數(shù)學(xué)建模競賽創(chuàng)新分析體系構(gòu)建及實(shí)踐探索

常志強(qiáng) 呂俊杰 張 博 趙文媛＊

（哈爾濱醫(yī)科大學(xué)，黑龍江 哈爾濱 150081）

【關(guān)鍵字】數(shù)學(xué)建模；問題分析；數(shù)學(xué)模型；學(xué)科競賽

0 引言

數(shù)學(xué)建摸是提升大學(xué)生創(chuàng)新、實(shí)踐等綜合素質(zhì)能力的重要學(xué)科競賽[1]，也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)能力的重要平臺(tái)[2]。隨著比賽的開展，數(shù)學(xué)模型研究方法日趨完善，論文寫作日趨規(guī)范。盡管如此，當(dāng)前學(xué)生在分析問題這一方面仍存在不足，包括參賽學(xué)生對(duì)問題認(rèn)識(shí)不清[5]，對(duì)各問題間的關(guān)系捉摸不透等。當(dāng)前相關(guān)參考文獻(xiàn)在引導(dǎo)大學(xué)生分析問題這一重要環(huán)節(jié)卻相對(duì)忽略，這恰恰是每個(gè)大學(xué)生要掌握的重要技能，這也是數(shù)學(xué)建模競賽設(shè)立的初衷。

數(shù)學(xué)建模有方法，創(chuàng)新有方法，那么數(shù)學(xué)建模競賽是否有方法呢？ 創(chuàng)新是一個(gè)從無到有，從有到精的一個(gè)遞進(jìn)過程。 基于創(chuàng)新的思想，為了能夠解釋出數(shù)學(xué)建模競賽中問題之間的關(guān)系以及如何分析問題，本文通過對(duì)歷年真題進(jìn)行整理，分析和比較，最終總結(jié)出一個(gè)具有創(chuàng)新意義的問題分析流程（圖1）。 經(jīng)過實(shí)踐，該流程對(duì)幾乎所有歷年賽題有效，只要按照這個(gè)分析流程分析和解決問題，基本上能達(dá)到賽題要求。

1 數(shù)學(xué)建模競賽問題分析體系

本文從問題出發(fā)， 針對(duì)問題及問題要求間關(guān)系、問題參數(shù)間關(guān)系、問題模型間關(guān)系和問題解與出題人想法間關(guān)系這4 個(gè)關(guān)系對(duì)數(shù)學(xué)建模問題的分析進(jìn)行詳細(xì)的解讀。

1.1 問題及問題要求間關(guān)聯(lián)

圖1 數(shù)學(xué)建模競賽分析體系

數(shù)學(xué)建模競賽主要考察對(duì)象是大學(xué)生，而大學(xué)生正處于分析問題和解決問題的初步階段，他們分析和實(shí)踐能力相對(duì)不足。 建模競賽的出題過程也是一個(gè)逐步遞進(jìn)、啟發(fā)大學(xué)生思考的過程。 數(shù)學(xué)建模一般會(huì)以3～4 個(gè)問題的形式逐步展開。在此，本文以含4 個(gè)問題的賽題為例，問題1 到問題2 是一個(gè)遞進(jìn)關(guān)系，同樣，問題2 到問題3，問題3 到問題4 也都是遞進(jìn)關(guān)系。

所述的遞進(jìn)關(guān)系主義含義為， 前者是后者的基礎(chǔ)，而后者是在前者基礎(chǔ)上提出的。在遞進(jìn)關(guān)系中，問題1，問題2，問題3，問題4 都是遞進(jìn)關(guān)系，也就是起源是1，終點(diǎn)是4，只要滿足問題4，那么整個(gè)建模問題就都會(huì)解決。 從這個(gè)意義上講，該賽題雖然有4 個(gè)題目，但實(shí)際上是一個(gè)問題，那就是“題目”。那如何應(yīng)用該關(guān)聯(lián)呢？ 從辯證角度講，可分別從問題1 入手后正向推演，或者從問題4 入手后逆向推演。

1.2 參數(shù)間關(guān)聯(lián)

