壓縮采樣稀疏陣列結構及其參數估計技術

陳濤， 韓旭天， 禹永植

(哈爾濱工程大學 信息與通信工程學院，黑龍江 哈爾濱 150001)

隨著雷達體制的不斷發展，電子偵察面臨的電磁環境越來越復雜，傳統的信道化數字接收機正面臨著各種問題，如采樣數據量過大，跨信道信號的處理等，增加了后續信號處理的難度[1]。壓縮采樣理論的提出為上述問題提供了解決方法[2-3]。文獻[4]提出的調制寬帶轉換器結構可對頻域稀疏的多帶信號進行壓縮采樣，并提出了該結構下的信號重構方案。文獻[5]將調制寬帶轉換器結構擴展到離散數字域構建了基于調制寬帶轉換器的壓縮采樣數字接收機，該接收機可以靈活解決跨信道信號問題，且經過壓縮采樣獲得的數據量遠少于傳統的信道化數字接收機。由于調制寬帶轉換器結構不會提高各支路的信噪比，因此傳統的載頻恢復算法，如正交匹配追蹤(orthogonal matching pursuit，OMP)算法，需要的運算量過大，且低信噪比下恢復效果差。為解決上述問題，文獻[6]提出基于陣列結構的調制寬帶轉換器結構，并提出了該結構下的載頻和到達角(direction of arrival, DOA)聯合恢復算法，且證明了該結構具有更好的抗噪聲性能。文獻[7]提出一種基于參考陣元的均勻陣列調制寬帶轉換器結構，并利于相關性檢驗的方法完成多信號的載頻和DOA估計；然而所提出的結構較為復雜，且提出的算法依舊是以重構算法為基礎，需要的運算量較大。文獻[8]提出了基于均勻陣列結構的壓縮采樣數字接收機，在該結構中利用循環移位的偽隨機序列來構造特殊的通道間相位差，并直接利用壓縮采樣數據完成了載頻和DOA估計。所提出的方法低信噪比下估計性能較差，為了提高精度必須要增加陣元數，提高了系統的復雜度。稀疏陣列可以利用較少的陣元獲得較大的陣列孔徑，不僅可以提高測向性能，還可以降低天線的建造成本[9-12]。文獻[13]中提出了一種基于稀疏陣列的接收機結構，可以利用壓縮信號數據得到載頻和DOA的估計。本文根據稀疏陣列布陣靈活，可以有效減小陣列冗余度的優點，提出了壓縮采樣稀疏陣列結構，降低了接收系統復雜度，并提出利用多重信號分類算法(multiple signal classification, MUSIC)直接處理壓縮采樣數據完成載頻和DOA的聯合估計，減少了后續處理的數據量和處理速率，更易于硬件實現。

1 系統結構和原理

1.1 稀疏陣列接收信號模型

稀疏陣列有2種特殊的形式，即互質陣列和嵌套陣列。其中互質陣列是由2個不同間距的均勻陣列穿插組合而成，互質陣列結構如圖1所示。

圖1 互質陣列結構Fig.1 Diagram of the coprime array

假設其中一個含有m個陣元，陣元間距為nd；另一個含有n個陣元，陣元間距為md，m和n為2個互質的數，且m

因此得到互質陣列下的導向矢量表示為：

(1)

嵌套陣列種類較多，本文只介紹二級嵌套陣列。二級嵌套陣列與互質陣列類似，都是由2個子陣組合而成，其結構如圖2所示。

圖2 嵌套陣列結構Fig.2 Diagram of the nested array

假設一級子陣含有L1個陣元，陣元間距為d1；二級子陣含有L2個陣元，陣元間距為d2=(L1+1)d1，則一級子陣的陣元位置可以表示為D1={l1d1,l1=0,1,…,L1-1}，二級子陣的陣元位置為D2={l2L1d1,l2=1,2,…,L2}，對應虛擬陣元位置為：DNA={nd1,n=-L,-L+1,…,L-1,L,L=L2(L1+1)-1}。

二級嵌套陣列的導向矢量表示為：

(2)

