啟發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生質(zhì)疑精神之實(shí)踐
——以錯(cuò)題研究為例

廣東 李 虎

近幾年，高考試題越來(lái)越新穎多變，考查方向也從能力立意轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)立意，課堂教學(xué)也應(yīng)該隨之改變，一味題海戰(zhàn)術(shù)，刻板訓(xùn)練未必會(huì)有好的效果，課堂更應(yīng)該打開學(xué)生思維，以一種開放的狀態(tài)，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和創(chuàng)新意識(shí).不僅要關(guān)注為什么要這樣做，更應(yīng)該關(guān)注自己錯(cuò)在哪里.下面筆者就以課堂教學(xué)中學(xué)生提出的幾個(gè)很有意義的質(zhì)疑為契機(jī)，談?wù)勔恍\薄的認(rèn)識(shí).

一、發(fā)揚(yáng)“最后一問(wèn)”

【例1】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，并且4Sn=(an+1)2，求{an}的通項(xiàng)公式.

思維導(dǎo)航：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的關(guān)系，消去Sn得到遞推公式，然后根據(jù)遞推公式即可解出通項(xiàng)公式.

解答過(guò)程：由4Sn=(an+1)2①，取n=1得4a1=(a1+1)2，解得a1=1，以n+1替換n得4Sn+1=(an+1+1)2②，②-①得4an+1=(an+1+1)2-(an+1)2，整理得(an+1+an)(an+1-an-2)=0 ③.所以an+1+an=0或an+1-an-2=0，所以數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列.解得an=(-1)n-1或an=2n-1.

筆者任教的兩個(gè)班級(jí)絕大部分學(xué)生是這樣解答的，參考答案也是這樣給的.筆者在評(píng)講時(shí)，問(wèn)有沒(méi)有其他解法.有個(gè)學(xué)生舉手，老師這是一個(gè)錯(cuò)題，原因如下：先求a1=1，把a(bǔ)1=1代入得到4(1+a2)=(a2+1)2，解得a2=-1或a2=3；再分兩種情況代入求得a3=1或a3=-3或a3=5；再分情況代入，求得a4=-1或a4=3或a4=-5或a4=7；….

反思：在教學(xué)中，要發(fā)揚(yáng)“最后一問(wèn)”的精神，問(wèn)問(wèn)學(xué)生們，還有沒(méi)有想要說(shuō)的，有沒(méi)有其他的想法和思路，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神，不盲信答案或者參考資料.本題在多份參考資料里出現(xiàn)，基本都是錯(cuò)誤的解答.

二、錯(cuò)在哪？

【例2】設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R,y∈R都滿足f(x+y)=f(x)f(y)+2，且f(1)=2，則f(n)=________(n∈N*).

思維導(dǎo)航:本題是一道典型的抽象函數(shù)題目，考查由抽象函數(shù)得到數(shù)列的遞推公式，然后根據(jù)遞推公式求解通項(xiàng)公式.

解答過(guò)程：取x=n,y=1得f(n+1)=f(1)f(n)+2,即f(n+1)=2f(n)+2，f(n+1)+2=2(f(n)+2)，所以{f(n)+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，解得f(n)=2n+1-2.

在測(cè)試卷中，有60%的人是這個(gè)結(jié)果，這個(gè)解答也是答案中給出的結(jié)果.還有20%的人結(jié)果是f(n)=2.在試卷評(píng)講過(guò)程中，筆者讓一位學(xué)生來(lái)講解他的思考過(guò)程，給出的解答過(guò)程如下：

取x=0,y=1得f(1)=f(0)f(1)+2，將f(1)=2代入得f(0)=0，再取x=0,y=n可得f(n)=2.

