分布式事件觸發的多單擺系統一致性跟蹤控制

陳 雪，姜玉蓮

(長春工業大學 電氣與電子工程學院，吉林 長春 130012)

0 引 言

單擺，是物理學、力學分析中最常用的經典模型之一，它是一個形狀和大小都可以看成質點的小球系在不計伸長和質量的擺線上的理想模型。每個單擺可看作一個智能體，那么多單擺網絡系統就可看作為一個多智能體網絡系統。與文獻[1]中單控制系統的控制方法不同，多智能體系統的協調控制能夠解決更為復雜的控制任務。由多個具有自主計算能力的個體組成的分布式多智能體系統，通過個體間的協調與協作能夠完成相對復雜的任務，而單個個體由于其功能簡單，不具有解決復雜困難、高強度問題的能力[2]。多智能體一致性問題作為協調控制的最基本問題，在國內外已取得很多研究成果[3-4]。文獻[5]研究了多智能體系統的一致性問題，提出了分布式控制算法和用于描述多智能體網絡系統一致性問題的理論框架。文獻[6]研究了無領導者多智能的一致性問題，分析了在有向網絡中的一致性問題。文獻[7]針對高階線性多智能體系統的一致性跟蹤問題，設計并分析了在固定和切換通信拓撲下的控制協議及其穩定性條件。文獻[8]研究了多智能體系統在干擾下的一致性問題，設計了基于輸出反饋控制器，給出了實現漸進一致的條件。

近年來，隨著通信技術發展和節能減排的要求，為提高系統的通信效率和能源利用率，減少多智能體系統硬件資源的浪費，大量有關事件觸發控制的研究開始出現[9-15],事件觸發機制的控制效果優于時間觸發機制。Zeno行為意味著在某個時間無限累計的執行，文獻[16-18]中為了排除Zeno行為，在觸發條件中引入常數，使得最小時間間隔嚴格大于零。文獻[19-23]提出了分布式事件觸發采樣數據傳輸策略，利用該策略可以保證最小間隔時間至少為一個采樣周期，避免了Zeno行為。

文中提出了一種分布式事件觸發機制下的多單擺網絡系統的一致性跟蹤控制協議和觸發函數。設計的事件觸發函數的觸發時刻僅依賴單擺系統自身和其鄰居的相對狀態。應用矩陣論和穩定性理論等對分布式事件觸發機制下的多單擺網絡系統一致性跟蹤的穩定性進行了分析，得到了多單擺網絡系統漸進達到一致性跟蹤的充分條件。

1 電機驅動的多單擺網絡系統建模

直流電機驅動的單擺系統工作原理示意圖如圖1所示。

圖1 直流電機驅動的單擺系統

圖中u是電樞繞組的終端電壓，R為電樞電路中的電阻，L為電樞電路中的電感，ia和E分別為直流電機的電樞電流和電動勢，單擺桿的擺角和長度分別為θ,l,m為單擺的質量。

每一個直流電機驅動的單擺系統可看作一個智能體，那么由多個直流電機驅動的單擺系統可組成一個多單擺網絡系統。這里，用i表示每個單擺系統，i=1,2,…,N，N為一個多單擺網絡系統中單擺系統的個數。

第i個單擺系統的動力學模型為：

(1)

其中，KT為電機的轉矩常數，KE為直流電機的電動勢常數，g為重力加速度。

(2)

(3)

其中 ，

2 多單擺網絡系統的通信拓撲結構及其性質

為方便分析，給出以下性質：

引理：L為聯通圖GP的Laplacian矩陣[7]：

(1)λ1=0為L的一個特征值，其特征向量為1N，滿足L1N=0N。

(2)若H=L+D，其特征值λ(H)>0。

3 基于分布式事件觸發的一致性跟蹤控制

3.1 問題描述

文中研究領導-跟隨多單擺網絡系統(3)，對于由節點0表示的領導者，其動力學方程可以描述為：

(4)

其中，x0(t)∈Rn為領導者的狀態。

定義：領導-跟隨多單擺網絡系統(3)-(4)實現漸進一致性跟蹤控制目標是:當且僅當存在控制協議ui(t)使得系統在任意初始條件下滿足：

假設1：(A,B)是可穩定的。

在該假設下，對于任意β>0存在一個正定解P>0滿足如下黎卡提不等式[7]：

PA+ATP-2βPBBTP+βI<0

(5)

設計反饋增益矩陣K=BTP

3.2 分布式事件觸發控制器的設計

設計基于事件觸發機制的控制協議為：

定義狀態測量誤差為：

(6)

di(x0(t)-xi(t))]‖2}}

(7)

其中，δi>0是常數，每個單擺系統的事件觸發時間間隔是由單擺系統自身及其鄰居的相對狀態決定，所以事件觸發機制(7)是分布式的。

(8)

(9)

證明：構造Lyapunov函數為：

V(t)=εT(t)(IN?P)ε(t)

如果，

(10)

用節點集W1(t)和W2(t)表示多單擺網絡系統(3)-(4)最新的事件觸發瞬間，因此，

W1(t)∪W2(t)={1,2,…,N},W1(t)∩W2(t)=?

式(10)成立的充分條件是：

(11)

即：

(12)

‖Kei(t)‖2≤

s‖(H?K)ε(t)‖2

(13)

‖IN?BK‖+2(‖IN?A‖+

令ζ(t)=‖(IN?K)e(t)‖/‖(H?K)ε(t)‖，進而得到ζ(t)≤ψ(t,ψ0)是如下伯努利方程的解：

(14)

其中，a=‖H2?KB‖,b=‖IN?A‖+‖H?BK‖，c=‖IN?BK‖。

其中的τ滿足以下三種情況：

III：若b2>ac，

則τ=

4 仿真實驗

文中給出多單擺網絡系統的參數為：

仿真實驗中共有4個跟隨者和一個領導者，該系統通信拓撲結構如圖2所示。選取δ1=0.05,δ2=0.045,δ3=0.04,δ4=0.035,τ1=0.05,τ2=0.04,τ3=0.03,τ4=0.02,φ=0.2。

圖2 多單擺網絡系統的通信拓撲

對基于分布式事件觸發機制(7)的一致性控制協議(6)作用下的多單擺網絡系統進行仿真實驗。圖3～圖5反映了系統狀態隨時間變化的情況，可以看出系統在分布式事件驅動控制下達到了漸進一致性跟蹤目標。圖6標注出了每個單擺系統在時間間隔[0，100]中的事件時刻，從圖中看出，采樣是分散并非等時間間隔，即分布式事件觸發有效地降低了信息傳輸和控制器更新頻率。

圖3 電樞電流的變化軌跡

圖4 角位移的變化軌跡

圖5 角速度的變化軌跡

圖6 每個跟隨者事件觸發時間

5 結束語

對多單擺網絡系統建模且進行線性化，解決了多單擺網絡系統的一致性跟蹤問題，提出分布式事件觸發機制及其作用下的一致性跟蹤控制器并分析了其穩定性。運用圖論、矩陣論和Lyapunov穩定性理論，證明了多單擺網絡系統可以實現漸進一致性跟蹤目標，且每一個單擺系統不會發生Zeno行為。最后進行仿真實驗，驗證了控制協議的有效性，且分布式事件觸發降低了信息傳輸和控制器更新頻率。