彈/箭艙段殼體動力學等效建模及模態分析

張瑞陽，楊 軍，王蓉暉，韓 飛，2

(1.中國航天科技集團有限公司四院四十一所 燃燒、熱結構與內流場重點實驗室，西安 710025；2.西安交通大學，西安 710049)

0 引言

模態仿真是指導火箭、導彈系統研制的重要環節，可以為氣動、控制、地面發射裝置等多個分系統開展相關設計時提供不可或缺的參數。對于結構系統而言，能夠為諸多結構力學分支提供必要的輸入參數，包括結構共振的規避、靜/動載荷的劃分、諧響應分析、振動與沖擊分析等；對于系統總體而言，模態分析則是地面振動沖擊環境預示及振動條件制定所必須的中間過程；對于地面發射系統，模態仿真是開展彈/箭離軌運動與擾動精細化仿真計算的必要環節；此外，模態仿真還是開展氣動彈性問題研究以及伺服彈性問題研究的重要輸入。

目前，國內外諸多學者在火箭結構動力學建模與模態仿真方面做了大量研究[1-4]。梁魯等[5]建立了CZ-3A運載火箭三維有限元模型進行動力學特性分析，并進行了相應的模態試驗，仿真結果與模態試驗一致性良好；孫海文等[6]通過建立某火箭有限元模型，采用Lanczos方法進行模態分析，獲取全箭滿載和空載狀態下低階彎曲模態數據，并完成了模態試驗方案設計和試驗。上述研究方法大多是基于三維有限元方法完成的，其中箭上包含了各類儀器設備、結構件等成百上千個零部件，包括所有零部件的簡化、等效建模、網格劃分、接觸的正確識別與定義等過程比較復雜，前處理工作異常繁瑣。王勇等[7]應用梁單元模型，將箭體質量分布在各節點處，建立集中質量單元，節點與節點之間用無質量的梁單元連接，可以準確反映火箭整體動特性，與試驗結果有較好的一致性；李為等[8]將艙段簡化平面梁模型，采用編程軟件組裝總體剛度矩陣和總體質量矩陣，計算了艙段的模態頻率與振型。上述研究雖然將火箭艙段結構等效為梁模型，但均未跳出有限元的范疇，無法反映模型細節。

基于上述學者研究成果，為能夠進一步反映模型細節與提高計算效率，本文從薄壁圓柱殼出發，提出圓柱殼-等效梁模型，將其應用于多段耦合梁結構中，完成了對艙段殼結構振動特性分析參數化建模。以有限元方法為參考，與本文方法對比分析，驗證不同邊界條件、幾何參數下的仿真精度，并在此基礎上進一步研究艙段連接位置及螺栓規格、數目對彈、箭結構低階模態的影響規律。

1 理論模型

1.1 等效梁模型

薄壁圓柱殼是箭體主要結構形式，箭體由多個殼體艙段連接而成，整體殼結構符合梁模型基本要求，其低階模態主要以彎曲為主。因工程中比較關注彈/箭結構低階彎曲模態，在方案論證階段可將其簡化為梁模型，轉化為求解梁的低階模態問題。本文以兩端簡支圓柱殼為例進行等效簡化。

根據薄殼理論，在滿足一定長徑比條件下，若薄壁圓柱殼為兩端簡支邊界條件，圓柱殼整體彎曲振動頻率表達式為[9]

(1)

(2)

式中a1、a2、a3為中間參數，可由邊界條件求得。

經典梁彎曲理論中，兩端簡支梁的彎曲頻率表達式為[10]

(3)

式中Ib、Ab分別為等效梁模型的截面慣性矩和橫截面積。

對比分析梁和圓柱殼彎曲振動頻率的解析表達式，若直接利用梁彎曲振動方法在求解圓柱殼彎曲頻率，因未考慮轉動慣量和剪切變形影響，會導致計算結果偏高。因此，在保證梁模型與圓柱殼結構參數的同時，需充分考慮轉動慣量與剪切變形的影響，對等效梁模型得到的彎曲頻率進行修正[11]，即

(4)

(5)

同理，也可對兩端自由，一端固支、一端自由等邊界條件下圓柱殼進行等效。

1.2 多段耦合梁模型

彈/箭多艙段連接結構可簡化為多段梁耦合模型進行分析。如圖1所示為多段梁耦合結構，假設耦合截面之間無剛度損失。各段梁的抗彎剛度分別為E1I1、E2I2、…、EnIn；長度和橫截面積分別為l1、l2、…、ln和A1、A2、…、An；密度分別為ρ1、ρ2、…、ρn。

圖1 多段耦合梁模型

若多段梁兩端與耦合處均為自由邊界，根據邊界條件和連續性條件可以得到4n×4n個邊界方程。

設各段梁的位移函數為[11]

wi(x)=Wisinμix+Xicosμix+Yisinhμix+

Zicoshμix，i=1，2，…

(6)

