例談質(zhì)心視域下力學(xué)問題的分析策略

江西 朱文惠 許冬保

在高中物理學(xué)習(xí)中，重心是需要掌握的概念，質(zhì)心并非學(xué)習(xí)的內(nèi)容。然而，在解決物理問題的過程中，質(zhì)心這一觀念常常內(nèi)化為學(xué)生自己分析力學(xué)問題的行為，自覺或不自覺地在運(yùn)用。基于質(zhì)心視角分析問題，思路清晰、明了，往往能化繁為簡(jiǎn)、化難為易。下面筆者結(jié)合實(shí)例，談?wù)勝|(zhì)心視域下力學(xué)問題的分析策略。

一、質(zhì)心概述

1.質(zhì)心與重心

在物理學(xué)上，質(zhì)心是一個(gè)重要的概念，談質(zhì)心往往要談到重心。我們知道，一個(gè)物體的各部分都受到重力的作用，從效果上看，可以認(rèn)為各部分受到的重力作用集中于一點(diǎn)，即重力的等效作用點(diǎn)。該點(diǎn)叫做物體的重心。質(zhì)心即質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心或質(zhì)量分布中心，它集中了質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量。可見，質(zhì)心與重心是兩個(gè)不同的概念。例如，星際航行飛船離開地球，脫離地球引力范圍，有意義的是質(zhì)心，談重力和重心沒有意義。基于此，質(zhì)心較重心更具普遍意義。

2.質(zhì)心(重心)位置的確定

如上所述，質(zhì)心與重心均具有等效意義，且均不同于數(shù)學(xué)上的幾何點(diǎn)。對(duì)于重力均勻分布的空間，質(zhì)心與重心重合。以下僅討論兩者相重合的情形。

以我們熟悉的重心為例，關(guān)于重心位置的確定，方法很多。如由懸掛法確定薄板類物體的重心位置；質(zhì)量分布均勻且具有規(guī)則幾何形狀的物體，其重心位置在幾何中心；對(duì)幾個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)，系統(tǒng)的重心位置在數(shù)學(xué)上是由質(zhì)量為權(quán)的加權(quán)平均方法求出。以質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量平面分布為例，先建立坐標(biāo)系，各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，坐標(biāo)為(xi、yi)，其中i=1、2、3…n。則重心(質(zhì)心)坐標(biāo)計(jì)算公式為

二、表征質(zhì)心的物理量

質(zhì)心是在物體運(yùn)動(dòng)中具有特殊地位的假想質(zhì)點(diǎn)，其運(yùn)動(dòng)服從質(zhì)心運(yùn)動(dòng)規(guī)律。下面以兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)為例，談?wù)劚碚髻|(zhì)心的三個(gè)物理量。

1.質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)心的距離

兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心C必在這兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的連線上。設(shè)兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量分別為m1、m2，間距為l，沿它們的連線設(shè)置x軸，兩質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)如圖1所示，根據(jù)公式①，得質(zhì)心坐標(biāo)xC

該式為此質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位置坐標(biāo)計(jì)算公式

若將坐標(biāo)原點(diǎn)O設(shè)置在C上，則有m1x1+m2x2=0

引入間距l(xiāng)1=|x1|，l2=|x2|，便有m1l1=m2l2

由于l1+l2=l，因此

③式分別表示質(zhì)量為m1、m2的質(zhì)點(diǎn)到質(zhì)心的距離計(jì)算公式。

圖1

2.質(zhì)心速度

對(duì)于②式，兩邊對(duì)時(shí)間取變化率(對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù))，有

