立足核心素養(yǎng) 打造高效課程
——“天體運(yùn)動(dòng)問題高效復(fù)習(xí)課程”中習(xí)題優(yōu)化設(shè)計(jì)方案

河北 侯建敏

近年來中國航天事業(yè)飛速發(fā)展，天體運(yùn)動(dòng)問題也隨之成為高考命題的熱點(diǎn)。考查方向常以萬有引力定律和牛頓運(yùn)動(dòng)定律相結(jié)合分析天體、人造衛(wèi)星以及宇宙飛船的運(yùn)動(dòng)，估算天體的質(zhì)量密度問題以及估算天體表面的重力加速度問題等，還可以與運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)以及能量問題相結(jié)合，反映了物理學(xué)與現(xiàn)代航天科技的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生對(duì)物理知識(shí)的學(xué)習(xí)熱情和愛國情懷，從而滲透對(duì)物理學(xué)科核心素養(yǎng)的“科學(xué)態(tài)度與責(zé)任素養(yǎng)”要素的考查。通常以選擇題的形式考查。

下面以兩個(gè)高頻考查方向?yàn)槔勌祗w運(yùn)動(dòng)問題在復(fù)習(xí)課程中習(xí)題優(yōu)化的設(shè)計(jì)方案。

一、天體質(zhì)量和密度的估算

天體質(zhì)量和密度的計(jì)算可通過以下兩種方法進(jìn)行

(1)自力更生法：在靜止模型中，如果已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R，則

(2)借助外援法：在環(huán)繞模型中，如果已知衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑r和周期T

②若已知天體的半徑R，則天體的密度為

以上兩種方法中第一種方法是利用星球自身的物理量來估算星球自身的質(zhì)量，所以稱為自力更生法；第二種方法是利用環(huán)繞中心天體的運(yùn)動(dòng)參量來求中心天體的質(zhì)量，所以稱為借助外援法，注意此種方法只能求解中心天體的質(zhì)量。

1.靜止模型

【例1】2019年1月3日，“嫦娥四號(hào)”在月球背面軟著陸成功，在實(shí)施軟著陸過程中，“嫦娥四號(hào)”離月球表面4 m高時(shí)最后一次懸停，確認(rèn)著陸點(diǎn)。若總質(zhì)量為M的“嫦娥四號(hào)”在最后一次懸停時(shí)，反推力發(fā)動(dòng)機(jī)對(duì)其提供的反推力為F，已知引力常量為G，月球半徑為R，則月球的質(zhì)量為

( )

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)靜止模型求解天體質(zhì)量的問題，考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，是靜止模型的直接應(yīng)用，解題較容易。復(fù)習(xí)過程中在此知識(shí)層次上進(jìn)行拓展，可以設(shè)計(jì)成兩個(gè)物體質(zhì)量或密度的比值問題，如下變式。

【變式1】熱愛天文科學(xué)的某同學(xué)從網(wǎng)上得到一些關(guān)于月球和地球的信息，如下表所示。根據(jù)表格中數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出地球和月球的密度之比為

( )

月球半徑R0月球表面處的重力加速度g0地球和月球的半徑之比RR0=4地球表面和月球表面的重力加速度之比gg0=6

A.3∶2 B.2∶3 C.4∶1 D.6∶1

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)靜止模型求解天體密度的比值問題，難度較例1有所提高。在應(yīng)用環(huán)繞模型求解天體質(zhì)量時(shí)，可以不直接給出重力加速度，從而設(shè)計(jì)成先通過運(yùn)動(dòng)學(xué)或動(dòng)力學(xué)以及功能思想求解出重力加速度，再根據(jù)靜止模型求解天體質(zhì)量，如下變式2。

【變式2】如圖1所示，“健身彈跳球”是最近在少年兒童中特別流行的一項(xiàng)健身益智器材，少年兒童在玩彈跳球時(shí)(如圖2所示)要雙腳站在彈跳球的水平跳板上，用力向下壓彈跳球，形變的彈跳球能和人一起跳離地面。該過程簡化為：形變彈跳球向上恢復(fù)原狀及人和彈跳球豎直上升。假設(shè)小孩質(zhì)量為m，人和球一起以速度大小v0離開地面還能豎直上升h高度(上升過程小孩只受重力作用)，地球半徑為R，引力常量為G，求地球的質(zhì)量。

