六自由度并聯機構模態空間解耦控制

代小林， 宋世杰， 宮大為

(1. 電子科技大學 機械與電氣工程學院，四川 成都 611731；2. 電子科技大學 機器人中心，四川 成都 611731)

六自由度并聯機構具有剛度大、承載力強、動態響應性能好等優點，常用于飛行器模擬、六維力傳感器及醫療輔助裝置中[1-3]。六自由度并聯機構是一個多輸入多輸出系統，各支腿通道之間存在強時變耦合，影響了該機構的控制精度及應用推廣[4-5]。針對并聯機構控制中存在的耦合問題，學者取得了一些研究成果，段寶巖等[6]設計了一種交互式比例-積分-微分監督控制器，該方法通過引入目標跟蹤預測算法實現了解耦；Niu[7]針對六自由并聯機構進行了模態前饋力解耦控制研究；王立平等[8]對并聯機構的慣量耦合特性進行了研究；姜洪州等[9]以Stewart平臺為研究對象，設計了一種模態動壓反饋解耦控制策略；沈剛等[10]提出了一種基于逆模型前饋補償的解耦控制策略，該方法通過將傳遞函數矩陣對角化實現了解耦；Gizatullin等[11]提出了一種自適應解耦控制方法，該方法將耦合力視為干擾力進行補償來降低各自由度之間的耦合；Plummer等[12]針對飛行模擬器的控制提出了模態解耦控制策略；Lian等[13]設計了一種自組織模糊徑向基函數神經網絡控制器對耦合進行補償。

本文以Stewart并聯機構為對象，建立Stewart并聯機構關節空間下的動力學方程和振動模型，推導其模態解耦矩陣并分析各自由度間的耦合特性，基于模態空間設計了計算力矩控制器并進行了仿真研究。

1 動力學建模及模態分析

本文所研究的六自由度并聯機構為Stewart型并聯機構，簡圖如圖1所示。下平臺一般固連在地面上，又稱作靜平臺；上平臺一般用作運動模擬，又稱作動平臺；動、靜平臺之間有6條驅動支腿，驅動支腿的2端分別與動、靜平臺鉸接，連接處分別稱作上、下鉸點；坐標系A和坐標系B分別為系統的動、靜坐標系，其坐標原點分別為上、下鉸點圓的中心，各坐標軸的方向如圖1所示。

圖1 Stewart并聯機構簡圖Fig.1 Stewart parallel mechanism structure

1.1 動力學分析

對Stewart并聯機構進行動力學的分析，利用牛頓—歐拉法建立并聯機構自由度空間下的動力學方程：

(1)

在式(1)的基礎上可以推導出Stewart并聯機構的關節空間動力學方程：

(2)

式中：Ml(l)為關節空間質量陣：

Ml(l)=J-1TM0(q)J-1

(3)

(4)

Gl=J-1TGq

(5)

其中，科氏力/向心力項一般較小忽略不計，因此系統關節空間下的自由度方程可以簡化為：

(6)

1.2 模態分析

Stewart并聯機構可以等效為一個六自由度振動系統，各個支腿可以等效為線性彈簧，彈簧的2端分別連接系統的動、靜平臺，該振動系統的示意圖如圖2所示。

圖2 Stewart并聯機構振動模型Fig.2 Stewart parallel mechanism vibration model

可以采用模態理論對其進行特征分析，求出系統模態參數，包括系統的模態頻率、模態振型等。

忽略式(2)中的重力、科氏力和離心力，可得系統外部激勵下的響應方程[14]：

(7)

將每個支腿等效為彈簧系統，則有：

f=-Kll

(8)

式中：Kl=diag(k1，k2，…，ki，…，k6)為關節空間剛度陣，ki是第i條支腿的剛度，各個支腿的剛度近似相等，即ki=kh。

根據式(7)和式(8)得到Stewart并聯機構關節空間中的無阻尼自由振動方程：

(9)

式中：關節空間質量陣Ml對稱正定矩陣；剛度矩陣Kl為對角矩陣，則矩陣ML-1K為對稱正定，對其進行特征值分解：

(10)

根據模態向量的正交性，可以對系統的振動方程進行模態變換，給式(9)的兩端同時左乘UT，可以得到系統模態空間下的振動方程：

(11)

由式(11)可知，模態空間下的Stewart并聯機構振動方程各模態自由度之間相互獨立。因此在模態空間下，系統可以等效為6個獨立的單自由度振動系統，每個模態自由度的振動方程為：

(12)

2 模態空間計算力矩控制器設計

計算力矩控制方法(computed torque control，CTC)，又稱為逆動力學法，是機器人領域中廣泛應用的基于模型的一種控制方法。對于并聯機構，計算力矩控制通常在各支腿上采用類似于比例-微分控制的控制策略，并引入非線性補償項對重力和科氏力進行實時補償[15]。