式中μi=(ω2ρiAi/EiIi)1/4；Wi、Xi、Yi、Zi為常系數。

第1段梁左端邊界方程為

(7)

第n段梁右端邊界方程為

(8)

第1～n段梁耦合處的邊界方程為

(9)

將式(6)代入式(7)～式(9)得

Ba=0

(10)

式中a為Wi、Xi、Yi、Zi組成的向量；B為4n×4n階系數矩陣。

向量a表達如下：

a=[a1a2…an]T

(11)

向量a中各個元素為各段梁位移函數的系數：

ai=[WiXiYiZi]，i=1，2，…，n

(12)

要使Wi、Xi、Yi、Zi有解，則B的行列式等于零，即

|B|=0

(13)

上式也是耦合梁的頻率方程，通過求解上式得到梁各階振動彎曲頻率ωi。將ωi代入式(10)求出各段梁位移函數的系數，即可得到耦合梁模態振型。

1.3 艙段對接結構等效建模

圖2為火箭典型艙段對接結構截面示意圖，通常由于加工精度和螺栓預緊力等因素的影響，艙段對接面并非剛性連接，僅在螺栓附近近似剛性連接，因此可以采用以下方法進行等效建模[12]。

忽略定位螺栓與對接螺栓的尺寸差異，忽略定位銷，去除艙段對接中的所有緊固件，并根據對接螺栓數目，通過若干圓圈區域將對接面進行劃分，如圖2所示。圓圈區域以對接螺栓對應通孔為中心，以8～10倍對接螺栓半徑作為圓圈區域半徑。在有限元模型中，僅將相鄰艙段在圓圈內的對接區域進行綁定固連。

結合對接結構等效建模方法，對艙段對接面抗彎剛度進行等效。圖2中，根據螺栓數目，確定所有圓圈區域面積對應圓周角占整個圓周角的比例，求得艙段對接面實際抗彎剛度。具體計算方法：

圖2 艙段對接結構示意圖

(14)

2 方法驗證

多段耦合梁模型是基于剛性連接假設條件下得出的，彈/箭結構由于對接螺栓的存在，對接面存在剛度損失，可通過式(14)計算對接面等效抗彎剛度。以有限元方法為參考，驗證本文方法的準確性和適用性。

若一薄壁圓柱殼長度L=7.5 m，半徑R=0.2 m，厚度t=4 mm，密度ρ=7850 kg/m3，楊氏模量E=2.0×1011Pa，泊松比υ=0.3。

2.1 邊界條件適用性驗證

等效梁模型是基于兩端簡支圓柱殼進行等效求得，為進一步驗證其適用于不同邊界條件，對典型邊界條件下進行仿真分析，仿真結果如表1、表2所示(文中僅給出兩端自由圓柱殼模態振型比對)。

表1 兩端自由圓柱殼模態振型

由表1可見，圓柱殼兩端自由邊界條件下兩種方法的模態振型基本一致；表2仿真結果顯示，兩種方法模態彎曲頻率最大相對誤差不超過3%，適用于不同典型邊界條件，體現出本文方法是行之有效的，且滿足工程精度要求。

表2 圓柱殼模態頻率仿真結果

2.2 幾何參數適用性驗證

保持圓柱殼材料參數與結構參數中的厚度、半徑相同，通過改變軸向長度，探索等效梁模型對長徑比的適用范圍，因工程中比較關注殼體低階模態，文中僅給出前兩階模態彎曲頻率相對誤差與長徑比的關系。

仿真得到前兩階彎曲頻率相對誤差與長徑比的關系如圖3所示。圖中隨著長徑比的增加，前兩階彎曲頻率相對誤差逐漸減小并趨于平穩，此時精度達到最大；長徑比很小時，圓柱殼低階模態主要為呼吸模態，誤差較大。當長徑比大于10時，等效梁模型模態分析相對誤差可以保持在2%左右，能夠保證良好的精度。

圖3 前兩階彎曲頻率相對誤差與長徑比關系曲線

2.3 艙段對接結構等效方法驗證

基于上述邊界條件、幾何參數適用性驗證得出：在滿足一定長徑比條件下，梁模型適用于求解薄殼結構的模態彎曲特性?？紤]到艙段對接結構在對接面處的剛度損失，需對其等效方法進行進一步驗證。若一艙段對接結構，兩艙段材料均為結構鋼，長度l1=l2=4 m，直徑d1=d2=0.4 m，厚度t=0.004 m，仿真結果如表3所示。

表3數據表明，文中所述艙段對接結構等效方法仿真結果與有限元結果具有良好的一致性，其最大相對誤差不超過2%，不僅彰顯了艙段等效方法的有效性，同時還可利用此方法求解彈/箭復雜艙段對接結構。