該式即質(zhì)心速度計(jì)算公式

該式可理解為兩個(gè)孤立質(zhì)點(diǎn)作用后黏合在一起(相當(dāng)于完全非彈性碰撞)的速度計(jì)算公式。

3.質(zhì)心加速度

對(duì)于④式，兩邊對(duì)時(shí)間取變化率(或?qū)r(shí)間求導(dǎo)數(shù))，有

該式即質(zhì)心加速度計(jì)算公式

由于力是產(chǎn)生加速度的原因，因此有

F=m1a1+m2a2=(m1+m2)aC⑥

表達(dá)式F=m1a1+m2a2，常被稱作系統(tǒng)(或質(zhì)點(diǎn)系)的牛頓第二定律形式。

表達(dá)式F=(m1+m2)aC表明：兩質(zhì)點(diǎn)(或質(zhì)點(diǎn)系)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)與一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)相同，該質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量等于兩質(zhì)點(diǎn)(或質(zhì)點(diǎn)系)的總質(zhì)量，作用于該質(zhì)點(diǎn)的力等于作用于兩質(zhì)點(diǎn)(或質(zhì)點(diǎn)系)所有外力的矢量和。該規(guī)律在理論上稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。

特別地，當(dāng)合外力為零時(shí)，aC=0，表明質(zhì)心處于靜止或勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

三、應(yīng)用舉例

1.小球運(yùn)動(dòng)論證

圖2

【例1】如圖2所示，臺(tái)秤上放一個(gè)裝有水的杯子，通過固定在臺(tái)秤上的支架用細(xì)線懸掛一個(gè)小球，球全部浸沒在水中，平衡時(shí)臺(tái)秤的示數(shù)為某一數(shù)值。今剪斷懸線，在球下落但還沒有達(dá)到杯底的過程中，若不計(jì)水的黏滯阻力，試分析臺(tái)秤的示數(shù)將如何變化？

【點(diǎn)評(píng)】將小球及等體積水球視為一個(gè)系統(tǒng)，研究系統(tǒng)質(zhì)心的加速度，結(jié)合超重、失重知識(shí)推理、論證，可較方便地判斷系統(tǒng)對(duì)臺(tái)秤壓力的變化情況。

2.鏈條運(yùn)動(dòng)等效

【例2】如圖3所示，一條長(zhǎng)為l的質(zhì)量均勻分布的柔軟鏈條，開始時(shí)靜止放在光滑梯形平臺(tái)上，斜面上的鏈條長(zhǎng)為x0。已知重力加速度為g，lx0)。

圖3

如圖4所示，平臺(tái)上鏈條長(zhǎng)度減小Δx，斜面上鏈條增加Δx。由于其他部分鏈條的質(zhì)心未變。因此，系統(tǒng)重力勢(shì)能的減少量等效于長(zhǎng)度為Δx的鏈條由平臺(tái)遷移至斜面上所減少的重力勢(shì)能。建立方程時(shí)以質(zhì)心(Δx長(zhǎng)度之中點(diǎn))運(yùn)動(dòng)來處理，即

圖4

【點(diǎn)評(píng)】由于鏈條質(zhì)量均勻分布，分析時(shí)將整條鏈條視為(等效)由兩部分(不動(dòng)的及運(yùn)動(dòng)的部分)構(gòu)成，考慮系統(tǒng)質(zhì)心的變化，給方程的建立帶來了方便。

3.雙星模型重建

【例3】如圖5所示，雙星A、B僅在相互間的萬有引力作用下，繞球心連線的某點(diǎn)O做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。兩星之間的距離為l，運(yùn)動(dòng)周期為T，引力常量為G。則

圖5

(1)若已知A、B質(zhì)量分別為m1、m2，求雙星A、B的質(zhì)心位置；

(2)若A、B質(zhì)量未知，求雙星A、B的質(zhì)量之和。

(2)設(shè)雙星A、B運(yùn)動(dòng)的軌道半徑分別為r1、r2。由萬有引力定律及牛頓運(yùn)動(dòng)定律，有

由幾何關(guān)系有l(wèi)=r1+r2

【點(diǎn)評(píng)】宇宙中孤立天體構(gòu)成的系統(tǒng)，在相互之間的引力作用下，均繞質(zhì)心做周期相同的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。上述答案表明r1=l1，r2=l2，說明圓心O即質(zhì)心。雙星繞共同中心運(yùn)動(dòng)亦即雙星繞系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)。該現(xiàn)象正是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的表現(xiàn)。

