導(dǎo)數(shù)壓軸題常用方法揭秘

福建 林進(jìn)偉

(作者單位:福建省惠安第一中學(xué))

導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，是高考的重點(diǎn)與難點(diǎn)，在高考中常作為壓軸題出現(xiàn).由于它對(duì)思維能力要求高及解題方法靈活、難度大等特點(diǎn)，拿下導(dǎo)數(shù)壓軸題是取得高分的關(guān)鍵，也是一道難以邁過(guò)去的坎.本文就導(dǎo)數(shù)壓軸題中常見(jiàn)的解題策略及技巧進(jìn)行系統(tǒng)的梳理和揭秘.

【典型題例】

【思路探析】

本題是含參的函數(shù)不等式求參數(shù)范圍的問(wèn)題，解決這類(lèi)題目的常規(guī)思路是分參.但此題不易分參，而且直接求導(dǎo)后，導(dǎo)函數(shù)又含有l(wèi)nx,ex這兩個(gè)部分，這就給導(dǎo)函數(shù)正負(fù)的判斷帶來(lái)了很大的困難.為此，我們采用“對(duì)數(shù)單身狗，指數(shù)找基友”的策略先進(jìn)行等價(jià)變形.

【詳解示范】

問(wèn)題等價(jià)于ax+xe-ax-lnx-1≥0恒成立，令f(x)=ax+xe-ax-lnx-1，則f(x)≥0恒成立.

(ⅰ)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=x-lnx-1≥0恒成立，所以a=0滿足條件；

又t(1)=ea-1<0，即t(x)在[n,1)中有唯一解x0且eax0=x0.

故只需ymin=f(x0)=ax0+x0e-ax0-lnx0-1≥0，

由eax0=x0，可得x0e-ax0=1,lneax0=ax0=lnx0，即f(x0)=0，

所以a<0滿足條件；

又因?yàn)閒(xi)=axi+xie-axi-lnxi-1=0(i=1,2)，

綜上，a∈R.

【解后反思】

(3)解題過(guò)程中，利用零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的存在，用到了取點(diǎn)的方法，但也可以直接用極限判斷圖象的變化趨勢(shì)來(lái)說(shuō)明，同時(shí)a=0與a<0可以合在一起討論.

(4)解題過(guò)程中，單調(diào)性與最值的確定還用到“隱零點(diǎn)的代換”技巧.即隱零點(diǎn)的處理一般用整體轉(zhuǎn)化、換元或者代換(把復(fù)雜部分如指、對(duì)數(shù)或高次部分換成較簡(jiǎn)單的式子).

【問(wèn)題】

【策略1】由于在式子結(jié)構(gòu)中，與a有關(guān)的部分比較簡(jiǎn)單，于是就視a為主元.

【策略2】利用ex≥x+1放縮法.

問(wèn)題等價(jià)于證明:ax+xe-ax-lnx-1≥0.

由于ax+xe-ax-lnx-1=ax+elnx-ax-lnx-1≥ax+lnx-ax+1-lnx-1=0，

所以原不等式得證.

【反思】由于所證不等式與a相關(guān)的部分比較簡(jiǎn)單，因此策略1采用“視a為主元”的解題策略，可以達(dá)到事半功倍的效果.而“放縮法”是基于把指、對(duì)數(shù)放縮成冪函數(shù)，從而降低求導(dǎo)之后判斷正負(fù)的難度的一種策略，既揭示了命題的意圖，又體現(xiàn)了問(wèn)題的本質(zhì)，但不易想到.

通過(guò)上述典例及問(wèn)題的探究，基本覆蓋了解決導(dǎo)數(shù)壓軸題中常用的策略與技巧，如指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的處理、主元思想、放縮法、隱零點(diǎn)代換等.通過(guò)詳細(xì)地分析與反思，可知其然而且知其所以然.下面再通過(guò)幾道高考真題來(lái)進(jìn)一步熟悉與鞏固這些常用的策略與技巧.

【高考真題】

1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ文·21)設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx.

(Ⅰ)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

【策略1】隱零點(diǎn)換元.

(Ⅰ)略；

又∵a=2x0e2x0，即證:e2x0-2x0e2x0lnx0≥4x0e2x0-2x0e2x0(lnx0+2x0)，

【策略2】視a為主元.

∴當(dāng)x∈(0,2ex)時(shí)，g′(a)<0；當(dāng)x∈(2ex,+∞)時(shí)，g′(a)>0，

即gmin(a)=g(2ex)=e2x-2exlnx-4ex+2exln(ex)=e2x-2ex，

然后求導(dǎo)，易證上式大于或等于0.

【評(píng)注】所證不等式與a相關(guān)的部分比較簡(jiǎn)單，采用視a為主元的策略，最后求導(dǎo)之后極值點(diǎn)也可以表示出來(lái)，降低了難度.

【策略3】放縮法.

利用ex≥ex可得f(x)≥2ex-alnx，

【評(píng)注】所給函數(shù)是含指、對(duì)數(shù)的混合式，考慮采用放縮法.

(Ⅰ)求a,b的值；

∴a=b=1.

綜上可得，k∈(-∞,0].

【評(píng)注】第(Ⅱ)問(wèn)如果直接求導(dǎo)，相當(dāng)麻煩.由于不等式含有l(wèi)nx，于是采用“對(duì)數(shù)單身狗”來(lái)簡(jiǎn)化導(dǎo)函數(shù).

∵當(dāng)x∈(-∞,-2)∪(-2,+∞)時(shí)，f′(x)>0，

∴f(x)在(-∞,-2)和(-2,+∞)上單調(diào)遞增，

由(Ⅰ)知，f(x)+a單調(diào)遞增，對(duì)任意的a∈[0,1)，f(0)+a=a-1<0，

f(2)+a=a≥0，因此，存在唯一xa∈(0,2]，使得f(xa)+a=0，即g′(xa)=0，

當(dāng)0

當(dāng)x>xa時(shí)，f(x)+a>0，g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

因此g(x)在x=xa處取得最小值，最小值

【評(píng)注】該題第二問(wèn)關(guān)鍵之處在于對(duì)g(x)求導(dǎo)之后的變型:除了轉(zhuǎn)化為f(x)之外，還體現(xiàn)了“指數(shù)找基友”的策略.

(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性；

(ⅰ)若a≤2，則f′(x)≤0，當(dāng)且僅當(dāng)a=2，x=1時(shí)f′(x)=0，

所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，當(dāng)且僅當(dāng)a>2時(shí)，f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn).

由于f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2滿足x2-ax+1=0，所以x1x2=1，不妨設(shè)0

【評(píng)注】該題第(Ⅱ)問(wèn)是隱零點(diǎn)的處理，這里利用韋達(dá)定理，找到兩個(gè)極值點(diǎn)x1與x2的聯(lián)系，再利用x1x2=1換元，變成單變量的恒成立問(wèn)題.