數(shù)形結(jié)合思想方法應用舉例

陜西 侯有岐

數(shù)形結(jié)合思想是最重要的數(shù)學思想之一，“數(shù)”和“形”是對同一個事件描述的兩種不同的形式，兩者相輔相成，各有優(yōu)點，但其反應的本質(zhì)相同.本文主要對“形”的認識展開探討.在實際教學過程中發(fā)現(xiàn)，學生對“形”的了解很多時候僅停留在表面的認識，但只要認真分析，問題就很容易解決.

一、考點回顧

在近幾年的高考試題中，觀數(shù)思形、利用數(shù)形結(jié)合思想解題是高考數(shù)學中解決部分函數(shù)選填壓軸題時常用的解題技巧之一，這也是數(shù)形結(jié)合思想的最基本應用.對于某些函數(shù)最值問題，有時候通過求導數(shù)、判斷函數(shù)單調(diào)性的處理策略而無力解決時，我們不妨觀數(shù)思形，從圖象的角度來思考分析，可以通過觀察函數(shù)圖象，給待求式賦予一定的幾何意義，從而解決問題.本文通過實例，展示觀數(shù)思形、巧妙轉(zhuǎn)化，利用數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想快速找到解題思路，從而順利解決函數(shù)最值問題.

二、典例剖析

【例1】已知關于x的函數(shù)y=(x-a)2+(ex-a+1)2(a∈R)的最小值為m(a)，求m(a)的最小值.

思路分析：此題并非常規(guī)函數(shù)類型，初步想法是可以通過求導數(shù)，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，以此求出函數(shù)的最小值.對函數(shù)求導得y′=2x-2a+2e2x-2(a-1)ex，我們發(fā)現(xiàn)在求解y′=0時，遇到非常大的困難，這樣函數(shù)的單調(diào)性就無法判斷，不得不終止這種想法.那么，換個角度思考，還有其他的解法嗎？仔細觀察函數(shù)的表達式之后，可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)表達式是由兩個完全平方式構(gòu)成，自然聯(lián)想到平面上兩點之間的距離公式，于是可以嘗試一下將問題轉(zhuǎn)化成求P(x,ex),Q(a,a-1)兩點之間的最短距離的平方.

解法一：不妨設P(x,ex),Q(a,a-1)，則y=|PQ|2，且點P(x,ex)為函數(shù)y=ex圖象上的一個動點，點Q(a,a-1)為直線y=x-1上的一個動點，如圖所示，那么PQ何時最短呢？

可以將直線y=x-1向曲線y=ex方向平移，直至與曲線y=ex相切，則切點即為點P，過點P作直線y=x-1的垂線段，垂足為Q，此時PQ最短，如圖所示.

( )

C.e D.3

解法一：不妨設P(a,b),Q(c,d)，則(a-c)2+(b-d)2=|PQ|2，且點P(a,b)為函數(shù)y=x2-lnx圖象上的一個動點，點Q(c,d)為直線y=x-2上的一個動點，將直線y=x-2向曲線y=x2-lnx方向平移，直至與曲線y=x2-lnx相切，取切點為P，過點P作直線y=x-2的垂線段，垂足為Q，此時PQ最小，如圖所示.

通過上述分析，當x=1時，y2=x2-x-lnx+2取得最小值且最小值為2.

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所以m的最大值為2，故選A.

【例3】在直角坐標平面內(nèi),與點A(1,2)的距離為1,且與點B(3,1)的距離為2的直線共有( )條.

A.1 B.2

C.3 D.4

思路分析：本題若直接求解,將無從下手,若將數(shù)的問題輔以形的意義,就能利用圓的定義畫出分別以A(1,2)，B(3,1)為圓心，以1，2為半徑的兩個圓,然后再根據(jù)兩圓的位置關系,把問題轉(zhuǎn)化為求兩圓的公切線的條數(shù).

因為兩圓圓心距

所以圓A與圓B相交,所以公切線有2條.

所以符合題意的直線共有2條,故選B.

評注：本題若直接求解比較困難，但若觀數(shù)思形，將數(shù)的問題輔以形的意義，就有事半功倍的效果，其實這樣的方法在高考題中屢見不鮮，要引起高度重視.

【例4】豎立在地面上的兩根旗桿的高分別為10米和15米，相距20米，則地面上到兩根旗桿頂點的仰角相等的點P的軌跡是

( )

A.圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線

思路分析：要求動點P的軌跡,由于P點在地面上,因而只要將動點P所受的空間限制條件轉(zhuǎn)化為動點P在平面上的限制條件,再由相關知識即可求出.

三、精題集萃

1.已知函數(shù)f(x)=2lnx和直線l:2x-y+6=0，若點P是函數(shù)f(x)圖象上的一點，則點P到直線l的距離的最小值為________.

四、總結(jié)反思

數(shù)形結(jié)合思想是我們平時做題時最常用的思想方法之一，數(shù)的抽象可以通過形的直觀來理解，數(shù)形結(jié)合就是實現(xiàn)代數(shù)與幾何之間的相互轉(zhuǎn)化，具體應用表現(xiàn)在以下兩個方面：

1.通過坐標系、圖象等，“形”題“數(shù)”解

借助于直角坐標系可以將圖形問題代數(shù)化，這一方法在解析幾何和立體幾何中體現(xiàn)的相當充分.常與以下內(nèi)容聯(lián)系：①實數(shù)與數(shù)軸上點的對應關系；②函數(shù)與圖象的對應關系；③曲線與方程的對應關系；④以幾何元素和幾何條件為背景，建立起來的概念，如向量、三角函數(shù)等；⑤以函數(shù)圖象為載體，解決有關函數(shù)最值問題等.

2.通過轉(zhuǎn)化構(gòu)造，“數(shù)”題“形”解

在解題過程中，有許多代數(shù)結(jié)構(gòu)有著明顯的幾何意義，因此，可以將“數(shù)”與“形”進行巧妙地轉(zhuǎn)化靈活解題，如本文所舉的例題.另外，函數(shù)的圖象也是實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的有效工具之一，函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想經(jīng)常結(jié)合起來應用于解題.

五、高考預測

從目前高考“注重通法，淡化特技，培養(yǎng)素養(yǎng)”的命題原則來看，高考對數(shù)形結(jié)合的考查主要體現(xiàn)下面三個方面：

一是利用數(shù)形結(jié)合直觀、簡捷地解答選擇題、填空題.

二是利用數(shù)形結(jié)合求解解答題，特別是向量法、坐標法在立體幾何、解析幾何中的應用及函數(shù)圖象在函數(shù)與導數(shù)綜合問題中的應用.

三是以圖表為載體，考查讀圖、識圖及信息轉(zhuǎn)換能力.這種問題在選擇、填空題中有增加題量的趨勢.

數(shù)形結(jié)合思想，其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關鍵是代數(shù)問題與圖象之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化、幾何問題代數(shù)化.

六、參考答案