由于問題間的遞進(jìn)關(guān)系，后面的問題往往是在前面問題基礎(chǔ)上生成的，因此需要的參數(shù)也是一種遞進(jìn)關(guān)系。 后面問題的參數(shù)往往又包含了前面問題的參數(shù)，這是一種包含關(guān)系。 如果后面的問題沒有前面問題的參數(shù)，這說明兩者間的遞進(jìn)關(guān)系不滿足，這樣的模型基本是不符合實(shí)際情況的，需要重新進(jìn)行校訂和修改。 同樣，前面問題中的參數(shù)要為后面的問題進(jìn)行鋪墊，這也決定了前面問題的參數(shù)對(duì)后面問題有應(yīng)用價(jià)值，否則前面問題就沒有出現(xiàn)的意義，這是由于問題整體性決定的。

1.3 模型間關(guān)聯(lián)

由于問題和參數(shù)的遞進(jìn)關(guān)系，針對(duì)每個(gè)問題建立的模型也必然是一種遞進(jìn)關(guān)系，這種遞進(jìn)關(guān)系包含了參數(shù)的遞進(jìn)和要解決問題的遞進(jìn)，我們把這種關(guān)系叫做基礎(chǔ)；反過來，后一個(gè)問題的模型往往能夠解決前一個(gè)問題。 這個(gè)邏輯思維在建模過程中是至關(guān)重要的。如果前一模型對(duì)于下一問題模型沒有任何作用或者說不是后一個(gè)問題的基礎(chǔ)，那么參賽者對(duì)于問題的理解是有所偏頗的或者是不正確的。如果后一個(gè)問題不能解決前一個(gè)問題，只有兩種情況，一種是上一問題理解錯(cuò)了；另一種是當(dāng)前問題理解錯(cuò)了。

根據(jù)上述結(jié)論，建立模型時(shí)，要先從全局角度進(jìn)行分析。 問題1 是問題2 的基礎(chǔ)，問題2 是問題3 的基礎(chǔ)，問題3 是問題4 的基礎(chǔ)，從這個(gè)邏輯看，只要完成了問題4，前面所有問題也就都解決了。 因此，建模時(shí)要先從全局角度進(jìn)行建模分析，從最后一問分析入手，先確定所要建立模型的整體結(jié)構(gòu)，然后逐步確定第3 問的問題模型，第2 問的問題模型和第1 問的問題模型。

問題模型間的關(guān)聯(lián)無論從建立模型還是評(píng)價(jià)模型都有較實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，對(duì)理解問題也有重要的參考意義和實(shí)際的指導(dǎo)價(jià)值。 通過在近3 年的教學(xué)實(shí)踐，學(xué)生們對(duì)這個(gè)觀點(diǎn)也表示認(rèn)同，并認(rèn)為對(duì)建模實(shí)踐非常有可操作性。

1.4 問題解及出題人想法間關(guān)聯(lián)

在建模實(shí)踐中，模型的解不一定是問題的解。 模型中給出一種計(jì)算方法，或是給出一個(gè)參數(shù)值，求得一組數(shù)值解。但是出題人的想法可能要從多個(gè)角度進(jìn)行分析， 也就是需要帶入多組數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算和比較，而這往往是模型本身不能直接反映出來的。 因此，在模型求解時(shí)，一定要以問題要求和出題人的想法為出發(fā)點(diǎn)進(jìn)行分析。 以計(jì)算平面折疊桌桌尾曲線題為例，其不僅要給出不同角度的曲線方程，還要根據(jù)不同角度將圖形繪制出來。

在實(shí)際建模過程中， 出題人的想法至關(guān)重要，他往往超越了模型本身， 題目中蘊(yùn)含了出題人的想法，這恰恰是建模的核心之處。

1.5 例題講解

以2016 年賽題A 題為例進(jìn)行分析。 該問題為系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。

在問題簡述方面，問題2 中“在問題1 的假設(shè)下”，這是遞進(jìn)關(guān)系； 問題2 中提及了錨點(diǎn)與海床的夾角和鋼桶傾斜角，而問題1 沒有涉及，這也是遞進(jìn)關(guān)系。 問題3 中水深是一個(gè)變量，這是在問題2 中定量的遞進(jìn)；水速和風(fēng)速從定值變成變量，這也是遞進(jìn)關(guān)系。

