)?shù)亩ㄖ郸?β，將方程(5)轉(zhuǎn)化為一個(gè)熱傳導(dǎo)方程，由

將(6)式代入方程(5)中，消去eατ+βx得：

那么在函數(shù)變化的情況下，方程(5)就可以變成如下形式：

下面從差分格式的相容性、穩(wěn)定性、收斂性三方面來研究。

1 差分格式的性質(zhì)

1.1 相容性

為了方便構(gòu)造差分格式,我們令方程(7)中的τ=t,e-βx(ex-K)+=g(x),得：

利用Taylor級數(shù)展開得方程(8)的差分格式：

對于方程(8)的解，關(guān)于t的向前差分的Taylor級數(shù)展開有：

對變量x進(jìn)行Taylor級數(shù)展開有：

定義截?cái)嗾`差T(x,t)為：

其中u(x,t)是方程(8)的解。

假定u(x,t)是充分光滑的，利用(10)，(11)有：

截?cái)嗾`差為O(τ)+O(h2)，當(dāng)h,τ→0 時(shí)，T(xj,tn)→0。所以相容性得證[8]。

1.2 穩(wěn)定性

定理1當(dāng)τ≤τ0,nτ≤T，若差分格式滿足穩(wěn)定性，則有：

其中λj(G(τ,k))表示G(τ,k)的特征值,M為常數(shù)。

證明由差分格式穩(wěn)定可以得出：

‖G(τ,k)n‖≤K,τ≤τ0,nτ≤T,k∈?，

用ρ表示矩陣的譜半徑，利用譜半徑與范數(shù)的關(guān)系：

ρ(G(τ,k))n=ρ(G(τ,k)n)≤‖G(τ,k)n‖,

從而得ρ(G(τ,k))n≤K,不妨設(shè)K≥1,

則有：ρ(G(τ,k))≤,0＜n≤,

特別地，ρ(G(τ,k))≤,0＜τ≤τ0，

由譜半徑的定義可得[9]：

|λj(G(τ,k))|≤1+Mτ。

定理2如果對于τ≤τ0,k∈?，存在非奇異矩陣S(τ,k)使得：

S-1(τ,k)G(τ,k)S(τ,k)=Λ(τ,k)，

其中Λ(τ,k)是對角矩陣，并存在與τ,k無關(guān)的常數(shù)C滿足：

‖S(τ,k)‖2≤C,‖S-1(τ,k)‖2≤C，

若條件（12）成立，則差分格式滿足穩(wěn)定性。

證明因?yàn)?/p>

G(τ,k)=S(τ,k)Λ(τ,k)S-1(τ,k)，

重復(fù)使用上式得：

G(τ,k)n=S(τ,k)Λ(τ,k)nS-1(τ,k)，由von Neumann條件知：

|λi(τ,k)|≤1+Mτ,i=1,2,…,p。

利用Λ(τ,k)為對角矩陣得：‖Λ(τ,k)‖2=ρ(Λ(τ,k))≤1+Mτ，因此有：

‖G(τ,k)n‖2≤C2‖Λ(τ,k)n‖2≤

C2(1+Mτ)≤C2eMTnτ≤T，

所以差分格式穩(wěn)定[10]。

將(9)的差分格式可以改寫為：

消去公因子eikjh有：

因此得增長因子：

由于coskh≤1,所以有|G(τ,k)|≤1。

穩(wěn)定性得證。

1.3 收斂性

考慮求解(8)初值問題的差分格式的收斂性問題。

設(shè)u(x,t)和分別為（8）和（9）的解。令T(xj,tn)為(9)在點(diǎn)(xj,tn)處的截?cái)嗾`差，則有：

此式可改寫成：

其中λ=。差分格式(9)可寫成：

如果令λσ2≤1，則上式右邊en的三項(xiàng)系數(shù)均為非負(fù)。由此可得：

假定u(x,t)為初值問題(8)的充分光滑解，由截?cái)嗾`差計(jì)算可知|T(xj,tn)|≤M(τ+h2)，再令：

則由(13)式得：

從而有：En+1≤En+Mτ(τ+h2)，

由此不等式遞推得：

En≤E0+Mτ(τ+h2)，

注意到，在初始時(shí)間層t0上，

假定初值問題中t≤T,則nτ≤T，由此得到：

上述證明中，假定了波動率滿足λσ2≤1，這個(gè)條件是不可忽略的。

2 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

在實(shí)驗(yàn)中，為了直觀地觀察精確解與數(shù)值解的誤差圖，我們?nèi)。?/p>

0≤t≤1,0≤x≤1,σ2=2,g(x)=sin πx，

定義誤差：

圖1和圖2給出當(dāng)t=0.25 時(shí)，空間步長和時(shí)間步長分別為h=0.1,τ=0.001時(shí)的數(shù)值解和精確解u。

圖1 時(shí)的數(shù)值解與精確解

圖2 時(shí)的數(shù)值解與精確解的誤差

圖3和圖4給出當(dāng)t=0.25 時(shí)，空間步和時(shí)間步長分別為h=0.1,τ=0.01時(shí)的數(shù)值解和精確解u。

通過數(shù)值模擬可以看出，網(wǎng)格部分的粗細(xì)決定了數(shù)值解的精確度，越細(xì)越精確。從而驗(yàn)證了差分格式的有效性。

圖3 時(shí)的數(shù)值解與精確解

圖4 時(shí)的數(shù)值解與精確解的誤差

3 結(jié)論

研究了差分定價(jià)公式的差分格式，首先對Black-scholes 期權(quán)定價(jià)模型進(jìn)行了推導(dǎo)，進(jìn)而得到了標(biāo)準(zhǔn)的熱傳導(dǎo)方程，利用Taylor 級數(shù)展開得方程(8)的差分格式。證明了差分格式的相容性、穩(wěn)定性、收斂性。最后通過數(shù)值模擬，驗(yàn)證了差分格式的有效性。