一類具有密度制約的時滯捕食與被捕食系統解的穩定性分析

方輝平

（黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山 245041）

1 引 言

生物數學主要思想是運用數學理論和方法研究生態學中生物種群之間的關系和數量變化, 生態系統種群動力學的穩定性是人們關注的熱點問題，文獻[1]研究了具有IV 類功能反應函數的捕食與被捕食系統解的情況。而滯后效應是生態系統中普遍存在的，是指系統當前的狀態依賴于過去某一個時間的狀態，能更加準確地描述客觀現象，因此考慮時滯因素對系統的影響，具有很強的理論和實際意義，近些年研究具有時滯項的捕食與被捕食模型越來越多[2-5]。

Freedom和Yao在1983年提出了著名的經典模型

這里c,s,和m均為正常數，其中 0 ＜m≤1，x(t)和y(t)分別表示t時刻被捕食者和捕食者的數量。Freedom和Yao對該模型進行了比較系統的分析，提出了在孕育期種群間相互干擾和時滯對種群的影響。由于種群是相互干擾，因此捕食者在捕獲食餌后，需要一定的時間才能轉化繁殖下一代的數量。然而，年幼的捕食者需要一定的生長時間才能具有捕食能力。為了更加準確描述兩種群之間的增長關系，因此本文考慮兩個種群對對方種群數量變化均具有時滯效應的模型。

由于雙時滯會給系統帶來豐富的動力學行為，也可能使得解及其穩定性發生根本性變化，因此本文主要研究具有相同時滯的捕食與被捕食模型。

對于模型（3）,假設

1.食餌初始量為正的，受環境影響具有密度制約，即f(0)＞0,f′(x)≤0 ，則存在一個常數K＞0 使得(x-K)f(x)＜0，該常數稱為環境最大容納量；

2.單個捕食者的捕獲數隨著食餌的增加而增加，即p(0)=0,p′(x)＞0 ；隨著捕食者數量的增加，相互擠占空間和競爭捕食越激烈，增長率會降低，即q(0)=0,q′(y)≥ 0 。

2 基本知識

2.1 線性近似系統及其特征方程

通過計算得到系統（4）的特征方程為

假設該特征方程有純虛根λ=iω，代入得到

得到關于ω的四次方程

2.2 零解穩定性判定理論

一階常系數線性微分方程組和二階常微分方程可以相互轉化，因此零解的穩定性保持一致。本文利用Y.Kuang的研究理論分析模型（3）的穩定性。

引理1[6]對于二階時滯微分方程

的特征方程是

假設 |α|＜1,c+d≠0,a2+b2+(d-αc)2≠0 ，那么特征方程具有正虛部的不同虛根的個數只可能為0，1，2。

3 主要結果

定理1：假設|AD|＞-BC，則

1.如果AD＜BC＜ 0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩定；

2.如果AD＞ -BC＞0,對任意的≥0 ，E(x*,y*)漸近穩定。

證明：此時（7）式右端小于零，故ω無解。假設TrJ=A+D,DetJ=AD-BC，當=0 時，特征方程（5）化為

1.AD＜BC＜0 ，則DetJ＜0 ，故 當=0 時 ，E(x*,y*)是不穩定的，由引理1即得當＞0 時，E(x*,y*)也不穩定；

2.如果AD＞-BC＞0,因為D＜0 ，所以A＜0 ，故TrJ＜0,DetJ＞0 ，則E(x*,y*)漸近穩定，所以當＞0時，E(x*,y*)也漸近穩定。

定理2：假設|AD|＜-BC，則

1.如果A+D＞ 0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩定；

2.如果A+D＜0,并且AD＜BC，對任意的≥0，E(x*,y*)不穩定；如果A+D＜0,并且AD＞BC，對任意的0 ≤＜0+，E(x*,y*)漸近穩定；對任意的＞0+，E(x*,y*)不穩定；

3.如果A+D=0,對任意的≥0，E(x*,y*)不穩定。

證明：此時（7）式只有ω2+＞0 ，即λ只有一個虛根的虛部為正數ω+。

2.如果A+D＜0 ，

若DetJ=AD-BC＜0 ，對任意的≥0，E(x*,y*)不穩定。

若DetJ=AD-BC＞0 ，因TrJ=A+D＜0 ，所以當=0 時，E(x*,y*)漸近穩定，則由引理得當0 ≤＜0+時，E(x*,y*)漸近穩定；當＞0+時，E(x*,y*)不穩定。

3.如果A+D=0,

若AD＞BC，則DetJ＜0 ，對 任 意 的≥0 ，E(x*,y*)不穩定；

若AD＞BC，則ω2±=AD-BC＞0 對 任意的≥0 ，此 時 Reλ=0 。 而即當＞0時，λ的實部是正的，所以E(x*,y*)不穩定。

定理3：假設|AD|=-BC，則

1.若AD=-BC，當＞0 時，E(x*,y*)是穩定的。

2.若AD=BC，記則當＞*時，E(x*,y*)是不穩定的。

2.記特征方程（5）的左邊為L（λ,）=λ2-（A+D）λ+AD-BCe-2λ，則L（0,）=AD-BC=0，

故分別存在一個正數和負數M1,M2，使得當λ＞M1和λ＜M2時，有L（λ,）＞0 成立。

當λ∈(0,δ1())時，L(λ,)＜0。由零點定理得至少存在一個λ*∈(δ1(),M1)，使得L(λ*,)=0，意味著特征方程（5）至少有一個正實根，則E(x*,y*)不穩定。

4 小 結

泛函微分方程理論在捕食與被捕食系統研究中的應用非常廣泛，特別是時滯參數的變化對系統的穩定性有很大的影響，利用解析法是研究零解一種非常重要的方法，但僅僅利用特征方程的根去分析有其局限性。例如定理3 第二種情形，當＜*時，很難判定特征方程存在正實部的根或者全部根都具有負實部，因此零解的穩定性難以判定。此外可以利用中心流行定理、幾何理論等成果研究周期解的存在性和穩定性、Hopf分支等問題。