圖1

圖2

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)靜止模型求解天體質(zhì)量的問題，先通過豎直上拋運(yùn)動(dòng)求解出重力加速度，再根據(jù)環(huán)繞模型求解天體質(zhì)量，變式后難度較變式1又有所提高，知識(shí)框架增加了豎直上拋運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)試題多元化，利于搭建知識(shí)間的結(jié)合橋梁，充分考查學(xué)生的理解能力和分析綜合能力。再進(jìn)行深一層次的變式，可將圓周運(yùn)動(dòng)與萬有引力相結(jié)合，求解星球表面重力加速度及星球密度，如下變式3。

【變式3】如圖3所示，在某星球表面輕繩約束下的質(zhì)量為m的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球在最低點(diǎn)與最高點(diǎn)所受輕繩的拉力之差為ΔF，假設(shè)星球是均勻球體，其半徑為R，已知萬有引力常量為G，不計(jì)一切阻力。

圖3

(1)求星球表面重力加速度；

(2)求該星球的密度。

設(shè)小球在最低點(diǎn)受到繩子拉力為F2，速率為v2，則有

小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中應(yīng)用動(dòng)能定理可得

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)靜止模型求解天體密度的問題，先通過圓周運(yùn)動(dòng)的向心力公式和動(dòng)能定理聯(lián)立求解出重力加速度，再根據(jù)環(huán)繞模型求解天體質(zhì)量，然后再求解天體密度，難度較變式2又有所提高，屬于較難的問題。通過變式知識(shí)框架增加了圓周運(yùn)動(dòng)中向心力分析和動(dòng)能定理的應(yīng)用，使試題實(shí)現(xiàn)滾動(dòng)復(fù)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，使知識(shí)融會(huì)貫通，充分考查學(xué)生的理解能力和分析綜合能力。

2.環(huán)繞模型

【例2】土星最大的衛(wèi)星叫“泰坦”(如圖4所示)，每16天繞土星一周，其公轉(zhuǎn)軌道半徑約為1.2×106km，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，則土星的質(zhì)量約為

圖4

( )

A.5×1017kg B.5×1026kg

C.7×1033kg D.4×1036kg

【點(diǎn)評(píng)】本題為根據(jù)環(huán)繞模型求解天體的質(zhì)量的問題，考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，是環(huán)繞模型的直接應(yīng)用，解題較容易。復(fù)習(xí)中可在此基礎(chǔ)上進(jìn)行變式，拓展知識(shí)深度。

【變式1】20世紀(jì)人類最偉大的創(chuàng)舉之一是開拓了太空的全新領(lǐng)域。現(xiàn)有一艘遠(yuǎn)離星球在太空中直線飛行的宇宙飛船如圖5所示，為了測量自身質(zhì)量，啟動(dòng)推進(jìn)器，測出飛船在短時(shí)間Δt內(nèi)速度的改變?yōu)棣，和飛船受到的推力F(其他星球?qū)λ囊珊雎?。飛船在某次航行中，當(dāng)它飛近一個(gè)孤立的星球時(shí)，飛船能以速度v，在離星球的較高軌道上繞星球做周期為T的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，已知星球的半徑為R，引力常量用G表示，則宇宙飛船和星球的質(zhì)量分別是

圖5

( )

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)環(huán)繞模型求解天體質(zhì)量的問題，因?yàn)槿鄙佘壍腊霃剑荒苤苯犹子霉剑枰鶕?jù)周期和線速度求出軌道半徑，再根據(jù)環(huán)繞模型計(jì)算，難度較例2有所提高。通過變式本題的知識(shí)框架增加了圓周運(yùn)動(dòng)物理量的關(guān)系，選擇此類試題或經(jīng)某題進(jìn)行變式，得到此類試題，可以使學(xué)生認(rèn)識(shí)到圓周運(yùn)動(dòng)的天體中各運(yùn)動(dòng)參量之間是相互聯(lián)系的，體現(xiàn)了用物理核心素養(yǎng)中物理觀念要素來分析天體運(yùn)動(dòng)的能力。

【變式2】如圖6所示，人造衛(wèi)星P(可視為質(zhì)點(diǎn))繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。在衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)軌道平面內(nèi)，過衛(wèi)星P作地球的兩條切線，兩條切線的夾角為θ，設(shè)衛(wèi)星P繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為T，線速度為v，引力常量為G。下列說法正確的是

圖6

( )

A.θ越大，T越大

B.θ越小，v越大

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)環(huán)繞模型求解天體密度的問題。題目中衛(wèi)星軌道半徑未知，地球半徑未知，需要根據(jù)幾何關(guān)系準(zhǔn)確地求出兩量的比值，難度較大。通過變式，本題的知識(shí)框架增加了數(shù)學(xué)幾何知識(shí)，試題通過此類變式可以充分考查學(xué)生的理解能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決物理問題能力和分析綜合能力，體現(xiàn)對(duì)物理核心素養(yǎng)中科學(xué)思維要素的考查。

