使旋轉圓“躍然紙上”
——關于2017年全國卷Ⅱ第18題的困惑與前行

廣東 黃興仲

旋轉圓問題，由于其軌跡變化多樣，學生在解決此類問題過程中難以抓住臨界條件，致使解題無法繼續進行。教學上常以PPT、幾何模板、實物等形式輔助，但并不適合于考場環境下的求解。筆者在借鑒和分析的基礎上，探索出一種只使用圓規作圖的方式讓旋轉圓“躍然紙上”的辦法，使此類問題迎刃而解。

一、原題展現

圖1

【2017年全國卷Ⅱ第18題】如圖1所示，虛線所示的圓形區域內存在一垂直于紙面的勻強磁場，P為磁場邊界上的一點。大量相同的帶電粒子以相同的速率經過P點，在紙面內沿不同的方向射入磁場。若粒子射入速率為v1，這些粒子在磁場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為v2，相應的出射點分布在三分之一圓周上。不計重力及帶電粒子之間的相互作用。則v2∶v1為

( )

【分析】解決此題的關鍵點在于畫出粒子的運動軌跡草圖，從而確定打到最遠處粒子的位置。

圖2

【解析】當粒子在磁場運動半個圓周時，打到圓形磁場的位置最遠(如圖2)。

【困惑】本題的要點及難點在于如何畫出粒子的運動軌跡圖，從而確定打到最遠處粒子的位置。

【前行】筆者經過查閱資料后發現，要畫出粒子的運動軌跡圖，有如下幾種方式，一是采用自制圓紙板幫助學生理解該動態過程，二是采用PPT、幾何畫板等軟件幫助學生理解動態過程。但這兩種方法都只是適用于平常環境，在考場環境中學生無法有效利用工具畫出粒子的運動軌跡圖。筆者在借鑒和分析的基礎上，認為在考場環境下，可簡單地使用圓規作圖畫出草圖，從而確定粒子的臨界運動位置。

二、使旋轉圓“躍然紙上”

1.旋轉圓的基本知識

要使旋轉圓“躍然紙上”，首先需要了解旋轉圓的一些基本特點：

(2)粒子在磁場中能經過的區域，是以粒子源為圓心，以2R為半徑的大圓。

2.旋轉圓“躍然紙上”的步驟

在常規教學中，可以實物的形式，幫助學生進行分析，使學生建立起相關概念，為旋轉圓“躍然紙上”的理解做好鋪墊。根據旋轉圓的基本知識，實現旋轉圓“躍然紙上”的基本步驟為：

(1)畫出以粒子源為圓心，2R為半徑的大圓(以下稱為軌跡圓)；

(2)畫出以粒子源為圓心，R為半徑的圓(以下稱為圓心圓)；

(3)在圓心圓上任意定一點，畫出以該點為圓心，以R為半徑的圓(以下稱為基本圓)，并根據左手定則，畫出在該點的速度方向；

(4)以該點為旋轉定點，以速度方向為移動棒，使基本圓進行旋轉，即可輕松作出臨界狀態的圓(如圖3)。

圖3 基本圓旋轉示意圖

三、應用

【例1】以2017年全國卷Ⅱ第18題的原題為例，先在原有的磁場圓中畫出軌跡圓、圓心圓、基本圓并標出其速度方向(如圖4)，然后以P點為旋轉點，以速度方向為移動棒，推動著圓進行旋轉，可知帶電粒子距出射點最遠的點為軌跡圓與磁場圓交點的地方(如圖5)，即說明當粒子在磁場運動半個圓周時，此時打到圓形磁場的位置最遠，從而為后續解答打下堅實的基礎。

圖4

圖5

【例2】如圖6所示，一粒子發射源P位于足夠大絕緣板AB的上方d處，能夠在紙面內向各個方向發射速率為v、電荷量為q、質量為m的帶正電的粒子，空間存在垂直紙面的勻強磁場，不考慮粒子間的相互作用和粒子重力。已知粒子做圓周運動的半徑大小恰好為d，則

( )

圖6

A.能打在板上的區域長度是2d

【分析】設磁場方向垂直于紙面向里，粒子在紙面內向各個方向發射相同速率的粒子，粒子又要打在板上，要解決這類問題，首先需滿足d<2R，其中d為P點到絕緣板的距離，R是圓的半徑(如圖7)。其次解決該類型問題，其基本步驟為：先確定臨界狀態圓的位置，而后確定該圓心。對于該題而言，主要集中兩個方向，一是粒子打在板上的最遠處，二是粒子到達板上時間的最值。

圖7

1.求粒子打在板上的最遠處

(1)確定臨界狀態圓的位置

通過先前的使旋轉圓“躍然紙上”的步驟，則可判斷出打在板上的兩個臨界圓的位置，分別為向右旋轉至剛好與直線相切、向右繼續旋轉至通過軌跡圓與直線相交點的圓。

(2)確定圓心

圖8

對于后者，只需連接固定點與軌跡圓和直線相交的點，剛好與圓心圓相交的點即為所要的圓心(如圖9)。

圖9

2.求粒子到達板上時間的最值

由于基本圓的半徑均相等，故可通過圓心角、弧長或弦長進行靈活選擇判斷。當圓心角大于180°時，通常采用基本圓進行旋轉，取其弧長最大或圓心角最大，而當圓心角小于180°時，采用弦長進行判斷較為容易。基于此，可以作出粒子到達板上最長時間對應的圓(如圖10)和最短時間對應的圓(如圖11)。

圖10

圖11

【例3】如圖12所示，S處有一電子源，可向紙面內任意方向發射電子，平板MN垂直于紙面，在紙面內的長度L=9.1 cm，中點O與S間的距離d=4.55 cm，MN與SO之間的夾角為θ，板所在平面有電子源的一側區域有方向垂直于紙面向外的勻強磁場，磁感應強度B=2.0×10-4T，電子質量m=9.1×10-31kg，電荷量e=1.6×10-19C，不計電子重力。電子源發射速度v=1.6×106m/s的一個電子，該電子打在板上可能位置區域的長度為l，則

( )

圖12

A.θ=90°時，l=9.1 cm B.θ=60°時，l=9.1 cm

C.θ=45°時，l=4.55 cm D.θ=30°時，l=4.55 cm

【分析】此題對比例2，難點在于板在轉動，但其本質仍與例2中求解粒子打在板上的最遠處的過程一樣。

圖13

圖14

因θ不定，根據圖14可知，要使電子軌跡與MN相切，則電子軌跡圓的圓心C落在與MN距離為r的平行線上(如圖15)。

圖15

四、啟示