高考圓錐曲線解題教學關鍵
——坐標法

北京 白志峰 于艷梅

高考圓錐曲線試題思想方法交匯強，能力要求高.試題通過解題策略的選擇、解題障礙的突破區分不同層次的考生，是拉開考生分數檔次的關鍵題目之一.

綜觀各套高考試題，多以直線與橢圓為載體.試題入口低、觀點高，突出考查解析幾何的基本知識、基本思想，兼顧對數學思想和數學能力的考查.試題從學科的知識交匯與思想體系去認識、把握解析幾何的核心思想——用代數的方法解決幾何問題,其核心的解題方法是坐標法.

所謂坐標法，就是建立坐標系，把幾何對象轉化為代數對象，把幾何問題轉化為代數問題，利用代數工具、方法研究并獲得結論，然后再解釋幾何對象.

一、圓錐曲線的解題教學方面存在兩個不良傾向

其一，刻意地把幾何條件的轉化當做所謂的“亮點”.有的教師選擇一些幾何條件復雜、不易轉化利用的題目，竭力分析如何巧妙轉化，這樣雖然能增加教師授課的吸引力，但沖淡了解析幾何基本思想的落實.有的教師從幾何條件的分析轉化出發，列出多種方法，剩下的運算留給學生完成.事實上，幾何條件的轉化是為坐標法的順利實施提供支持的.考生在讀懂題意方面沒有較大障礙，大多能夠盡快理清條件信息，找到解題思路.其中，幾何條件的轉化并不復雜.

其二，過分的模式化訓練.多數教師習慣于題型歸類、方法總結.比如有的教師從易到難劃分題型：位置關系問題、最值與范圍問題、定點與定值問題、存在性探索性問題等等，并且進行解題訓練.通過各類題目總結許多“解題模式”，這樣會給學生帶來負面的“條件反射”.事實上，不管何種題型、不論如何變化，最常用的方法是坐標法.

二、落實好坐標法需把握好如下三個問題

第一，教師要善于促使學生形成可行的解題思路并進行有效的變通.

解題思路的形成是解題者根據題目條件提供的信息和結論的目標指向，結合大腦儲存的數學知識、思想、方法，共同作用的結果.條件是基礎，結論是方向，變通是關鍵.教學實踐表明，學生在解答圓錐曲線綜合題時不是沒有思路，而是存在以下兩個問題：一是解題思路不可行，二是思路可行但變通不暢.找準了問題的關鍵，也就找到了教學的著力點.所以教學中教師既要善于促使學生形成可行的解題思路，又要善于促使學生形成有效的變換與溝通.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】(Ⅰ)P的軌跡方程為x2+3y2=4(x≠±1)；

(Ⅱ)第一步：分析題意，形成思路.

可用條件：①P在橢圓x2+3y2=4(x≠±1)上；②直線AP和BP分別與x=3交于點M,N；③S△PAB=S△PMN.

目標指向：P點坐標(若存在).

這里必須明確何為P點存在？何為P點不存在？

設P(x0,y0)，若關于x0(或y0)的方程有解，且x0∈[-2,2]時，則P點存在，否則P點不存在.于是就需要建立關于x0的方程，那么如何建立呢？考慮條件③，面積相等是幾何條件，其代數表達如何？思路由此展開.

接下來，需將④，⑤坐標化.設點M，N的坐標分別為M(3,yM)，N(3,yN),

由④? 2|x0+y0|=|yM-yN|(3-x0),⑥

由⑤?|PM|×|PN|=|PA|×|PB|,⑦

第二步：合理轉化，有效變通.

⑥的問題是字母過多,如何減少,這就是變通的問題了.條件②的本質是三點共線,可實現用P點坐標表示M,N的坐標：

法一：利用直線AP與直線x=3求交點M，直線BP與直線x=3求交點N；

法二：利用kAP=kAM，kBP=kBN；

第三步：規范書寫，完成解答.

根據以上分析，不難形成多種解題方法，這里略.

只有第一、第二兩步處理的合理到位，才能形成有效的解題思路，教師的引導作用的重點應該在第二步，第一步和第三步只要留足一定的時間和空間，學生是能夠獨立完成的.