表3 艙段模態仿真結果

2.4 仿真精度驗證

若某型號運載器箭體由5個艙段對接而成，艙段外徑均為0.4 m，每個對接面使用4×M14螺栓進行連接，箭體兩端處于自由邊界，各艙段具體參數見表4。

表4 箭體各艙段參數

根據上述箭體各艙段參數建立艙段連接結構的耦合梁模型與有限元模型，其中有限元模型包含5個實體子結構、2712個接觸單元，52 025個實體單元，節點總數為107 344。仿真計算得到其前三階模態頻率如表5所示。

仿真結果表明，表5中兩種方法仿真結果基本相同，且前三階模態彎曲頻率相對誤差大致在2%左右，精度相對較高，滿足工程中實際需要；其次，本文方法的優勢還體現在以下幾個方面：

表5 艙段模態仿真結果

(1)從矩陣規模來看，在忽略模型細節、局部簡化的前提下，有限元模型總體剛度矩陣規模依舊是模型頻率方程矩陣的103倍左右，若充分考慮模型細節進行精細化研究，有限元方法對計算機要求較高，相比之下本文方法計算成本較低、效率較高。

(2)時間方面，結合同系列產品模態測試結果，根據本文方法所得相關結論，如全箭長度、艙段連接位置、數目、連接形式等對于全箭模態的影響規律的定量分析結果，可快速完成新研型號的模態預示。

3 參數分析

考慮到艙段對接面所處位置、螺栓數目對整體結構固有特性的影響，基于本文方法與有限元法開展參數影響規律研究。選取艙段直徑d=0.4 m，厚度t=4 mm，材料為結構鋼，建立有限元與等效梁模型，對不同參數開展影響規律研究。

3.1 艙段對接面位置對模態分析的影響

選取艙段總長度l=8 m，其他參數相同條件下，將艙段對接面沿軸向方向分別設置在不同位置，可以得到艙段對接面所處不同位置時對彈/箭結構固有頻率的影響規律，如圖4所示。

由圖4(a)～(c)可看出，彈/箭結構模態頻率對艙段連接位置比較敏感，隨艙段連接位置變化而變化，圖中顯示本文方法與有限元方法得到的規律曲線基本一致，在艙段連接位置相同情況下，兩種方法的相對誤差不超過1%，誤差原因為在推導式(14)的過程中，略去了其中的高階項；圖4(d)中，對比前三階模態頻率變化規律，隨著艙段連接位置的變化，各階彎曲頻率均出現不同程度的下降，其中模態位移最大處對艙段對接面位置最敏感，導致各階彎曲頻率下降最大，在彈/箭結構設計中艙段連接位置應盡量與這些位置錯開或增強對接面抗彎剛度。

(a)First order bending mode (b)Second order bending mode

3.2 螺栓規格、數目對模態分析的影響

根據3.1節選取軸向中點處作為艙段對接面位置，由于一階模態頻率在此處比較敏感，二階模態頻率基本無變化，通過改變螺栓參數將參數影響規律反映到一階模態頻率變化上。保證其他參數不變的情況下，改變螺栓規格、數目得到一階模態頻率變化曲線，如圖5所示。圖5顯示，在螺栓規格相同的條件下，隨著螺栓數目的增大，固有頻率也隨之增大；在螺栓數目相同條件下，隨著螺栓規格的增大，固有頻率也隨之增大。參照式(14)，隨著螺栓數目、規格的增大，艙段對接面趨于剛性連接規律相符；反之，螺栓數目越少，艙段對接面剛度則越小，模態頻率降幅也越大，模態頻率最大降幅達到8%以上。因此，參考艙段對接面位置，連接剛度等多方面因素確定螺栓規格與數目對火箭整體結構設計具有重要意義。

圖5 模態頻率隨螺栓參數的變化

4 結論

針對有限元方法在系列化火箭產品模態仿真中計算效率較低的問題，本文提出了等效梁模型計算方法，并與有限元方法進行了對比，驗證了其有效性，并呈現出以下優勢：相比于三維有限元繁瑣的前處理工作，本文方法能夠在結構設計過程中快速實現參數地更改；在精度相當的條件下，能夠迅速完成模態預示；可以快速完成相關參數對全箭模態的影響規律的定量分析。與此同時，在上述基礎上進一步研究了艙段對接結構相關參數對結構低階模態的影響。主要得出結論如下：

(1)本文方法特別適用于同系列型號方案論證階段，對于大長徑比艙段殼體結構，適用于典型邊界條件，且相對誤差可以保證在2%左右，模態仿真精度較高，工程適用性強。

(2)箭體結構模態頻率對艙段連接位置比較敏感，隨著位置的變化而變化。其中，模態頻率變化最大位置對應振型位移最大處。因此，在彈/箭結構設計中，艙段連接位置應盡量與這些位置錯開。

(3)在艙段對接螺栓規格相同的條件下，隨著螺栓數目的減小，模態頻率隨之減??；在螺栓數目相同條件下，隨著螺栓規格的減小，模態頻率隨之減小。螺栓參數變化反映在剛度上，即彈/箭結構隨著連接剛度降低模態頻率也隨之降低。