導(dǎo)體棒切割磁感線運動的相關(guān)問題及求解方法

浙江 成金德

電磁感應(yīng)是高中物理中的重點知識之一，導(dǎo)體棒在勻強磁場中做切割磁感線運動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的相關(guān)內(nèi)容是電磁感應(yīng)知識中的重要組成部分。導(dǎo)體棒問題又易與共點力平衡、牛頓第二定律、能量、動量和電路等知識聯(lián)系，所以，導(dǎo)體棒問題在高考中占有十分重要的地位。本文就導(dǎo)體棒做切割磁感線運動問題的解題方法做粗淺的分析和探討。

1.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與平衡問題的聯(lián)系

導(dǎo)體棒在磁場中做切割磁感線運動處于平衡狀態(tài)時，將表現(xiàn)出如下特點：其一，相關(guān)電路中的電流是恒定電流；其二，導(dǎo)體棒所受的合力為零。求解時要注意對導(dǎo)體棒進行受力分析，靈活運用平衡條件建立方程。

【例1】兩金屬桿ab和cd長均為l，電阻均為R，質(zhì)量分別為M和m且M>m。用兩根質(zhì)量和電阻均可忽略且不可伸長的柔軟導(dǎo)線將它們連成閉合電路，并懸掛于水平、光滑、不導(dǎo)電的圓棒兩側(cè)。兩金屬桿都處在水平位置，如圖1所示，整個裝置處在與回路平面相垂直的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B。若金屬桿ab正好勻速向下運動，求運動的速度。

圖1

【解析】當金屬桿ab正好勻速向下運動時，金屬桿ab和cd均處于平衡狀態(tài)。設(shè)磁場方向垂直紙面向里。

ab桿中感應(yīng)電動勢E1=Blv，方向由a→b

cd桿中感應(yīng)電動勢E2=Blv，方向由d→c

則回路中感應(yīng)電流方向為a→b→d→c，大小為

由平衡條件知，對ab桿有FT+F=Mg

對cd桿有FT=F+mg

式中FT為桿受到導(dǎo)線的拉力

【小結(jié)】找到平衡條件是解決這類題型的關(guān)鍵，本題中兩金屬桿平衡時所受合力均為零，由此建立相關(guān)方程，再結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律和閉合電路歐姆定律，所求問題即可解決。

2.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與牛頓第二定律的聯(lián)系

解決導(dǎo)體棒在磁場中做勻加速切割磁感線運動的問題，要注意把握以下兩點：其一，對導(dǎo)體棒進行受力分析，在此基礎(chǔ)上確定導(dǎo)體棒是否做勻加速運動；其二，熟練應(yīng)用牛頓第二定律建立方程。

【例2】如圖2所示，一對平行光滑軌道固定在水平面上，兩軌道間距l(xiāng)=0.20 m，電阻R=1.0 Ω。有一導(dǎo)體桿靜止地放在軌道上，與兩軌道垂直，桿及軌道的電阻皆可忽略不計，整個裝置處于磁感應(yīng)強度B=0.5 T的勻強磁場中，磁場方向垂直軌道平面向下。現(xiàn)用一水平力F沿軌道方向水平向右拉桿，使之做勻加速直線運動，測得力F與時間t的關(guān)系如圖3所示。求桿的質(zhì)量m和加速度a。

圖2

圖3

【解析】導(dǎo)體桿在外力F作用下做勻加速直線運動，設(shè)t時刻導(dǎo)體桿的速度為v

由運動學公式得v=at

導(dǎo)體桿做切割磁感線運動產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E=Blv

導(dǎo)體桿受到的安培力F安=BIl

導(dǎo)體桿受到重力、支持力、拉力和安培力，則根據(jù)牛頓第二定律得F-F安=ma

由圖線上取兩點的坐標(0，1)和(30，4)代入上式，解得a=10 m/s2，m=0.1 kg。

【小結(jié)】應(yīng)用牛頓第二定律解題時，必須做好導(dǎo)體棒的受力分析，這是求解這類問題的基礎(chǔ)。

3.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與能量守恒定律的聯(lián)系

導(dǎo)體棒做切割磁感線運動產(chǎn)生感應(yīng)電流的過程中，要維持感應(yīng)電流的存在，必須要有外力克服安培力的作用，在此過程中把其他形式的能量轉(zhuǎn)化為電能，再通過用電器把電能又轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。求解這類問題關(guān)鍵在于弄清產(chǎn)生感應(yīng)電流的過程中能量是如何轉(zhuǎn)化的，然后根據(jù)能量守恒定律建立方程。

【例3】如圖4所示，在與水平面成θ角的固定矩形框架范圍內(nèi)，存在垂直于框架的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，框架ad、bc電阻不計，長均為l的ab、cd電阻均為R，有一質(zhì)量為m、電阻為2R的金屬棒MN，平行于ab無摩擦地沖上框架，上升最大高度為h，在此過程中ab部分的焦耳熱為Q，求運動過程中的最大熱功率。