問題要求中，問題1 到問題2，再到問題3，出題人從求解給定數(shù)值解到給定范圍解，這都是遞進(jìn)關(guān)系的體現(xiàn)。

在參數(shù)方面，問題1 中的風(fēng)速、海水密度、水深、重物球質(zhì)量、錨鏈長度是常數(shù)，鋼桶傾斜角度是常數(shù)；而在問題2 中，重物球質(zhì)量變成變量，鋼桶傾斜角度也成為變量，這也是遞進(jìn)關(guān)系。反過來，問題2 中的參數(shù)都包含了問題1 中的參數(shù)，是包含關(guān)系。

在模型方面， 問題1 的模型根據(jù)關(guān)系求解值即可；在值求解的過程中建立的函數(shù)關(guān)系對(duì)第二問有一定基礎(chǔ)，但由于其增加了參數(shù)，因此他并不能解決第二問的問題，所以問題1 是問題2 的基礎(chǔ)；反過來，問題2 的模型，將風(fēng)速、傾斜角、質(zhì)量等設(shè)為問題1 中的定值時(shí)，則能解決第1 問的問題，就是解決關(guān)系。 同樣，相比第三問，第二問中水深、水速、風(fēng)速是定值，它們僅能為第三問提供基礎(chǔ)模型，但反過來，將第三問模型中參數(shù)值變成定值，就能解決第2 問的問題。 這就是解決關(guān)系。綜合講，該問題只需1 個(gè)模型，那就是第3 問的模型。 只要第3 問模型構(gòu)建完畢，所有問題都會(huì)得到解決。

在出題人想法方面，本題希望大學(xué)生給出系泊系統(tǒng)中所有參數(shù)間關(guān)系， 并給出特定情況下的具體值。因此，必須有有針對(duì)性的進(jìn)行討論。

2 評(píng)價(jià)與討論

2.1 歷年真題賽題實(shí)際情況評(píng)價(jià)

全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽從1992 年開始， 至今已有25 套賽題， 通過對(duì)所有本科組賽題利用本文的建模競賽標(biāo)準(zhǔn)分析方法進(jìn)行分析，結(jié)果顯示除去只含一個(gè)問題的賽題，本分析方法適用于所有的賽題。 這充分表明本方法在分析建模賽題和審查賽題問題上是十分有效的。

此外，本方法不僅可以用來進(jìn)行問題分析，同樣也可以作為論文評(píng)價(jià)的參考標(biāo)準(zhǔn)。 如果問題、參數(shù)間沒有遞進(jìn)關(guān)系，說明論文分析的有問題；如果不同問題間的模型沒有關(guān)聯(lián)， 那么論文也是偏離出題人思想，其結(jié)果很難令人信服。 若后面問題的模型不能解決前面問題， 這一般是模型間的聯(lián)系不緊密造成的，從全局看，這樣的論文也是有所偏頗的。

2.2 討論

本團(tuán)隊(duì)研究得出的數(shù)學(xué)建模標(biāo)準(zhǔn)分析方法在一定程度上對(duì)于把握賽題內(nèi)容和方向是十分有效的，對(duì)論文撰寫也有一定的指導(dǎo)意義。這個(gè)研究成果在一定程度上補(bǔ)充了當(dāng)前數(shù)學(xué)建模競賽教育新的內(nèi)容，也為建模競賽培訓(xùn)工作指明了培訓(xùn)方向，相信經(jīng)過本研究成果的推廣，更多的學(xué)生能更快捷方便的進(jìn)入到數(shù)學(xué)建模的邏輯思維中來，參賽水平也會(huì)有較高質(zhì)量的提升。此外，問題分析的過程是一個(gè)十分復(fù)雜的過程，不同的問題要分析出不同的模型，這在本論文的標(biāo)準(zhǔn)方法中沒有體現(xiàn) ，今后將繼續(xù)開展針對(duì)性研究，將數(shù)學(xué)建模方法更完善，更系統(tǒng)。

3 結(jié)語

本文在實(shí)踐中摸索出具有創(chuàng)新性數(shù)學(xué)建模競賽分析體系，該體系在教學(xué)實(shí)踐和學(xué)生競賽實(shí)踐中均表現(xiàn)出較強(qiáng)的實(shí)踐價(jià)值和實(shí)戰(zhàn)作用。該體系對(duì)當(dāng)前數(shù)學(xué)建模競賽有重要指導(dǎo)意義，對(duì)其他學(xué)科競賽的創(chuàng)新實(shí)踐也具有一定的參考價(jià)值。