二、天體運(yùn)動(dòng)參量的比較和計(jì)算

由此可見天體運(yùn)動(dòng)參量a、v、ω、T均與衛(wèi)星的質(zhì)量無關(guān)，只由軌道半徑和中心天體質(zhì)量共同決定。

【例3】北斗衛(wèi)星導(dǎo)航定位系統(tǒng)由地球靜止軌道衛(wèi)星(同步衛(wèi)星)、中軌道衛(wèi)星和傾斜同步衛(wèi)星組成。地球靜止軌道衛(wèi)星和中軌道衛(wèi)星都在圓軌道上運(yùn)行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說法中正確的是

( )

A.靜止軌道衛(wèi)星的周期約為中軌道衛(wèi)星的2倍

B.靜止軌道衛(wèi)星的線速度大小約為中軌道衛(wèi)星的2倍

【點(diǎn)評(píng)】本題是根據(jù)環(huán)繞模型定量比較衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的參量問題，考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，兩衛(wèi)星環(huán)繞的中心天體相同，所以比較衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)參量只分析軌道半徑即可，本題較容易，提高難度可以比較不同的中心天體和不同軌道半徑環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)參量問題，如下變式。

【變式1】科學(xué)家預(yù)測銀河系中所有行星的數(shù)量大概在2～3萬億之間。目前在銀河系發(fā)現(xiàn)一顆類地行星，半徑是地球半徑的兩倍，質(zhì)量是地球質(zhì)量的三倍。衛(wèi)星a、b分別繞地球、類地行星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它們距中心天體表面的高度均等于地球的半徑。則衛(wèi)星a、b的

( )

【點(diǎn)評(píng)】本題為比較不同中心天體、不同軌道半徑的環(huán)繞天體的運(yùn)動(dòng)參量問題，難度較例3有所提高，難度中等。通過變式雖然知識(shí)框架沒有新增，但換成不同的中心天體后，可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)環(huán)繞模型的認(rèn)識(shí)，考查學(xué)生的理解能力和建模能力，進(jìn)行此類變式可使試題難度逐漸提高，便于學(xué)生接受。

【變式2】為照亮“嫦娥四號(hào)”駕臨月球背面之路，一顆承載地月中轉(zhuǎn)通信任務(wù)的中繼衛(wèi)星將在“嫦娥四號(hào)”發(fā)射前半年進(jìn)入到地月拉格朗日點(diǎn)L2，如圖7所示，在該點(diǎn)，地球、月球和中繼衛(wèi)星始終位于同一直線上，且中繼衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與月球繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期相同，則

圖7

( )

A.中繼衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為一年

B.中繼衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力僅由地球提供

C.中繼衛(wèi)星的線速度小于月球運(yùn)動(dòng)的線速度

D.中繼衛(wèi)星的向心加速度大于月球運(yùn)動(dòng)的向心加速度

【解析】中繼衛(wèi)星繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期與月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期相等，都約為27.3天，故A錯(cuò)誤；中繼衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由月球和地球引力的合力提供，故B錯(cuò)誤；中繼衛(wèi)星與月球同步繞地球運(yùn)動(dòng)，角速度相等，根據(jù)v=ωr，知中繼衛(wèi)星的線速度大于月球的線速度，故C錯(cuò)誤；根據(jù)a=ω2r知，中繼衛(wèi)星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D正確。

【點(diǎn)評(píng)】本題中繼衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)不是一個(gè)天體環(huán)繞另一個(gè)天體運(yùn)動(dòng)的環(huán)繞模型，而是中繼衛(wèi)星處于兩個(gè)大天體的拉格朗日點(diǎn)上的運(yùn)動(dòng)，兩個(gè)大天體對(duì)中繼衛(wèi)星的萬有引力合力提供其做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力。通過變式，本題的知識(shí)框架增加了天體在拉格朗日點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，這個(gè)模型與天體的環(huán)繞模型非常相似，如果不作受力分析，只是生搬硬套以往的環(huán)繞模型，本題的CD選項(xiàng)會(huì)錯(cuò)誤地認(rèn)為半徑越大線速度和向心加速度越小。選擇這類試題可以增強(qiáng)學(xué)生對(duì)環(huán)繞模型本質(zhì)的理解，促進(jìn)知識(shí)的遷移，所以本題最能考查學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，體現(xiàn)了對(duì)物理核心素養(yǎng)的科學(xué)思維要素的考查。

本文系河北省教育科學(xué)研究“十三五”規(guī)劃課題“課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的研究”(編號(hào)1604372)的研究成果。