含一階導數項的二階常微分方程Dirichlet邊值問題解的存在唯一性

陳慧玲，崔玉軍

(山東科技大學 數學與系統科學學院,山東 青島 266590)

微分方程邊值問題在數學中的應用十分廣泛,近年來,關于二階微分方程Dirichlet邊值問題的相關研究受到許多學者的關注,并已有許多重要結果[1-2]。本研究主要探討含一階導數項的二階微分方程Dirichlet邊值問題解存在唯一性,其中f:[0,1]×R×R→R為連續函數。當非線性項不含有未知函數的導數時；已有文獻研究了各類微分方程邊值問題解的存在性和唯一性.如文獻[3-4]利用錐上不動點指數和不動點理論研究了二階微分方程正解的存在性；文獻[5]討論了超線性條件下奇異邊值問題正解的存在性；文獻[6]利用分歧理論討論了超線性和次線性條件下二階微分方程多解的存在性；文獻[7]利用矢量場旋轉度理論研究了二階微分系統多解的存在性；文獻[8]利用混合單調算子給出了奇異二階微分方程Dirichlet邊值問題解的存在唯一性,文獻[9]在假設非線性項滿足Lipschitz條件的情況下，運用u0-范數和壓縮映射原理給出了一類四階微分方程邊值問題解的存在唯一性結論。當非線性項含有未知函數的導數時,微分方程邊值問題解存在唯一性的研究還需要進一步的探索和完善。

(1)

本研究首先將求解含一階導數項的二階微分方程Dirichlet邊值問題轉化為求積分方程組的連續解,然后在廣義的Lipschitz條件下,運用Picard逐次逼近法和矩陣的譜理論證明了積分方程解的存在唯一性。本研究的主要創新之處在于，一是微分方程邊值問題的非線性項推廣到含有未知函數的導數和滿足廣義的Lipschitz條件，這使得微分方程邊值問題的研究更具有一般性；二是通過定義在乘積空間上的非線性算子，利用Picard逐次逼近法和矩陣的譜理論得到了解的存在唯一性結論,并給出一致收斂于唯一解迭代序列的誤差估計式。

1 預備工作

假設δ(t)是定義在[0,1]上的連續函數,則二階微分方程Dirichlet邊值問題

(1)

的解[2]可表示為：

其中格林函數G(t,s)的表達式為：

對積分方程兩邊求導可得：

因此當f:[0,1]×R×R→R連續時,微分方程Dirichlet邊值問題：

解的存在性等價于積分方程組

(2)

解的存在性,其中v=u′。

引理1[2]格林函數G(t,s)具有下列性質:

1) 0≤G(t,s)≤t(1-t),?t,s∈[0,1],

2)G(t,s)≥s(1-s)·t(1-t),?t,s∈[0,1]。

假設下列條件成立:

(H1):存在定義在[0,1]上的非負連續函數p(t),q(t),對t∈[0,1],有|f(t,x1,y1)-f(t,x2,y2)|≤p(t)|x1-x2|+q(t)|y1-y2|,x1,x2,y1,y2∈R。

(H2):存在定義在[0,1]上的非負連續函數φ1(t),φ2(t),使得對任意非負連續函數ψ1(t),ψ2(t),都有:

(3)

(4)

其中,M,N是依賴于ψ1(t),ψ2(t)的非負數。

特別是,當ψ1(t)=φ1(t)時,使得式(3)成立的最小的M記作λ11；當ψ1(t)=φ2(t)時,使得式(3)成立的最小的M記作λ12；當ψ2(t)=φ1(t)時,使得式(4)成立的最小的N記作λ21；當ψ2(t)=φ2(t)時,使得式(4)成立的最小的N記作λ22。

(H3):由(H2)中λ11,λ12,λ21,λ22構成的二階矩陣

的譜半徑記為r(A),且滿足r(A)<1。

(5)