有效的解題策略、思路、方法，不是教師告訴學生的，而是學生自己生成的.教師要回避“告訴式”的教學方式.教師的作用是引導學生找到一種正確的、可行的思路，并且經過一段時間的訓練成為學生的自發行為.

教學時應該圍繞坐標法展開，從不同角度切入，用多種方法解答.既要重視一題多解，又要重視多題一解.通過一題多解開拓思路，通過多題一解把握本質.

第二，教師不能一味引導學生規避運算，要讓學生想得出來、算得出來.

數學運算是數學核心素養之一.運算能力包括分析運算條件、探究運算方向、選擇運算方法、確定運算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實施運算過程中遇到運算障礙而調整運算的能力.解析幾何試題承載著高考對運算能力的考查要求，試題對于運算量的大小、運算長度及運算障礙的設置都是經過慎重考慮的，在整個試卷里是合理配套的，因而運算能力也是考生應該具備的，不可回避的.

【例2】已知拋物線y2=4x，點R(1,2)，過點Q(1,1)作直線交拋物線C于不同兩點A，B，若直線AR,BR分別交直線l：y=2x+2于點M，N，求|MN|最小時直線AB的方程.

【解析】教學時，發現一學生給出如下解法片段：

至此停滯不前，怎么辦？學生的解題思路何嘗不是立足根本，中規中矩的解法呢！而且極具代表性.該生能算到這一步確實不易，說明他的運算很準確，值得肯定與表揚.所以教師不要急于拋出自己的想法，或急于展示其他學生的成功解法.應該順應該生思路，引導學生共同分析、評價，找出問題，找出方法，讓學生在比對與評價中學會處理問題.

停滯不前的原因顯然是變量過多.如何減少變量呢？肯定還有一些條件未利用.這個原因一經提出，眾生發現：

師：“好！點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程，反之呢”？

生：“點的坐標滿足曲線的方程，則該點在曲線上.”

師：“這正是解析幾何的基本思想之一.之所以停滯不前，是因為這種意識不強烈.”

教師要抓住這一有利時機，幫助學生強化點在曲線上，則點的坐標滿足曲線的方程；反之，點的坐標滿足曲線的方程，則點在曲線上，這一解析幾何基本思想的理解和認識.此時此刻，學生的思維是活躍的.又有不少學生發現將④代入①②先化簡，再解交點更簡單.

教師肯定與表揚之后，留出時間讓學生做下去，看誰做得又對又快！在最后處理目標函數最值時，又是一個節點，本文不再贅述.

第三， 教師要善于發揮順勢而為的教學價值.

( )

但到此停滯不前，有的放棄，有的“死算” . 難道解法不可行？為什么通法“不通”，“阻”在何處？面對這樣的情況，教師該怎么處理？畢竟是學生自己的思路，而且是非常合理的，學生已經避開利用余弦定理求解的途徑，說明經過了充分的思考 .教師要善于發揮順勢而為的教學價值.

面對①式怎么辦？順勢而為的第一個結點：

k1,k2有什么關系——順勢而為的第二個結點：

解得m≤1或m≥9，又0

焦點在y軸上時，由學生自己完成，目的是及時鞏固以上方法，達到真正理解，起到舉一反三的效果. 此時得出結論：m≥9.

當然，我們不一定提倡考場上這樣解題，但是在習題課上如此“認死理”的解答，重在解答過程中所經歷的體驗和學到的東西，培養學生求真務實的科學精神和鍥而不舍的意志品格，這正是新版課標中所提倡的必備品格.

本題利用“橢圓短軸端點對兩焦點的張角最小”，可以簡便求解，這里不再贅述.

課堂上留足時間、空間讓學生想出來、做出來，并進行“策略選擇、運算方法、障礙調整”等方面的反思、提煉.通過這樣的過程可以讓學生體驗成功的樂趣，樹立戰勝困難的信心，培養鍥而不舍的意志品質.

新一輪課改后的高考改革已見端倪.解析幾何綜合題依然是高考的熱點和重點，必將常考常新，所以難免由陌生之感而產生難度.但無論如何，都不會離開解析幾何的學科本質.解題教學的重點是有效的解題思路的形成和運算的順利進行.說到底就是要：明確一種思想——用代數的方法解決幾何問題、強化一種方法——坐標法、樹立一種態度——解決問題、培養一種品質——不服輸.