巧用手邊工具，易化磁場直線邊界作圖問題

江蘇 王燁麗 顧榮芳

帶電粒子在磁場中運動的物理問題是高三復習教學的重點之一。分析這類問題的難點在于題型多變、作圖困難、幾何關系不明確。為了有效提高學生對磁場中帶電粒子運動問題的分析能力，本文結合教學實踐，探討了使用直尺等數學工具的圖解方法來幫助學生更加高效地解決此類問題，拓展分析物理問題的科學思維。

一、引言

中學物理階段，對帶電粒子在磁場中運動問題的分析能夠有效培養學生的物理思維，提高學生對物理問題的分析歸納能力。因此，這類問題一直是高三復習及教師教學的重點，更是高考的熱門考點之一。然而，這類問題具有情境多變、形式多樣的特點，加之需要嚴密的數學分析推理，導致學生在分析這類物理問題時舉步維艱。

在這類問題中，帶電粒子的運動軌跡與粒子的入射位置和速度密切相關(主要表現為三種：入射位置變化、速度大小變化、速度方向變化)，加上磁場邊界和問題情境賦予的限制條件，學生在分析粒子運動時，通常需要找出臨界軌跡，進而加深對物理問題的思考與理解。在實際教學實踐中，筆者發現多數學生難于分析出帶電粒子運動的臨界軌跡，原因主要在于學生遇到這類問題后沒有理清思路就隨意地圖解分析，導致分析問題時困難重重。除此之外，在分析問題時缺少作圖技巧、不能規范作圖也是導致學生無法高效解析這類問題的重要原因。尤其是，遇到帶電粒子在磁場中運動軌跡的半徑不定、圓心隨動的物理問題時，學生使用常規的幾何作圖工具(如圓規)難以快速有效地給出準確的物理分析。

為了使學生有效掌握磁場中帶電粒子運動問題的分析能力，給出解決問題的有效策略，筆者結合自身的教學實踐，將與大家探討如何使用直尺和常見的圓形工具(如一元硬幣、數學工具尺等)快速找出磁場直線邊界問題中粒子運動的臨界軌跡，進而掌握這類物理問題的有效分析方法。

二、典例分析

圖1

【典例1】如圖1所示，一束帶電荷量為-q的粒子以垂直于磁感應強度B方向的速度v射入寬度為d的勻強磁場中，入射速度方向與左邊界夾角為θ，求速度v滿足什么條件，粒子不從右邊界射出？

【評析】“不從右邊界射出”“剛好從右邊界射出”等物理語言都旨在要求學生尋找出與邊界相切的臨界軌跡，屬于典型的臨界問題。在上述典例中，粒子的入射位置固定表明帶電粒子的運動是由同一點發出，其入射速度方向不變意味著帶電粒子在洛倫茲力的作用下發生偏轉時的圓心所處直線保持不變，但圓心與入射點的相對位置隨入射速度的大小發生變化，即帶電粒子偏轉的圓心隨入射速度的變化在特定直線上發生移動。對于這類臨界問題，筆者在實際教學中綜合所學物理數學知識，深入挖掘題目給出的信息，使用三種不同的圖解方法，加深學生對這類問題的理解，打破固有思維，從而獲得有效的解決途徑。

圖解方法1：用好圓規，常規分析

結合中學物理知識，分析這類問題的常規思路是通過縮放帶電粒子運動軌跡圓的方法來找出滿足問題情景的臨界軌跡。如圖2所示，我們可以使用圓規，通過改變圓規針腳之間的相對距離，嘗試找出需要的臨界軌跡，從而對既定問題給出準確的物理解析。

圖2

【評析】圓規作為中學生常備的幾何作圖工具之一，其操作簡單。因此，基于圓規的軌跡縮放法是學生最容易想到、易于理解接受的方法。然而，這一方法的劣勢在于需要耗費較長的時間來嘗試找出臨界軌跡，且圓規操作不靈活、作圖過程繁瑣，導致部分學生為作圖方便快捷，往往拋棄工具而徒手示意，以致難以順利解決此類物理問題。為了能夠快速有效地分析粒子運動的臨界軌跡問題，我們將對上述典例給出更進一步的剖析，提供一種高效而便捷的分析方法。