下面舉例說明條件(H2)的合理性：

由引理1可知格林函數G(t,s)滿足G(t,s)≤t(1-t),?t,s∈[0,1],因此對任意非負連續函數ψ1(t)有

又由|Gt(t,s)|≤1,對任意非負連續函數ψ2(t)可得:

當φ1(t)=t(1-t),φ2(t)=1時,舉例說明條件(H3)的合理性。

1) 當p(t)=5,q(t)=1時。經過積分計算可得:

2) 當p(t)=6t,q(t)=2t時。經過積分計算可得:

2 主要結果

定理1若條件(H1)、(H2)、(H3)成立,則二階微分方程Dirichlet邊值問題(1)存在唯一解u∈C[0,1]。

T(u,v)=(T1(u,v),T2(u,v)),

其中

顯然,u是邊值問題(1)的連續解當且僅當(u,u′)=T(u,u′)=(T1(u,u′),T2(u,u′)),即(u,u′)是算子T的不動點。因此下面討論算子T不動點的存在唯一性。

任意取(u0,v0)∈C[0,1]×C[0,1],定義序列：

首先證明{(un(t),vn(t))}是C[0,1]×C[0,1]上的柯西列。由條件(H1)和(H2)可知,存在非負常數M=M1+M2,其中M1依賴于|u1(t)-u0(t)|,M2依賴于|v1(t)-v0(t)|,使得：

類似可證,存在非負常數N=N1+N2,使得

≤N1φ2(t)+N2φ2(t)=Nφ2(t),t∈[0,1]。

下面利用數學歸納法證明:對任意的k≥1,有

|uk(t)-uk-1(t)|≤aρk-1φ1(t),|vk(t)-vk-1(t)|≤aρk-1θφ2(t),t∈[0,1],

(6)

明顯當k=1時,(6)式成立。假設當k=n時,(6)式也成立。當k=n+1時,利用式(5)和條件(H2)有

和

≤aρn-1(λ21+λ22θ)φ2(t)≤aρnθφ2(t),t∈[0,1]。

這說明式(6)對任意的k≥1時成立。對任意的m,n≥1,由式(6)可得

|un+m(t)-un(t)|=|un+m(t)-un+m-1(t)+un+m-1(t)-un+m-2(t)+…+un+1(t)-un(t)|

≤|un+m(t)-un+m-1(t)|+|un+m-1(t)-un+m-2(t)|+…+|un+1(t)-un(t)|

≤aρn·φ1(t)·(1+ρ+ρ2+…+ρm-1)

(7)

和

|vn+m(t)-vn(t)|≤|vn+m(t)-vn+m-1(t)|+|vn+m-1(t)-vn+m-2(t)|+…+|vn+1(t)-vn(t)|

≤aθρn·φ2(t)·(1+ρ+ρ2+…+ρm-1)

(8)

因此,{(un(t),vn(t))}是C[0,1]×C[0,1]上的柯西列。由空間C[0,1]×C[0,1]的完備性,存在(u,v)∈C[0,1]×C[0,1],使得{(un(t),vn(t))}在C[0,1]×C[0,1]上一致收斂于(u(t),v(t))。利用函數f的連續性和函數列的一致收斂性，不難證明:

且滿足u′=v。說明算子T存在不動點(u,u′)。在式(7)～(8)中令m→+∞，可得到迭代序列一致收斂于微分方程解的誤差估計式：

算子T不動點唯一性的證明類似于不動點存在性的證明,故略去。

3 結論

研究了含一階導數項的二階微分方程Dirichlet邊值問題解的存在唯一性，首先利用變量代換轉化為等價積分方程組連續解的存在唯一性問題。然后在非線性項滿足廣義的Lipschitz條件下,運用Picard逐次逼近法和矩陣的譜理論證明了解的存在唯一性，并給出一致收斂于唯一解迭代序列的誤差估計式。在后續的研究中，將針對分數階微分方程邊值問題解的存在唯一性問題進行研究。