圖4

【解析】金屬棒MN向上做切割磁感線運動產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E，當金屬棒的速度為v時有E=BLv

由于ab和cd的電阻相等，它們中的電流也相等，因此，流過金屬棒MN中的電流為ab中電流的兩倍。當ab部分的焦耳熱為Q時，金屬棒MN消耗的焦耳熱為8Q。設(shè)MN的初速度為v0，由能量守恒定律得

金屬棒MN上滑過程中整個電路產(chǎn)生的熱功率為

當速度v=v0時，熱功率最大

【小結(jié)】本題的核心是弄清能量的轉(zhuǎn)化情況，即金屬棒沿斜面向上做切割磁感線運動的過程中，由動能轉(zhuǎn)化為重力勢能和電能，電能通過電阻轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，再結(jié)合相關(guān)知識，即可求解。

4.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與動量定理的聯(lián)系

如果導(dǎo)體棒在磁場中做切割磁感線運動，當電路中涉及電容器求電量問題時，一般情況下需要應(yīng)用動量定理；或者導(dǎo)體棒在磁場中做非勻變速運動，又需要求解導(dǎo)體棒的速度和時間，則需要應(yīng)用動量定理。

【例4】(2017年天津卷第12題)電磁軌道炮利用電流和磁場的作用使炮彈獲得超高速度，其原理可用來研制新武器和航天運載器。電磁軌道炮示意圖如圖5，圖中直流電源電動勢為E，電容器的電容為C。兩根固定于水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為l，電阻不計。炮彈可視為一質(zhì)量為m、電阻為R的金屬棒MN，垂直放在兩導(dǎo)軌間處于靜止狀態(tài)，并與導(dǎo)軌良好接觸。首先開關(guān)S接1，使電容器完全充電。然后將S接至2，導(dǎo)軌間存在垂直于導(dǎo)軌平面、磁感應(yīng)強度大小為B的勻強磁場(圖中未畫出)，MN開始向右加速運動。當MN上的感應(yīng)電動勢與電容器兩極板間的電壓相等時，回路中電流為零，MN達到最大速度，之后離開導(dǎo)軌。求：

圖5

(1)磁場的方向；

(2)MN剛開始運動時加速度a的大小；

(3)MN離開導(dǎo)軌后電容器上剩余的電荷量Q是多少。

【解析】(1)炮彈可以等效于一段導(dǎo)體棒。電容器充電后上極板帶正電，下極板帶負電。當開關(guān)接至2時，電容器放電形成自M端向N端的電流，要使MN向右加速運動，由左手定則可知所加磁場方向為垂直于導(dǎo)軌平面向下。

設(shè)MN受到的安培力為F，有F=BIl

根據(jù)牛頓第二定律有F=ma

(3)當電容器充電完畢時，設(shè)電容器上電量為Q0

則Q0=CE

當開關(guān)S接2后，MN向右做加速運動，當其速度達到最大值vmax時，設(shè)MN切割磁感線所產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為E′，則E′=Blvmax

5.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與動量守恒定律的聯(lián)系

在磁場中涉及導(dǎo)體棒間的相互作用問題，當幾根導(dǎo)體棒所受合外力等于零時，則滿足動量守恒定律。對于這樣的問題要注意受力分析和動量守恒的條件。

【例5】如圖6所示，間距為l的兩根光滑金屬導(dǎo)軌固定在水平面上(不計電阻)，導(dǎo)軌由一段圓弧與一段無限長的水平部分組成，其中水平段存在方向沿豎直向下的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B。在導(dǎo)軌水平部分靜止放置一金屬棒cd，質(zhì)量為2m，電阻為2r。另一質(zhì)量為m、電阻為r的金屬棒ab，從圓弧段M處由靜止釋放下滑至N處進入導(dǎo)軌的水平部分，金屬棒與導(dǎo)軌始終垂直且接觸良好，圓弧段MN半徑為R，所對圓心角為60°。求：

圖6

(1)金屬棒ab在N處剛進入磁場區(qū)時金屬棒中的電流是多少？

(2)金屬棒cd能達到的最大速度是多大？

【解析】(1)金屬棒ab由M下滑到N的過程中，由于只有重力做功，機械能守恒，即

當金屬棒ab進入磁場區(qū)瞬間，由閉合電路歐姆定律可求出回路中的電流為

(2)金屬棒ab進入磁場后，在安培力的作用下做減速運動。金屬棒cd在安培力作用下做加速運動，當兩棒的速度達到相同速度v′時，電路中電流為零，安培力為零，兩棒將做勻速運動，此時，金屬cd棒達到最大速度。

取兩棒為研究對象，由于所受到的合外力等于零，則它們的總動量守恒，即

mv=(2m+m)v′

【小結(jié)】本題中，當金屬棒ab進入磁場后，由于金屬棒ab做切割磁感線運動，在電路中產(chǎn)生了電流，使得金屬棒ab做減速運動，金屬棒cd做加速運動，但兩棒整體所受到的合外力等于零，滿足動量守恒定律的條件，因此，可以迅速求出金屬棒cd能達到的最大速度。