圖解方法2：借用直尺，直擊要點

深入挖掘題設條件后，可以發現為了保證帶電粒子恰巧不從勻強磁場的右邊界射出，其運動的臨界軌跡應與勻強磁場的右邊界相切。由此我們可以判斷出運動粒子在臨界位置處的速度方向，進而分析出帶電粒子運動的臨界軌跡。在上述典例中，我們知道帶電粒子以速度v從磁場的左邊界射入后將在洛倫茲力的作用下做圓周運動，其運動軌跡的圓心位置處于入射速度的垂直方向，如圖3(甲)虛線所示。結合臨界運動軌跡與右邊界相切的隱含條件，我們知道運動粒子在臨界(相切)位置處，其與軌跡圓心的連線應與磁場的右邊界相垂直。結合圓的幾何性質，即圓的任意兩條半徑都滿足長度相等且其交點為圓心位置，我們可以借助直尺，保持直尺與右邊界垂直，同時平移直尺，如圖3(乙) 所示。當示意的兩條半徑相等時，其交點即為臨界軌跡的圓心位置。通過上述分析過程，我們最終可以得到運動粒子的臨界軌跡如圖3(丙)所示。

甲

乙

丙

【評析】帶電粒子在磁場中運動的臨界軌跡通常相切于磁場的邊界位置。上述方法既可在原圖上分析，也能在稿紙上快速操作。當分析過程對作圖精確度要求不高時，只需利用直尺就能快速并較為精確地找出圓心，從而給出粒子運動的臨界軌跡。相比于上一種圖解方法，我們結合圓的性質，避開了繁瑣的嘗試過程，其圖解分析更為快速準確，也更為靈活。然而，為了能夠充分挖掘題設條件，學生需要對軌跡相切等過程有較為深刻的物理認知，而這正是中學物理對學生科學思維培養的重點。

圖解方法3：巧用工具，提高效率

當學生對臨界軌跡有比較深刻的認識后，我們可以借助日常的圓形工具(如一元硬幣)來更為快速有效地分析臨界運動軌跡的物理問題。在圖4中，我們進一步展示了巧用圓形工具以達到簡化分析過程的方法。首先，我們可以借用一元硬幣畫出一個圓形軌跡，用以表示粒子的運動軌跡，如圖4(甲)所示。在選定位置處添加磁場的左邊界，如圖4(乙)所示。考慮到臨界軌跡的相切條件，可以標定出磁場在右邊界的位置，如圖4(丙)所示，其運動軌跡的臨界位置和軌跡圓心由圖4(丁)表示。

甲

乙

丙

丁

【解析】上述方法直觀精準，沒有冗余的作圖操作，給出了一個非常干凈利落的分析圖解，為分析物理問題時幾何關系的尋找減輕了負擔。當筆者將這一方法介紹給學生時，大家都覺得直觀又明了。需要注意的是，有時為了遷就工具圓的大小，需要在稿紙上作圖分析，而不便在原圖上操作。筆者運用此圖解方法教學時會事先找尋一定硬度的材料(如硬紙板)，制作出大小不一的“軌跡圓”，以滿足日常教學的各種需要。同時可以給示范材料加上方向標識，使初速度和偏轉方向呈現于學生眼前，將抽象軌跡具體化、可視化。相對前兩種圖解方法，該方法比較強調“逆向思維”，對學生的慣性思維是一個不小的挑戰，一旦成功飛躍到思維的彼岸，學生將打開一個新的視覺世界，使他們的思路得以開闊，分析解決物理問題的能力得以提升。

針對上述帶電粒子在勻強磁場中運動的臨界問題，我們介紹了的三種分析方法，分別是圓規縮放圖解的常規方法、直尺圖解的進階方法，以及巧用現有圖形工具的逆向圖解方法。事實上，在很多常規物理問題的解析中，逆向圖解往往比圓規縮放圖解更方便。在規范簡潔的圖形上，物理量之間的幾何關系更容易被發現，從而有效簡化物理問題的分析過程，提高學生解決物理問題的能力。

( )

圖5

【評析】上述典型問題的情境特點是帶電粒子進入磁場的位置不定，入射速度的大小和方向不變。因此，粒子運動軌跡的出發點不固定，但在洛倫茲力的作用下其繞轉圓心所在直線不變，以及繞轉半徑大小不變，即圓心與入射位置的相對位置不變。對于這類物理問題，圓心的變化軌跡與入射點變化軌跡平行，軌跡圓也隨入射位置的移動而平移。綜前所述，入射位置的移動軌跡既是圓心的移動軌跡，也是軌跡圓的平移軌跡。在這種情況下，常規的分析方法是平移軌跡圓。但教學實踐中筆者發現使用圓規往往操作不方便、耗費時間長、作圖痕跡多。如果采用逆向圖解的分析方法，先畫出假定的臨界軌跡，再逐步添加磁場邊界，能有效避開常規方法中繁瑣的圖解過程，從而使物理問題得到簡明而快速有效的解決。

甲

乙

丙

丁

對典例二的上述分析表明，逆向圖解的分析方法比較適用于磁場中帶電粒子運動的臨界軌跡問題，其分析過程清晰，避免了繁瑣的嘗試過程，這一方法同樣適合用來解決第三類情境(即入射位置不變、入射速度不變、入射方向改變)的物理問題，本文不在此贅述。

三、結束語