討論辨疑：學(xué)生A：這個(gè)題目是個(gè)錯(cuò)題，取x=y=1得f(2)=f(1)f(1)+2=6，再取x=y=2得f(4)=f(2)·f(2)+2=38 ④，取x=1,y=2得f(3)=f(1)f(2)+2=14，再取x=1,y=3得f(4)=f(3)f(1)+2=30 ⑤.④⑤兩式矛盾，說(shuō)明不存在這樣的函數(shù).

學(xué)生B：若取x=y=0則得f(0)=(f(0))2+2，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，說(shuō)明這個(gè)函數(shù)在x=0無(wú)定義，由x,y的任意性可得這樣的實(shí)值函數(shù)不存在.

反思：在發(fā)現(xiàn)問(wèn)題時(shí)，不妨多留點(diǎn)時(shí)間給學(xué)生們，讓他們自己去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題所在，在質(zhì)疑中提升思維的品質(zhì)，在辨疑中串聯(lián)知識(shí)點(diǎn)，提升思維的深度和知識(shí)的厚度.

三、這樣的函數(shù)存在嗎？

【例3】定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，有f(x)>f′(x)，且f(x)+2 017為奇函數(shù)，則不等式f(x)+2 017ex<0的解集是________.

最后一問(wèn)：從上面的解答過(guò)程看，f(x)+2 017為奇函數(shù)這個(gè)條件，這里只用到了f(0)+2 017=0，題目給的條件貌似過(guò)強(qiáng)，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)條件之間的不相容性，這樣的函數(shù)根本不存在呢？簡(jiǎn)單來(lái)說(shuō)，滿足上述條件的f(x)存在嗎？

四、題目是否真的少條件？

(Ⅰ)證明：AB⊥平面ADE；

(Ⅱ)求二面角E-BC-F的余弦值.

背景：此題是2019年廣東省模擬試卷理科數(shù)學(xué)第18題，本班某學(xué)生聽說(shuō)高三學(xué)姐剛考完的省一模很難，年級(jí)均分才八十多分，于是去借了試卷來(lái)做一下.在大題的第二問(wèn)就卡住了，班上幾個(gè)同學(xué)商量后，一致認(rèn)為題目少了條件，不然做不出來(lái).拿來(lái)請(qǐng)教筆者，筆者看到此題有一種似曾相識(shí)的感覺(jué)，發(fā)現(xiàn)此題和2016年高考全國(guó)卷Ⅰ理科數(shù)學(xué)第18題如出一轍.原高考題如下：

(2016·全國(guó)卷Ⅰ理·18)如圖，在以A,B,C,D,E,F為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD,∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

(Ⅰ)證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

(Ⅱ)求二面角E-BC-A的余弦值.

依稀記得當(dāng)年這道考題，全省73.3萬(wàn)考生，根據(jù)閱卷情況，能拿到滿分的人寥寥無(wú)幾，當(dāng)年學(xué)生出考場(chǎng)后也同樣認(rèn)為少了條件，為什么同樣的情景會(huì)重現(xiàn)？

解疑：筆者問(wèn)學(xué)生，你能得到AB∥CD嗎？學(xué)生答：就是卡在這里，題目應(yīng)該給出這個(gè)條件.那么，CD是否平行EF？學(xué)生答：平行啊.那么，CD是否平行平面ABFE？學(xué)生答：平行.學(xué)生馬上說(shuō)：知道了，明白了.

反思：線面平行的性質(zhì)定理平時(shí)用的較少，很多學(xué)生會(huì)忽視用線面平行可以得到線線平行，造成第一問(wèn)都做不出來(lái).由于已知條件是二面角F-AB-C的大小為30°，在第一問(wèn)做不出來(lái)的情形下，第二問(wèn)也如空中樓閣，無(wú)法建系來(lái)計(jì)算.本題在高三考生中得分也非常低.在高考題轉(zhuǎn)變?yōu)橐院诵乃仞B(yǎng)立意后，高三復(fù)習(xí)要注意回歸“課本”，夯實(shí)基礎(chǔ)，這樣才會(huì)在變化中尋找到規(guī)律.