2.1 關節空間計算力矩控制系統耦合特性分析

Stewart并聯機構的關節空間的計算力矩控制律為[16]：

(13)

對式(13)進行拉氏變換有：

(14)

由于關節空間的固有特性，質量矩陣Ml(l)為非對角矩陣或非對角占優矩陣，即使反饋增益矩陣Kp和Kv為對角矩陣，計算力矩控制系統依然為一個各控制通道之間相互耦合的多輸入多輸出系統，反饋增益矩陣的對角線元素值的改變，都會對其他控制通道產生影響。因此，傳統的關節空間計算力矩控制器的參數難以整定，控制器的性能也難以提高。

關節空間計算力矩的控制器的系統誤差方程為：

(15)

由式(15)可知，不同的Kv和Kp的值代表著不同性能的閉環控制系統，系統誤差e的收斂性與收斂速度是由反饋增益矩陣Kv和Kp決定的。而反饋增益矩陣Kv和Kp均為6×6的矩陣，因此系統需要調節的參數個數為72個。

因此，關節空間計算力矩控制器存在以下2個缺陷：1)系統為一個各控制通道相互耦合的多輸入多輸出系統；2)控制器中需要調節的參數過多。這2個缺陷使得關節空間計算力矩控制器的參數難以整定，控制器性能的提升受到限制。

2.2 模態空間計算力矩控制方法

為了消除各控制回路之間的相互影響，將模態理論引入到計算力矩控制方法中，達到降低系統的控制難度和提高系統控制性能的目的。

根據式(10)和式(14)將關節空間下的系統輸入方程轉換到模態空間下，實現坐標系的變換,模態空間計算力矩的控制律為：

(16)

對式(16)進行拉氏變換有：

(17)

(18)

由式(18)可知，模態空間計算力矩控制器可以等效為6個相互獨立的子控制器，各個子控制器獨立控制一個模態通道。系統各控制通道之間相互獨立，且各控制通道的參數可以獨立調節。

模態空間下的計算力矩控制方法的控制框圖如圖3所示。

圖3 模態空間計算力矩控制Fig.3 Schematic diagram of computed torque control method in model space

3 仿真結果對比與分析

為驗證設計模態空間計算力矩控制器各控制通道的獨立性和對運動耦合現象的抑制作用。在Matlab/Simulink中搭建了仿真系統，其中機械本體采用Simulink/Multibody工具進行搭建，搭建效果如圖4所示。

圖4 Stewart并聯機構Simulink/Multibody模型Fig.4 Simulink/Multibody model of Stewart parallel mechanism

圖5是在Matlab/Simulink中搭建的模態計算力矩控制方案仿真系統，模塊1為信號發生器；模塊2為運動學計算模塊；模塊3為模態計算模塊，主要功能是計算模態質量矩陣和模態解耦矩陣；模塊4為模態變換模塊，主要為模態變換矩陣的計算并將關節信號轉換為模態信號；模塊5為模態計算力矩控制器；模塊6為逆模態變換模塊，主要功能是將模態信號轉換為關節信號；模塊7為Stewart并聯機構的機械模型。

圖5 模態空間計算力矩控制系統Simulink模型Fig.5 Simulink model of modal space computed torque control system

3.1 控制通道間獨立性對比分析

關節空間計算力矩控制系統的6個控制通道為6個驅動支腿，各支腿的數學模型均相同。由本文分析可知，關節空間計算力矩控制系統是一個多輸入多輸出系統，其各控制通道之間相互影響，很難進行參數整定。本文首先對關節空間計算力矩控制系統控制通道間的獨立性進行仿真分析，為驗證各控制通道之間的關系，設置了2組控制參數，參數1和參數2。參數2對比參數1僅修改了第2控制通道的控制參數，參數1第2控制通道上的參數為參數2第2控制通道參數的100倍；然后觀察參數2下的第1以及第3至第6控制通道響應是否和參數1下的第1以及第3至第6控制通道響應的響應是否相同，若這5個通道的響應未發生改變，則說明各控制通道之間相互獨立。對關節空間計算力矩控制系統的沿X軸平移自由度輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵，觀察參數1、2作用下各控制通道的響應曲線變化。

圖6(a)為關節空間計算力矩控制系統控制通道在參數1、2下的響應曲線。圖6(a)中，系統給定到各支腿上的目標值信號是自由度空間控制信號經過運動學反解計算得出的。由圖1可知，當第2控制通道的控制參數改變，第2控制通道的響應會發生較大變化。對其余5個通道的仿真結果進行分析，結果表明當第2控制通道的控制參數發生改變時，其余5個通道的響應均會發生改變。本文以第1控制通道為例來說明其余5個控制通道的響應變化。圖6(b)為關節空間計算力矩控制系統第1控制通道在參數1、2下的響應曲線。由圖可知，第2控制通道控制參數的改變會對第1控制通道產生影響。由此可見，關節空間下計算力矩控制系統是多輸入多輸出系統，因此該控制策略很難找到合適的控制參數來使整體系統獲得較好的控制性能。