由式(1)、(2)可知，互質陣列和嵌套陣列陣元擺放位置不同，由于相同陣元數下，嵌套陣列的虛擬陣元為無孔滿陣，因此其性能優于互質陣列。

假設稀疏陣列陣元位置設置為D=[d1,d2,…,dM]d，其中di∈Z,i=1,2,…,M，陣元最小間距d為波長λ的一半。在電子偵察環境中，在絕大多數情況下電子偵察接收機處理的信號情況為單個到達的信號，因此考慮只有1個信號入射到M個陣元的稀疏陣列上，假設入射信號s[n]為復數離散信號，入射角度為θ，因此信號接收模型可以表示為：

x[n]=As[n]+η[n],n=1,2,…

(3)

式中：陣列流形為A=[a(θ)]，導向矢量為a(θ)，為方便后續公式推導，將導向矢量表示為a(θ)=[α1(θ),α2(θ),…,αM(θ)]T；s[n]為遠場窄帶信號；η[n]=[η1[n],η2[n],…,ηM[n]]T為均值是0、方差是σ2的獨立同分布的高斯白噪聲。

1.2 提出的接收機原理

基于稀疏陣列的壓縮采樣數字接收機結構如圖3所示。在原型壓縮采樣數字接收機結構前添置稀疏陣列天線，使每個天線對應接收機的一路通道。根據調制寬帶轉換器原理，接收信號首先經過周期性偽隨機序列混頻，再經過低通濾波器濾波和降采樣操作最終得到壓縮采樣數據。

圖3 基于稀疏陣列的壓縮采樣數字接收機結構Fig.3 Diagram of the compressed sampling digital receiver based on sparse array

(4)

根據式(3)，第m路接收信號可以表示為：

xm[n]=αms[n]+ηm[n]

(5)

(6)

式中Xm(ej2πTNYQ(f-lfp))是接收信號xm[n]的離散傅里葉變換。之后混頻信號經過截止頻率為fp/2的理想濾波器h[n]進行濾波并以速率fs=fp進行采樣，可以得到最終的壓縮采樣數據，可以表示為：

(7)

根據式(7)，第m路輸出的離散傅里葉形式為：

(8)

其中f∈Fs，Fs?[0,fp]。

與文獻[5]中的原型壓縮采樣數字接收機輸出相對比發現，所提出的基于稀疏陣列的壓縮采樣數字接收機保留了原型接收機的優點，即可以解決跨信道問題和減少采樣數據量。由于設計的每個子帶的帶寬大于信號的帶寬，因此信號的真實載頻只存在于某一未知子帶l′(0≤l′≤Mp-1)中，即信號能量集中于子帶l′，忽略其他子帶，第m路輸出為：

(9)

從式(9)可以看出，信號經過混頻后丟失了真實的載頻，且接收機第m路和第m-1路通道間存在未知的相位差P′m(l′)am(θ)/P′m-1(l′)am-1(θ)，利用傳統方法直接對接收機輸出進行處理將無法得到信號真實頻率和真實DOA。

2 載頻和到達角聯合估計算法

本節介紹如何利用MUSIC算法實現載頻和DOA聯合估計。根據式(9)可以得到整個系統的輸出：

(10)

對比式(3)，式(10)可視為是壓縮采樣數據的陣列接收模型，定義壓縮采樣數據的陣列流形為Acs=P·A=[acs(θ,l′)]。通過式(10)可以得到壓縮采樣數據的協方差矩陣為：

(11)

式中：E{·}表示求期望操作；Rs=E{ssH}。由于實際采樣的快拍數有限，因此式(11)可以表示為：

(12)

式中K表示壓縮采樣數據的快拍數。

對Ry進行特征值分解可以得到空間譜估計為：

(13)

式中UN表示由最小特征值對應的特征矢量張成的陣列壓縮采樣噪聲子空間。

壓縮采樣數據丟失了真實頻率，對壓縮采樣數據進行快速傅里葉(fast Fourier transformation，FFT)運算[14]，求得信號的基帶頻率fb，再根據混頻特性可知信號真實頻率fc和基帶頻率的關系：

fc=fpl′+fb

(14)

對式(13)所得空間譜，分別對子帶索引l′和角度θ進行遍歷，可得到載頻和DOA聯合估計：

(15)