【例5】關(guān)于圓周率π，數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過(guò)許多有創(chuàng)意的求法，如著名的普豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過(guò)設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來(lái)估計(jì)π的值：先請(qǐng)120名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)x,y都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)，再統(tǒng)計(jì)其中x,y能與1構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對(duì)(x,y)的個(gè)數(shù)m，最后根據(jù)統(tǒng)計(jì)個(gè)數(shù)m估計(jì)π的值.如果統(tǒng)計(jì)結(jié)果是m=34，那么可以估計(jì)π的值為

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反思：考完學(xué)生反思才發(fā)現(xiàn)，漏掉了構(gòu)成三角形這一基本條件.本題要考查的知識(shí)點(diǎn)是隨機(jī)模擬，用頻率估計(jì)概率.涉及幾何概型、線性規(guī)劃、余弦定理、構(gòu)成三角形條件等相關(guān)知識(shí).同時(shí)又聯(lián)系數(shù)學(xué)史料，是這幾年命題的熱點(diǎn)和新方向.

五、數(shù)形結(jié)合，邊思邊畫

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背景：此題為七校聯(lián)合體高二聯(lián)考試題第11題，此題得分率僅為24%.很多學(xué)生不能將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題.

學(xué)生質(zhì)疑：對(duì)比上述兩題，都是用數(shù)形結(jié)合解決，但是一個(gè)是直線與曲線，一個(gè)是曲線與曲線.曲線與曲線相交，是否一定要當(dāng)x=-5時(shí)，y=loga(-x)(x<0)在y=-2的上方？是否會(huì)出現(xiàn)在最低點(diǎn)(x=-5)的右側(cè)“附近”就可以有兩個(gè)交點(diǎn)？

反思：從學(xué)生質(zhì)疑來(lái)看，對(duì)于這道選擇題，選A沒(méi)問(wèn)題，是否A的右端是上界，可以借助幾何畫板模擬一下.將幾何畫板的精度設(shè)置為最高.

六、把握高考新動(dòng)向，科學(xué)備考

(Ⅰ)從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；

(Ⅱ)(ⅰ)若從游客中隨機(jī)抽取m人，記總分恰為m分的概率為Am，求數(shù)列{Am}的前10項(xiàng)和；

(ⅱ)在對(duì)所有游客進(jìn)行隨機(jī)問(wèn)卷調(diào)查過(guò)程中，記已調(diào)查過(guò)的累計(jì)得分恰為n分的概率為Bn，探討B(tài)n與Bn-1之間的關(guān)系，并求數(shù)列{Bn}的通項(xiàng)公式.

背景：本題根據(jù)2019-2020學(xué)年度武漢市部分學(xué)校新高三起點(diǎn)質(zhì)量檢測(cè)第21題改編.改編的目的是為了在試題中加入家國(guó)情懷知識(shí)，讓學(xué)生對(duì)家鄉(xiāng)更了解，也是思政教育的一種滲透.

反思：本題第二問(wèn)的第二小問(wèn)，全級(jí)理科928名考生無(wú)人做出.可以看出本題是根據(jù)2019年高考全國(guó)卷Ⅰ概率與統(tǒng)計(jì)題改編設(shè)計(jì)，屬于概率與數(shù)列結(jié)合題目，比較新穎.

結(jié)束語(yǔ)：學(xué)生會(huì)提出問(wèn)題，說(shuō)明他們?cè)谒伎迹瑹o(wú)論對(duì)與錯(cuò)，都反映他們對(duì)知識(shí)的一種理解，教師要做的，就是把這些“火花”變成燎原之勢(shì)，那將迸發(fā)無(wú)限的希望.同時(shí)，教師要關(guān)注高考新動(dòng)向，及時(shí)把握時(shí)代的步伐，注意命題的動(dòng)向，科學(xué)高效備考，為學(xué)生指明高考復(fù)習(xí)備考的方向.