電磁感應問題中導體滑動距離求解的三種思路

湖北 許 文

在閉合回路中一部分導體做切割磁感線運動類的電磁感應問題中，導體受到安培力大小與導體運動的速度大小有關(guān)。若無其他外力的作用，導體做非勻變速運動。在這種問題中求導體運動的距離，需要有較強的知識整合能力與思維能力。本文通過典型實例分析，從知識與思維兩個維度，歸納總結(jié)此類問題求解的三種思路。

一、問題與思路

【問題】如圖1所示，MN、PQ是位于同一水平面上、相互平行、足夠長的光滑金屬導軌，兩導軌相距L，電阻不計，其左端用導線連接一個阻值為R的定值電阻，將一個質(zhì)量為m，電阻為r的導體棒垂直于導軌放置，整個裝置處在垂直于導軌平面、范圍足夠大的磁感應強度為B的勻強磁場中。現(xiàn)給導體棒一個沿軌道方向的水平初速度v0，導體棒沿導軌運動過程中始終保持與導軌垂直，且接觸良好。求導體棒在整個過程中的位移大小x。

圖1

【思路】

思路1(用微元法求解)導體棒在整個過程中做加速度減小的減速運動，若將其運動過程分成很多微小段，可認為導體棒在每個微小段內(nèi)做勻變速運動。

小結(jié)1 利用微元法求解，將導體棒的整個運動過程分成很多微小時間單元，在每個微元內(nèi)，可認為導體棒是勻變速運動或勻速運動，利用勻變速運動與勻速運動的相關(guān)規(guī)律求出這個微元內(nèi)導體棒運動的位移，然后再求其和。微元法是處理變化問題的基本方法之一，其核心的思想是化變?yōu)楹?，通過先微分后積分的方式解決問題，這種方法對物理建模能力及數(shù)學知識的運用能力要求較高。

整個過程對導體棒分析，由動量定理得

小結(jié)2 動量定理求解，巧妙地利用了安培力的平均沖量與感應電荷量間的關(guān)系、感應電荷量與回路中磁通量的變化關(guān)系。回路中磁通量的變化量與導體棒運動的位移大小有關(guān)，與運動時間無關(guān)。這種方法對知識的整合度要求較高。

小結(jié)3 利用“另類勻變速運動”規(guī)律求解，要根據(jù)“相等位移內(nèi)速度的變化相等”這一特征，結(jié)合牛頓運動定律與勻變速運動規(guī)律，導出“另類勻變速運動”的受力及運動規(guī)律的表達式。這種方法對知識的理解與遷移能力要求較高。

二、應用與練習

【例題】如圖2所示，空間等間距分布著水平方向的條形勻強磁場，豎直方向磁場區(qū)域足夠長，磁感應強度B=1 T，每一條形磁場區(qū)域的寬度及相鄰條形磁場區(qū)域的間距均為d=0.5 m?，F(xiàn)有一邊長l=0.2 m、質(zhì)量m=0.1 kg、電阻R=0.1 Ω的正方形線框MNOP以v0=7 m/s的初速度從左側(cè)磁場邊緣水平進入磁場，求：

圖2

(1)線框MN邊剛進入磁場時受到的安培力大小F；

(2)線框從開始進入磁場到豎直下落過程中產(chǎn)生的焦耳熱Q；

(3)線框能穿過完整條形磁場區(qū)域的個數(shù)n。

【解析】(1)線框MN邊剛進入磁場時產(chǎn)生的感應電動勢大小為E0=Blv0

解得Q=2.45 J

(3)選取水平向右為正方向。當線框水平方向速度減為零時，線框在有安培力作用過程中沿水平方向運動的總距離為x。

解法1 設(shè)線框在進入和穿出條形磁場過程中水平速度為v時，其水平方向的加速度為a，由牛頓第二定律有

在一段很短的時間Δt內(nèi)線框的水平速度變化Δv，有

在時間Δt內(nèi)線框水平方向的位移為

同理線框穿過第1個條形磁場右邊界過程中有

故線框穿過第1個條形磁場全過程中有

圖3