氣體狀態變化中關聯問題的處理

重慶 張大洪

選修3-3模塊是高考的熱學知識部分，是每年必考的模塊，其中理想氣體狀態方程與氣體實驗定律知識點是本模塊的重難點，一般分值在10分；封閉氣體壓強的計算則是該知識點中的最基本的問題，本文將氣體狀態變化中的關聯問題分類探討，希望能對廣大中學生起到有效的指導作用。

1.液柱關聯下的氣體壓強計算

【典例】已知大氣壓強為p0，圖1所示的裝置處于靜止狀態，液體密度均為ρ，各段液柱尺寸已標于圖中，求被封閉的各段氣體的壓強。

圖1

【解析】對于圖1中氣體b而言，通過右邊的彎曲液柱與大氣相關聯，關聯的最低液面即為A面；又因為等高液面的壓強必相等，即圖1中pB=p0，那么由A面與右側液柱的壓強平衡pb=pA=pB+pAB，即pb=p0+ρg(h2-h1)；對管內封閉氣柱a而言，其將通過豎直液柱h3與氣體b相關聯，關聯的最低液面為C面，由C面壓強平衡pC=pb=pa+ph3，即pa+ρgh3=p0+ρg(h2-h1)，故pa=p0+ρg(h2-h1-h3)。

【點評】由液柱關聯下的氣體壓強處理：

(1)連通器內靜止的同種液體(中間液體不間斷)在等高液面(即在同一水平液面)處的壓強大小一定是相等的；

(2)探討由靜止液柱封閉的氣柱壓強時，以與封閉氣柱相關聯的液柱的最低液面研究對象，利用該液面受到的向上、向下壓力的平衡來處理；

(3)探求由非平衡狀態的液柱封閉的氣體壓強時，以與氣柱相關聯的液柱為力學研究對象進行受力分析、用牛頓第二定律列出方程處理；

(4)準確把握好幾何關系，找出輔助的相關關系；

(5)兩部分氣體的問題，要分別以兩部分氣體為研究對象，根據對應實驗規律列方程。

圖2

【真題賞析】(2018年全國卷Ⅲ第33題)在兩端封閉，粗細均勻的U形細玻璃管內有一段水銀柱，水銀柱的兩端各封閉有一段空氣如圖2所示；當U形管兩端豎直朝上時，左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm，左邊氣體的壓強為12.0 cmHg。現將U形管緩慢平放在水平桌面上，沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊。求U形管平放時兩邊空氣柱的長度。在整個過程中，氣體溫度不變。

【解析】圖2中U形管兩端豎直朝上時，通過水銀柱關聯的左、右兩部分氣體中，水銀柱的最低液面在左管，故對左管液面利用壓強平衡有(設此時左、右兩邊氣體的壓強分別為p1和p2)p1=p2+ρg(l1-l2)。當U形管水平放置時，管中的水銀柱必將向氣體“2”的一側移動并最終達到靜止，如圖3所示，此時兩邊氣體壓強相等設為p。

圖3

由題給條件及①②③共同解得

【真題賞析】(2017年全國卷Ⅲ第33題)一種測量稀薄氣體壓強的儀器如圖4(甲)所示，玻璃泡M的上端和下端分別連通兩豎直玻璃細管K1和K2，K1長為l，頂端封閉，K2上端與待測氣體連通；M下端經橡皮軟管與充有水銀的容器R連通。開始測量時，M與K2相通；逐漸提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高，此時水銀已進入K1，且K1中水銀面比頂端低h，如圖4(乙)所示。設測量過程中溫度、與K2相通的待測氣體的壓強均保持不變。已知K1和K2的內徑均為d，M的容積為V0，水銀的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

(ⅰ)待測氣體的壓強；

(ⅱ)該儀器能夠測量的最大壓強。

甲

乙

(ⅱ)由題意知h≤l根據“(ⅰ)”中的結果

2.由單一活塞關聯的氣體壓強問題

圖5

圖6

【點評】由活塞關聯下的氣體壓強處理：

(1)正確分析活塞的受力情況，結合活塞的運動情況由力的平衡或牛頓第二定律來探究壓強的關聯情況；

(2)兩部分氣體的問題，分別以兩部分氣體為研究對象，找出各自狀態參量及其相關關系(注意圖中的幾何關系)，然后根據相應的氣體實驗定律列方程。

【真題賞析】(2017年全國卷Ⅰ第33題)如圖7所示，容積均為V的氣缸A、B下端有細管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動的活塞(質量、體積均可忽略)。初始時，三個閥門均打開，活塞在B的底部；關閉K2、K3，通過K1給氣缸充氣，使A中氣體的壓強達到大氣壓p0的3倍后關閉K1。已知室溫為27℃，氣缸導熱。

