非均質分布式人群接種疫苗的多組流行病模型研究

陳 亮

(黃山學院 數學與統計學院，安徽 黃山245041)

1 前 言

早期，人們對人口流動研究采用確定性模型和隨機模型，而不考慮要素之間的相互作用。這些模型提出了一個理想的均質概念,即所有元素具有相同的變化率[1]。由于統一的混合假設，經典的確定性模型不能客觀反映疾病的真實傳播機制。實際上，異質性結構和空間效應對疾病的傳播具有更直接的影響，因此，許多類型的復雜網絡已被直接用來模仿社會結構來研究疾病的傳播。

任何網絡的頂點都代表個體，邊緣代表它們之間的連接，疾病通過邊緣直接從感染性個體傳播到未感染性個體。近年來，研究者已經提出了幾種類型的計算機生成的理想化網絡來研究疾病傳播的模式，可以通過檢查頂點的連接方式和頂點在空間中的分布方式來區分網絡的類型。

通常地，隨機網絡，格子網絡，無標度網絡，小世界網絡和空間網絡被用于疾病傳播的研究[2]。在許多實際仿真中使用的最簡單的網絡是隨機網絡，其頂點的空間位置無關緊要，并且每個個體都以一定的概率連接到固定數量的隨機頂點或任何其他節點[3]。在格子網絡中，頂點位于點的規則網格上，即每個頂點有4 個鄰居，網格節點之間的接觸因此位于空間中[4]。需要注意的是，由于許多遠程鏈接，隨機網絡具有短路徑長度，但是聚類較低；而格子網絡具有較高的聚類度和較長路徑長度，即從一個節點跳到另一個節點需要很多步驟[5]。

無標度網絡具有近似于泊松的分布，可以模仿社交網絡的自然特征的連接機制將一個新節點一個接一個地添加到網絡中來動態構建[6]。新個人優先連接到已經有大量聯系的其他個人，即形成超級傳播者，這些超級傳播者在疾病傳播中起著舉足輕重的作用。在小世界網絡中，個人都是通過熟人聯系在一起的,小世界概念意味著大多數個人可以通過少量連接彼此聯系，而大多數個人則通過至少一條短路徑相互連接[7]。網絡的聚類度較高，而平均最短路徑長度較低。具有遠程連接的網絡能夠引起感染，從而較快地感染所有個體。在空間網絡中，節點和邊被嵌入到空間中，在該空間中，兩個節點的連接概率取決于其距離[8]。該疾病如何在人群中傳播，以及如何研究這種疾病的適宜傳播網絡模型仍在不斷爭論中[9]。研究疾病傳播的關鍵因素之一是社區結構，人們在社區內部的互動更多、感染幾率更大，而不是在可以接納更多感染機會的不同社區。

2 數學建模

首先將總人口N劃分為M個社區，每個社區都有Ni個個體，即考慮到社區i，將總個體Ni(t)劃分為4個不同的個體子類，包括易感的Si(t)，暴露的Ei(t)，傳染性Ii(t)和恢復的Ri(t)個體，如圖1所示。

圖1 接種疫苗后SEIR流行病動態的傳播圖

當傳染性個體以接觸率β將病原體傳播到其易感鄰居時，就會出現疾病的爆發。在M個社區中，每個可疑個體都可以與來自不同社區的傳染性個體接觸，接觸率不同。因此，多組流行病模型的標準發病率具有以下形式：

社區內部的聯系率通常高于社區之間的聯系率，我們會得到βii＞βij(i≠j)。對于潛伏期為天病期為天的疾病，暴露個體以轉移率ai感染；感染者以轉移率ri恢復。考慮疾病的單株傳播ai=a,ri=r。參數bi,di,vi分別是自然出生率，死亡率和疫苗接種率。假設所有社區的疫苗接種率相同，則vi=v。因此，我們得到的微分方程組為

在平衡狀態下，任何事件中都沒有變化率，可以將系統（2）的右側設置為零，不難看出系統（2）的無病平衡為

其解決方案受影響，特別是

使用下一代方法來推導模型基本再現數R0，得到

如果不接種疫苗vi，則R0的值會變高，這意味著疾病易于擴散。從理論上講，基本繁殖數的值可以描述流行病學現象。從這個意義上講，如果R0＞1，該疾病將成為地方病，而如果R0＜1，該疾病將消亡。特別地，如果R0=1，則系統（2）將通過跨臨界分支[10]。對于基于網絡流行模型，基本復制數由下式定義：

其中＜k＞是平均程度，即每個人的平均聯系，顯然有Rnet＜R0。

3 網絡算法

復雜網絡思想已應用于神經網絡，疾病傳播，生態網絡，蛋白質折疊，引文網絡等各個領域[11]，因此，要素之間相互作用的傳遞是關鍵。在聯系網絡中，個人由節點表示，節點之間的交互由邊緣表示。根據圖論，將其寫為G=(N,E),其中N={1 ,2,…n}是節點集合，E={e1,e2,…em} 是節點集一組邊。同時，存在一個相鄰的矩陣指向節點之間的連接，如果{i,j} ∈E則aij=1，反之如果{i,j} ?E則aij=0。

構建網絡的最簡單方法是通過畫線將節點連接在一起。首先生成多個節點，然后使用接觸半徑將多個鏈接加起來以加入這些節點。實際上，人工模擬器即網絡模型是通過計算機編程創建的。表1和表2列出了用于生成此類網絡的變量和算法。在運行與該算法相對應的計算機程序后，將研究局域網絡的程度分布。研究發現直徑的較長長度將曲線p(k)向右移動并降低了每個p(k)的峰值。隨著平均度數(k)增加到u=1，一個巨大的變量開始出現，伴隨著平均度數增加時變得更密。最大接觸半徑Dmax確定每個節點的相鄰數目。也就是說，接觸半徑的長度越長，分配的鄰居數就越多。

