由2019年高考全國卷Ⅰ理科第16題談幾何法求解離心率

福建 陳崇榮

代數法是解決解析幾何的通法，不足之處是計算量大，其實解析幾何的本質是幾何問題，若能用幾何法求解往往能優化運算，離心率的求解也如此.現對2019年高考全國卷Ⅰ理科第16題進行分析、探究，并對其進行變式延展，歸納了幾何法解決近年全國卷中的離心率問題，呈現了幾何法解決離心率問題的思維探索過程和解題步驟，對解題教學、高三微專題復習有很好的借鑒作用.

1.問題的提出

離心率是高中數學圓錐曲線中很重要的一個概念，它是刻畫橢圓“圓扁”程度的一個量(也是刻畫雙曲線的“張口”大小的一個量).離心率的考查是歷年全國高考中的一個熱點，這類問題經常和平面幾何、向量、解三角形等知識相交匯，綜合性強，解法靈活，而且經常創新，給考生帶來了很大的難度，如何既準又快的求出離心率值得研究.

在解析幾何教學中，教師往往都注重代數法去解決解析幾何問題，即用坐標運算代替幾何推導，久而久之學生們都習慣了將幾何問題代數化的解題方法，以至于計算量大時解不出結果，而卻忘記了解析幾何的本身是幾何問題.正因為如此，命題者喜歡命制離心率與平面幾何知識交匯的試題，解答這類試題時平面幾何的幾何性質往往能起到四兩撥千斤、一舉定乾坤的作用.

2.問題解決的必備知識

解題遵循原則：1個關鍵：尋找a，b，c的關系式；

2個切入點：從“形”入手，從“數”下手；

3個方向：從圓錐曲線定義思考、從幾何圖形的性質出發、從方程的角度落筆；

4種工具：平面幾何知識、平面向量知識、三角函數定義知識、函數與方程知識；

5種思想：數形結合思想、方程思想、函數思想、等價轉化思想、特殊到一般思想.

3．實戰演練

2019年高考全國卷Ⅰ理科第16題新穎且有代表性，題目雖不難卻讓很多考生束手無策.此題可以用代數法，也可以用幾何法.幾何法中涉及直角三角形、等腰三角形性質綜合應用，涉及三角形的角平分線、垂直平分線、中線的綜合應用，純純的平面幾何味道，品純幾何味道的同時體會幾何法帶來簡潔、快速、計算量小的優越性.

3.1關鍵點、難點分析

方法一：

第一步，從“形”入手，如圖.

3.2解題小結

法一屬于純幾何法，簡潔快捷，但思維量大，對平面幾何知識、雙曲線幾何性質的綜合運用要求高.關鍵點、難點的突破對邏輯推理、直觀想象素養要求高，達到水平三的層次.用幾何性質解決離心率問題筆者分為以下三個步驟：

第一步：畫圖.數缺形時少直觀，圖形的準確與否直接影響到問題的解決.

第二步：從已知條件出發，把已知條件合理化簡、轉化并標在幾何圖形中，從幾何視角、代數視角分析已知條件影響到后面方法的選擇.

第三步：從圖形入手，尋找幾何圖形(三角形、梯形、菱形、圓等)并分析其性質.如：三角形中，有三角形三線(中線、角平分線、垂直平分線)性質，有相似三角形、全等三角形、直角三角形性質.如何結合平面幾何圖形的幾何性質與圓錐曲線知識建立起a，b，c的關系是問題解決的難點.

第四步：從“數”下手，從方程落筆.通過第三步的分析，建立關于a，b，c的方程，從而解出離心率e.

4.變式演練

通過變式，把一道試題變為問題串，展示問題的演變過程和來龍去脈，打開學生的思維，讓學生從變化過程中探求一般規律，看透問題本質，進而總結問題的解決策略，高屋建瓴的把握解題方向，提高學生核心素養.

4.1變換條件

4.2特殊到一般的推廣

【說明】解析幾何的很多結論都可以推廣，變式7-12分別是變式1-6的一般性規律，看透問題本質體會圓錐曲線的美.

5．真題演練

5.1通過三角形中線、中位線性質，建立a,b,c關系式

( )

5.2利用相似三角形相似比，建立a,b,c關系式

( )

5.3構造直角三角形，通過解直角三角形，建立a,b,c關系式

( )

解析：過點P作PM⊥x軸交x軸于點M.PF2=F1F2=2c，∠PF2M=60°，

5.4通過解等腰、等邊三角形，建立a,b,c關系式

【說明】通過對近幾年全國卷試題的歸納、分析和演練，了解離心率與平面幾何相交匯的命題趨勢，分析這些題型的難點和關鍵點，鞏固解決離心率問題的幾何方法，提升學生分析問題和解決問題的能力.

6.教學反思

用幾何法求解圓錐曲線問題優點明顯，運算小、簡潔、快速，但思維量大.學生不善于用幾何法的原因很多，與初中教材弱化幾何性質的應用、初高中銜接不夠和教師比較注重代數法解決圓錐曲線等都有關系.因此，教學過程中要轉變重代數運算、輕幾何方法的現象，緊扣圓錐曲線定義，從平面幾何圖形出發，結合已知條件，積極地探尋問題的幾何性質，優化運算過程，從而提高學生直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.