圖6 關節空間CTC系統響應Fig.6 Joint space CTC system response

本文提出的模態空間計算力矩控制器，可以實現各控制通道間的獨立控制，使得各控制通道的控制參數可以獨立的進行參數整定。對模態空間計算力矩控制系統各控制通道之間的獨立性進行仿真分析，參數1、2之間的倍數關系以及系統輸入的信號均與關節空間計算力矩控制系統的相同。對于模態空間控制系統，其6個控制通道為6個模態自由度，不同的模態自由度具有不同的模態頻率、模態質量以及模態剛度，因此各控制通道的數學模型是不同的。雖然各控制通道的數學模型不同，但是各控制通道之間可以保持獨立關系。

圖7(a)為模態空間計算力矩控制系統第2控制通道在參數1、2下的響應曲線。當第2控制通道的控制參數改變，第2控制通道的響應會發生較大變化。對其余5個通道的仿真結果進行分析，結果表明當第2控制通道的控制參數發生改變時，其余5個通道的響應均不會發生改變。同樣以第1控制通道為例來說明其余5個控制通道的響應變化。圖7(b)為模態空間計算力矩控制系統第1控制通道在參數1、2下的響應曲線。由圖可見，僅調節第2通道的控制參數，并不會對第1通道的響應產生影響。由此可見，模態空間下的計算力矩控制系統是單輸入單輸出系統，控制參數的整定和控制器性能提高變得較為容易。

圖7 模態空間CTC系統響應Fig.7 Modal space CTC system response

3.2 運動耦合抑制能力對比分析

為測試模態空間下計算力矩控制策略對運動耦合現象的抑制作用，對系統進行了運動耦合仿真分析。由于Stewart并聯機構的旋轉自由度和平移自由度之間存在較強的耦合，且主要集中在在沿X軸平移自由度和繞Y軸的旋轉自由度以及沿Y軸平移和繞X軸旋轉自由度。因此，主要對這2種情況下的模態CTC和傳統CTC進行對比分析。

對仿真系統的沿X軸的平移自由度輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵，其他自由度設定為0。RY自由度的耦合對比如圖8所示。

對仿真系統的沿Y軸的平移自由度同時輸入幅值為0.02 m，頻率為2 HZ的正弦激勵，其他自由度設定為0。RX自由度的耦合對比如圖9所示。

從圖8可以看出，在傳統CTC控制下，系統在沿X軸平移自由度的正弦激勵下，會在RY自由度方向的產生耦合，嚴重影響了控制精度。而在模態CTC控制策略下，給予系統同樣的正弦激勵，耦合明顯降低，且耦合幅值下至解耦前的18.29%；系統在沿Y軸平移自由度的正弦激勵下，在模態CTC控制策略下，RX自由度耦合幅值下降至解耦前的7.55%。

圖8 沿X軸平移運動時RY自由度耦合轉角比較Fig.8 Coupling comparison of RY degree of freedom when translating along the X-axis

對仿真系統的X軸的平移自由度和沿Y軸的平移自由度同時輸入幅值分別為0.02 m和0.03 m，頻率分別為2 HZ和3 HZ的正弦激勵，其他4個自由度給定為常值0信號。RX、RY自由度的耦合對比分別如圖10、11所示?？梢钥闯觯到y在沿X、Y軸平移自由度的正弦激勵下，對RX、RY自由度的耦合較為明顯。在模態CTC控制策略下，RX自由度耦合幅值下降至解耦前的9.42%，RY自由度耦合幅值下降至解耦前的19.22%。

圖9 沿Y軸平移運動時RX自由度耦合轉角比較Fig.9 Coupling comparison of RX degree of freedom when translating along the Y-axis

圖10 沿X、Y軸平移運動時 RX自由度耦合比較Fig.10 Coupling comparison of RX degree of freedom when translating along the X-axis and Y-axis

圖11 沿X、Y軸平移運動時RY自由度耦合比較Fig.11 Coupling comparison of RY degree of freedom when translating along the X-axis and Y-axis

4 結論

1)模態空間控制可以降低系統的控制難度。引入模態空間控制后，系統各控制通道之間由非獨立關系轉換為了獨立關系，因此可以對各個控制通道進行獨立的參數整定。

2)模態空間控制可以減少計算力矩控制器控制參數的個數。在模態空間下，每一個模態控制通道都可以視為一個獨立的子計算力矩控制器，該子控制器需要調節的參數為2。因此，模態空間計算力矩控制器需要調節的總參數個數為12，相較于傳統的計算力矩控制器的參數個數72，模態空間計算力矩控制器的參數得到了大幅度的減少。

3)模態空間計算力矩控制器可以提高系統的控制性能，通過參數整定，可以有效降低系統平移運動時旋轉自由度上的耦合轉角。