表1 網絡連接變量描述

表2 網絡連接算法步驟

對于具有1,000 個普通節點的本地網絡，接觸半徑Dmax的增加會導致更高的密度，聚類系數，平均路徑長度，但效率會降低。通過調整算法，即可以通過設置同時增加確定性鄰居的聯系概率來構建具有部分連接的網絡，稱為無標度網絡。當時，可以在局域網中添加一些長距離接觸來生成小世界網絡。時，可以找到所有節點相互連接的同構網絡形式。隨著直徑增加到最短路徑長度的值接近0.5，效率值接近1，可以說增加網絡直徑Dmax使得網絡越來越容易可訪問。

4 數值模擬

本實驗處理的模擬涉及1個N=1，000個普通節點的社會復雜網絡，最初是在一個固定Dmax=0.10且連接概率為pc=70%的正方形單位區域中生成的。設置M=15 個社區，并使用遺傳算法來擬合最優網絡模塊化，所有節點被組織成網絡模塊化的多組結構。此外僅考慮所有社區總和中的每個狀態變量，其中X∈{ }S,E,I,R。在模擬中，我們考慮了甲型流感病毒的時間表，平均潛伏期為4天，病期為10 天。因此在仿真中設置參數α=1/4 和γ=1/10 。社區內部和社區之間的傳輸速率通過βii=2βij進行調整。每次模擬執行100次，然后取平均值，并做出模型參數的靈敏度分析。

4.1 靈敏度分析

首先研究兩個參數γ和β對流行網絡模型的影響，在開始網絡流行病模型的仿真前，設置初始條件 即 (S(0),E(0),I(0),R(0))=(0.995,0,0.005,0) 。5 個結點具有傳染性其余995個節點在時間t=0 天易受影響。考慮到傳輸速率β以及其對流行病的影響如圖2所示。在不考慮疫苗接種(γi=0)的副作用的情況下，增加的β值與易感個體的數量成反比，隨著β值的增加，接觸者和感染者的峰值也在變高，同時，恢復的人數也增加了。此外，考慮疫苗接種水平(γi=0) ，假設所有社區疫苗接種率都相同(γi=γ,i=1,2,…15)。如圖3，將疫苗接種水平調整為1%，2%，3%和4%，接觸者和感染者數量顯著下降。

圖2 β 對流行病的影響

圖3 γ 對流行病的影響

4.2 疫苗接種水平的比較

使用統計假設檢驗考慮對應于不同疫苗接種水平的感染病例數。在每個實驗中對流行病模型進行100 次模擬后，獲得了時間150 天內平均感染病例的時間序列。表3列出了來自5個實驗的感染病例的描述性統計數據，從中可以看到，由于疫苗接種水平的提高，感染者的人數減少了。

與此同時，我們開始懷疑每個疫苗接種水平是否會對感染產生重大影響，分別將u1,u2,u3,u4,u5設為接種水平分別為0%，1%，2%，3%和4%的平均感染病例，比較了5 個樣本集的平均值，換句話說，需要檢查以下假設：

為了檢驗上述假設，在比較實驗的分析中采用了方差分析（ANOVA），并只關注疫苗接種水平差異的實驗。根據表3 中的方差分析，得到統計量F=11.257和p值小于0.05，因此，原假設H0被拒絕。從統計學上可以得出結論，不同的疫苗接種水平會導致不同結果。接下來，進一步比較每對疫苗接種水平在顯著性水平0.05 時是否相等，如表4 和表5 所示，將不同疫苗接種水平的感染病例的平均值進行比較。使用顯著性水平為0.05的多次比較，發現相對于疫苗接種率0%和1%的感染病例數無關。同樣，疫苗接種水平為1%和2%也是無關的。此外，疫苗接種水平2%，3%和4%也提供了不同的結果。

表3 5組樣本的方差分析檢驗

表4 均勻子集中的平均值

表5 疫苗接種水平的多重比較

5 結論及未來研究

文章提出了多組SEIR流行病模型，并通過數學推導得出了其基本繁殖數。通過復雜網絡來代表社會是非常可行且合理的；隨后提出了一種生成聯系網絡算法，在顯著性水平0.05上檢查生成的網絡的度分布的正態性，發現具有社區的網絡流行病模型可以捕獲人口網絡中的疾病傳播。這表明，提出的模型可以直接用于控制疾病傳播，尤其是疫苗接種的控制策略；最后使用方差分析F檢驗和多重比較以顯著性水平0.05 檢驗了不同疫苗接種水平的效果，結果與假設吻合度較高，即更高的傳播速度會導致該疾病更具傳染性，而更高的疫苗接種水平會大大減少更多的感染個體。

用于研究人類和動物種群疾病傳播的復雜網絡的豐滿的框架在許多方面仍然在數學和計算上具有挑戰性，例如流行病網絡模型的解析方法，在該領域中使用的網絡是加權和未加權的網絡，兩種類型的網絡都可以是靜態或動態的。考慮靜態的非加權網絡，不同類型的網絡可能具有相同的度數分布，但是它們顯示出不同的流行病傳播模式。要研究復雜社交網絡上的流行病動態，需要進行蒙特卡洛仿真。