4.振動(dòng)問題簡(jiǎn)解

【例4】如圖6所示，質(zhì)量均為m的兩木塊用勁度系數(shù)為k的輕彈簧連接起來，用兩根繩子拉緊兩物體，使彈簧壓縮。某時(shí)刻將繩子燒斷，試求兩木塊的振動(dòng)周期。(不計(jì)一切摩擦阻力)

圖6

【解析】初態(tài)時(shí)系統(tǒng)靜止無初速度，繩子燒斷瞬間，系統(tǒng)水平方向的合外力為零，因此系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變，圖中質(zhì)心位置在彈簧中點(diǎn)。根據(jù)對(duì)稱性，兩木塊振動(dòng)的周期相同。

【點(diǎn)評(píng)】由于系統(tǒng)的質(zhì)心不變，因此可將雙振子振動(dòng)模型等效為兩個(gè)相對(duì)質(zhì)心的彈簧振子模型，通過模型轉(zhuǎn)化，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化。

5.兩體問題另解

圖7

【例5】如圖7所示，在光滑的水平面上有一靜止的物體M，物體M上有一光滑的半徑為R的半圓弧軌道，最低點(diǎn)為C，A、B為同一水平直徑上的兩點(diǎn)。現(xiàn)讓小滑塊m從A點(diǎn)由靜止下滑，求：

(1)分析小滑塊m能否到達(dá)半圓弧軌道B點(diǎn)；

(2)物體M運(yùn)動(dòng)的最大位移。

【解析】(1)研究物體M和小滑塊m組成的系統(tǒng)，在水平方向無外力作用，系統(tǒng)在水平方向動(dòng)量守恒。小滑塊m滑到右端兩者水平方向具有相同的速度v，由動(dòng)量守恒定律，有0=(m+M)v，即v=0。由于系統(tǒng)只有重力做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。因此，小滑塊m能夠到達(dá)半圓弧軌道B點(diǎn)。

圖8

(2)如圖8所示，由于系統(tǒng)的質(zhì)心位置保持不變。因此，有

mx1=Mx2；2R=x1+x2

【點(diǎn)評(píng)】本題本質(zhì)上是“人船模型”的遷移。分析中注意兩點(diǎn)：其一，質(zhì)心位置不變；其二，系統(tǒng)機(jī)械能守恒及水平方向動(dòng)量守恒。問題(2)的傳統(tǒng)解法是根據(jù)平均動(dòng)量守恒定律來處理。

6.碰撞問題巧解

【例6】在光滑水平地面上有一凹槽A，中央放一小物塊B。物塊與左右兩邊槽壁的距離如圖9所示，L為1.0 m。凹槽與物塊的質(zhì)量均為m，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ為0.05。開始時(shí)物塊靜止，凹槽以v0=5 m/s初速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)物塊與凹槽壁碰撞過程中沒有能量損失，且碰撞時(shí)間不計(jì)，g取10 m/s2。求：

圖9

(1)物塊與凹槽相對(duì)靜止時(shí)的共同速度；

(2)從凹槽開始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止，物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)；

(3)從凹槽開始運(yùn)動(dòng)到兩者相對(duì)靜止所經(jīng)歷的時(shí)間及該時(shí)間內(nèi)凹槽運(yùn)動(dòng)的位移大小。

【解析】(1)系統(tǒng)共同速度即質(zhì)心速度，記為vC，水平方向系統(tǒng)動(dòng)量守恒，有

mv0=2mvC

(2)在質(zhì)心系中，選vC為正方向，A、B初速度分別為

vA=v0-vC=2.5 m/s，vB=-vC=-2.5 m/s

由于摩擦發(fā)熱與參考系無關(guān)，由動(dòng)能定理，有

解得n=13

物塊與右側(cè)槽壁碰撞的次數(shù)為6次。

質(zhì)心做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t內(nèi)質(zhì)心位移為

xC=vCt=12.5 m

由于A、B質(zhì)量相等，由圖10可知，A的位移為

圖10