6.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與振動的聯(lián)系

導(dǎo)體棒在磁場中做振動時，產(chǎn)生的是交變電動勢，形成的電流是交變電流。因此，求解這類問題必須注意應(yīng)用交變電流的相關(guān)知識，尤其要注意理解有效值的概念和掌握焦耳熱的計算方法。

【例6】如圖7所示，間距為l的光滑平行金屬導(dǎo)軌水平地固定在豎直方向的磁感應(yīng)強度為B的勻強磁場中，右端接阻值為R的電阻。一電阻為r、質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直放置在平行導(dǎo)軌上，在外力F作用下從t=0的時刻開始運動，其速度隨時間的變化規(guī)律為v=vmsinωt。不計導(dǎo)軌的電阻。求：

圖7

【解析】(1)當導(dǎo)體棒在磁場中以v=vmsinωt做簡諧運動時，產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢為e=Blv=Blvmsinωt

電路中形成的感應(yīng)電流是交變電流，其瞬時值為

【小結(jié)】由于本題中的導(dǎo)體棒做簡諧運動，所以它在磁場中做切割磁感線運動時產(chǎn)生的感應(yīng)電流是交變電流，因此，求解此類問題時務(wù)必應(yīng)用相關(guān)的交變電流知識。

7.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與電路的聯(lián)系

求解導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與電路相結(jié)合的問題，關(guān)鍵要畫出電路圖，注意弄清電路的內(nèi)外結(jié)構(gòu)。通常情況下，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢的那部分導(dǎo)體相當于電源，這部分電路即為內(nèi)電路。若在一個電路中做切割感應(yīng)線運動的是幾部分導(dǎo)體，可把它們等效成電源的串并聯(lián)，其余的用電器即為外電路。

【例7】在一磁感應(yīng)強度B=0.5 T的勻強磁場中，垂直于磁場方向水平放置著兩根相距為h=0.1 m的平行金屬導(dǎo)軌MN與PQ，導(dǎo)軌的電阻忽略不計，在兩根導(dǎo)軌的端點N、Q之間連接一阻值R=0.3 Ω的電阻。導(dǎo)軌上跨放著一根長為L=0.2 m，每米長電阻r=2.0 Ω/m的金屬棒ab。金屬棒與導(dǎo)軌正交放置，交點為c、d。當金屬棒以速度v=4.0 m/s向左做勻速運動時(如圖8)，試求：

圖8

(1)電阻R中的電流強度大小和方向；

(2)使金屬棒做勻速運動的外力；

(3)金屬棒ab兩端點間的電勢差。

【解析】(1)當金屬棒向左運動時，構(gòu)成了如圖9所示的電路，其中金屬棒cd部分即為該電路中的電源，內(nèi)阻為rcd=hr

圖9

電動勢Ec d=Bhv

由歐姆定律得R中電流強度為

電流的方向從N流向Q

(2)使金屬棒勻速運動的外力與安培力是一對平衡力，方向向左，其大小為F=F安=BIh=0.02 N

(3)金屬棒ab兩端的電壓等于Ua c+Uc d+Ud b

其中Uc d=IR=Ec d-Irc d

所以Ua b=Ea b-Irc d=BLv-Irc d=0.32 V

【小結(jié)】本題的核心是將做切割磁感線運動的金屬棒ab等效為三個電源，其中只有Ec d對電路形成電流有貢獻。在求金屬棒ab兩端點間的電勢差時，三個等效電源均有貢獻，對此，務(wù)必引起注意，否則出現(xiàn)錯誤就在所難免。

8.導(dǎo)體棒做切割磁感線運動與變化磁場的聯(lián)系

【例8】如圖10所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌固定在水平桌面上，每根導(dǎo)軌每米的電阻為r0=0.10 Ω，導(dǎo)軌的端點P、Q用電阻可以忽略的導(dǎo)線相連，兩導(dǎo)軌之間的距離L=0.2 m。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感應(yīng)強度B與時間t的關(guān)系為B=kt，比例系數(shù)k=0.020 T/s。一電阻不計的金屬桿可在導(dǎo)軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導(dǎo)軌垂直。在t=0時刻，金屬桿緊靠在P、Q端，在外力作用下，桿以恒定的加速度從靜止開始向?qū)к壍牧硪欢嘶瑒樱笤趖=6.0 s時金屬桿所受安培力的大小。

圖10

【解析】設(shè)金屬桿的加速度為a，則在t=6.0 s時金屬桿的速度v=at

因為金屬桿做切割磁感線運動而產(chǎn)生的動生電動勢為

E1=BLv

【小結(jié)】本題中由于金屬桿做切割磁感線運動會產(chǎn)生動生電動勢E1，同時，由于磁場的變化在電路中會產(chǎn)生感應(yīng)電動勢E2，經(jīng)判斷可知，回路中的電動勢應(yīng)為E=E1+E2。弄清這一點是解決此類問題的關(guān)鍵。