(ⅰ)打開K2，求穩定時活塞上方氣體的體積和壓強；

(ⅱ)接著打開K3，求穩定時活塞的位置；

(ⅲ)再緩慢加熱氣缸內氣體使其溫度升高20℃，求此時活塞下方氣體的壓強。

圖7

3.復式活塞關聯下氣體壓強的處理

【典例】氣缸由兩個橫截面不同的圓筒連接而成，活塞A、B被輕質剛性細桿連接在一起，活塞可無摩擦移動，活塞A、B的質量分別為m1=24 kg、m2=16 kg，橫截面積分別為S1=6.0×10-2m2、S2=4.0×10-2m2，一定質量的理想氣體被封閉在兩活塞之間，活塞外側大氣壓強p0=1.0×105Pa。

(1)如圖8甲所示，氣缸水平放置達到平衡狀態時，求內部氣體的壓強。

(2)已知水平放置平衡時氣體的體積V=2.0×10-2m3，現保持溫度不變將氣缸豎直放置，如圖8乙所示，取重力加速度g=10 m/s2。達到平衡后，活塞在氣缸內移動的距離為多少?(活塞A還未到達氣缸連接處)

甲

乙

【解析】(1)由題知當氣缸達到平衡狀態即表明復式活塞系統必處于平衡，故復式活塞系統的受力必滿足平衡條件，但需注意A、B的受力方向與面積大小；設平衡時氣缸內氣體壓強為p1，對于復式活塞A、B系統受力如圖8所示，由平衡條件有p0S1+p1S2=p1S1+p0S2，解得p1=p0=1.0×105Pa。

【點評】對復式活塞關聯問題：

(1)選取復式活塞(含桿)整個連體為研究對象，正確對其進行受力分析；

(2)弄清復式活塞各面受到的壓力方向與大小(含大氣壓力、封閉氣體壓力)，利用力的平衡條件或牛頓第二定律列式探究壓強關系；

(3)應用相應的氣體實驗定律聯合求解。

【真題賞析】(2019年全國卷Ⅱ第33題)如圖9所示，一容器由橫截面積分別為2S和S的兩個氣缸連通而成，容器平放在地面上，氣缸內壁光滑。整個容器被通過剛性桿連接的兩活塞分隔成三部分，分別充有氫氣、空氣和氮氣。平衡時，氮氣的壓強和體積分別為p0和V0，氫氣的體積為2V0，空氣的壓強為p。現緩慢地將中部的空氣全部抽出，抽氣過程中氫氣和氮氣的溫度保持不變，活塞沒有到達兩氣缸的連接處，求：

(ⅰ)抽氣前氫氣的壓強；

(ⅱ)抽氣后氫氣的壓強和體積。

圖9

【解析】(ⅰ)設抽氣前氫氣的壓強為p′，左邊活塞2S必受氫氣對其水平向右的壓力p′·2S、及空氣對其水平向左的壓力p2S作用，右邊活塞S必受氮氣對其水平向左的壓力p0S、及空氣對其水平向右的壓力pS作用，根據力的平衡條件得(p′-p)·2S=(p0-p)·S，解得p′=(p0+p)。

(ⅱ)將空氣抽出過程中由于空氣壓強不斷減小，故空氣對兩活塞的壓力也不斷減小，因而復式活塞A、B系統合力必向右，故A、B系統必將向右邊移動；設抽氣后氫氣的壓強和體積分別為p1和V1，氮氣的壓強和體積分別為p2和V2，根據力的平衡條件有p2·S=p1·2S①，由于此過程溫度保持不變，由玻意耳定律對氫氣有p1V1=p′·2V0②

對氮氣有p2V2=p0·V0③，在上述狀態變化過程中氫氣體積增加了V1-2V0，氮氣體積減小了V0-V2，由于兩活塞用剛性桿連接由題中的活塞面積大小關系故必有V1-2V0=2(V0-V2)④

【拓展】對于液柱或活塞封閉的氣體，無論裝置處于力學平衡狀態或有加速度的非平衡狀態，一般選擇與氣柱相關聯的液柱或活塞為力學研究對象進行受力分析、列平衡方程或用牛頓第二定律列出方程。

4.一部分氣體的多個關聯過程問題

圖10

(ⅰ)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，氣缸內封閉氣體的溫度；

(ⅱ)缸內封閉的氣體與缸外大氣達到熱平衡時，缸內封閉氣體的壓強。

【解析】由題意知封閉氣體在緩慢變化中經歷了兩個過程，即從圖10所示狀態到大活塞與大圓筒底部接觸前的狀態、從大活塞與大圓筒底部接觸狀態到封閉氣體與缸外大氣達到熱平衡的狀態，兩過程是通過大活塞與大圓筒底部接觸前氣體的狀態相關聯。

【點評】對多過程的關聯問題要注意：

(1)階段性：即弄清一個物理變化分為哪幾個階段；

(2)聯系性：即找出幾個階段之間是由什么物理量聯系起來的；

(3)規律性：即明確哪個階段應遵循什么實驗定律。

【總結】封閉氣體的壓強，不僅與氣體的狀態變化有關，還與相關聯的液柱、活塞、氣缸等物體的受力情況和運動狀態有關，解決這類問題的關鍵有以下3點：

(1)明確研究對象(力學對象與熱學對象)；

(2)對力學對象(液柱、活塞、氣缸等)進行正確的受力情況分析和運動運動情況分析，列出關于研究對象的力學方程，找出各熱學對象間的壓強關系；