由于各通道輸出的基帶頻率相同，可利用所有通道的輸出，即利用所有通道的壓縮采樣數據來進行基帶頻率估計，以此獲得更高的頻率估計精度。

3 載頻和到達角聯合估計仿真實驗

假設單個信號入射到陣元數M為10的嵌套陣列上，2個子陣個數分別為L1=5,L2=5，陣元位置D=[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d,陣元最小間距d為λ/2。奈奎斯特采樣率fNYQ為1.2 GHz；混頻序列采用值為±1的伯努利序列，每個周期元素個數Mp為100，則每個子帶帶寬fp=fs/Mp為12 MHz；理想濾波器截至頻率為fp/2，降采樣速率fs=fp=12 MHz。

仿真實驗1：入射信號頻率fc=800 MHz，入射角θ為5°，信噪比為20 dB，經過壓縮后信號快拍數C為200；陣列結構選擇嵌套陣列，陣元個數M為10，2個子陣個數分別為L1為5,L2為5，陣元位置D為[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d,陣元最小間距d為λ/2。圖4所示為壓縮采樣數據的MUSIC譜。

圖4 壓縮采樣數據MUSIC譜Fig.4 The MUSIC spectrum of compressed sampled data

從圖中可以得知，譜峰位置處的橫縱坐標即為載頻和DOA的估計值，因此通過搜索譜峰的方法獲得載頻和DOA估計。該圖也證明了所提出的載頻和DOA聯合估計算法的正確性。

利用均方根誤差(root mean squared error，RMSE)計算算法抗噪聲性能。均方根誤差為：

(16)

式中：N為蒙特卡洛獨立實驗的次數；α′n為算法求得的估計值；α為實際值。

仿真實驗2：由前面的分析可知，實際頻率估計的性能受2個因素的影響，即FFT算法求得的基帶頻率和MUSIC譜峰搜索求得的子帶索引。因此，本實驗分別對壓縮采樣數據的基帶頻率估計和MUSIC譜峰搜索得到子帶索引估計進行實驗。

假設入射信號為載頻隨機、角度隨機的遠場窄帶信號，載頻范圍為fc∈(700 MHz,1 000 MHz)，精度為1 MHz，入射角度范圍θ∈(-30°,30°)，精度為0.1°；分別在不同壓縮采樣快拍數進行實驗。

圖5為在嵌套陣列條件下的基帶頻率估計的RMSE值HRMSE隨信噪比變化曲線。圖6為在嵌套陣列條件下的子帶估計的RMSE值LRMSE隨信噪比變化曲線。嵌套陣列的設置為L1=5,L2=5,陣元位置為D=[1,2,3,4,5,6,12,18,24,30]d，信噪比變化范圍-5～20 dB，變化步長為5 dB，每個信噪比條件下蒙特卡洛實驗次數N=1 000。基帶頻率估計的RMSE值隨信噪比變化而降低，由于實驗時FFT點數為壓縮信號的快拍數，因此快拍數越大，FFT精度越高。由圖6結果可知，子帶估計的RMSE隨信噪比提升而降低，且當快拍數增加時，子帶估計精度更高。因此在低信噪比下，子帶估計RMSE值較大，即對信號原始載頻估計值造成較大誤差。當信噪比大于10 dB，且快拍數大于50時，子帶索引的RMSE值達到0，此時對信號的原始載頻估計值主要取決于基帶頻率的估計值。

圖5 基帶頻率估計RMSE隨信噪比變化曲線Fig.5 RMSEs of the baseband frequency versus varying SNR

圖6 子帶估計RMSE隨信噪比變化曲線Fig.6 RMSEs of the sub-band estimation versus varying SNR

仿真實驗3：在實驗條件與實驗2相同的條件下，圖7為嵌套陣列條件下的DOA估計的RMSE值DRMSE隨信噪比變化曲線。從圖中可以看出DOA估計的RMSE值隨信噪比提高而減小，且快拍數較多時，DOA估計值更為精確。

4 結論

1)本文提出的壓縮采樣稀疏陣列結構，為壓縮采樣數字接收機的應用提供了思路。仿真實驗證明了所提出結構和算法的正確性。

2)從實驗結果可以看出，在陣元數為10的情況下，系統在信噪比大于10 dB時的參數估計誤差最小，但此信噪比對實際應用來說仍然較高。

增加快拍數可以有效提高估計精度，但卻會增加算法的運算量，從而增加硬件實現難度。因此未來將進一步研究降低系統復雜度、提升算法信噪比的新結構和新算法。