知識(shí)定位促抓本質(zhì) 整體把握助提素養(yǎng)
——以“平面向量雙參最值問(wèn)題”為例

廣東 薛新建

著名數(shù)學(xué)家華羅庚用“由薄到厚”和“由厚到薄”兩個(gè)基本過(guò)程，形象地解釋了知識(shí)框架和解題訓(xùn)練之間的辯證關(guān)系.“由薄到厚”是學(xué)習(xí)接受、加強(qiáng)積累、構(gòu)建知識(shí)框架、奠實(shí)“四基”的過(guò)程；“由厚到薄”則是消化提煉、探索本質(zhì)、回歸知識(shí)框架、提升“四能”的過(guò)程.波利亞在《怎樣解題》中把解題的第一步制定為“弄清問(wèn)題”，即對(duì)問(wèn)題產(chǎn)生的知識(shí)背景進(jìn)行精準(zhǔn)定位,用知識(shí)框架的整體視角看待問(wèn)題，再對(duì)題目的條件和設(shè)問(wèn)，從不同角度關(guān)聯(lián)運(yùn)用相關(guān)知識(shí)，進(jìn)行有目標(biāo)的轉(zhuǎn)化.于濤老師認(rèn)為，解題的核心就是知識(shí)的聯(lián)系與模型的識(shí)別.正確的解題訓(xùn)練可以發(fā)掘知識(shí)之間隱含的關(guān)聯(lián)性，使知識(shí)框架進(jìn)一步強(qiáng)化和完善，并提高數(shù)學(xué)模型的適用性.解題的出發(fā)點(diǎn)和落腳點(diǎn)回歸知識(shí)本身，才能引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，符合《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版2020年修訂)》(下稱“新課標(biāo)”)的基本理念.

下面就以平面向量“雙參最值問(wèn)題”為例，對(duì)高三解題訓(xùn)練的高效模式進(jìn)行探究.

一、典例引入，定位剖析

這是一道經(jīng)典的向量高考原題，2017年全國(guó)卷Ⅲ還將相同問(wèn)題以圓的形態(tài)再次考查.平面向量作為高中數(shù)學(xué)重要的工具性內(nèi)容，兼具數(shù)形兩種形態(tài)，與其他章節(jié)例如三角函數(shù)、解析幾何、立體幾何、參數(shù)方程等知識(shí)都有交匯，是高考考查的熱門考點(diǎn).本題以極具數(shù)學(xué)之美的幾何圖形扇形作為背景，以簡(jiǎn)潔精煉的向量符號(hào)形式給出條件，形數(shù)兼?zhèn)洌忠龆瘮?shù)最值問(wèn)題，借以考查函數(shù)思想.題目涉及向量知識(shí)模塊如相等向量、向量運(yùn)算、向量坐標(biāo)等基礎(chǔ)知識(shí)，和其他知識(shí)模塊如基本不等式、線性規(guī)劃、解三角形等初等知識(shí)，并可引申出拉格朗日乘數(shù)法等高等知識(shí)，豐富的知識(shí)面跨度，給不同層次的學(xué)生提供了足夠的發(fā)揮空間.題目體現(xiàn)的消元、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想和方法，以及考查的邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象等諸多核心素養(yǎng)，都具有極高的推廣和研究?jī)r(jià)值.

定位1【向量運(yùn)算】條件是向量表達(dá)式，問(wèn)題是兩個(gè)實(shí)數(shù)和的形式，回顧向量知識(shí)框架中，哪一部分可以實(shí)現(xiàn)向量向?qū)崝?shù)的轉(zhuǎn)化？不難想到向量的運(yùn)算中，求數(shù)量積或者求模(平方)，都可以將向量關(guān)系實(shí)數(shù)化，為本題提供突破思路.

定位1.1【向量求數(shù)量積】如圖，設(shè)∠AOC=α，則

至此完成向量關(guān)系實(shí)數(shù)化，由于α的引入，得到的x和y的關(guān)系屬間接關(guān)系，即參數(shù)方程關(guān)系，只需通過(guò)消元將二元函數(shù)最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值問(wèn)題即可解決問(wèn)題.

定位2【二元函數(shù)最值問(wèn)題】從函數(shù)知識(shí)模塊中提取出如圖所示的解決二元函數(shù)最值問(wèn)題的基本方法框架，由于題中x，y的等量關(guān)系消元和畫圖比較困難，本題優(yōu)先選用基本不等式進(jìn)行計(jì)算.

定位2.3【拉格朗日乘數(shù)法】高等數(shù)學(xué)里的拉格朗日乘數(shù)法能夠把約束優(yōu)化問(wèn)題很好地轉(zhuǎn)化為無(wú)約束優(yōu)化問(wèn)題，這里可以根據(jù)學(xué)生基礎(chǔ)加以引申，也可以點(diǎn)到為止為學(xué)生將來(lái)進(jìn)入大學(xué)學(xué)習(xí)高數(shù)預(yù)留伏筆.

定位3【相等向量的概念】條件中的向量表達(dá)式可以看作一個(gè)向量的等量關(guān)系，“相等向量”從屬于向量的基本概念知識(shí)板塊，其具有幾何和代數(shù)(坐標(biāo)法)兩種基本形態(tài)，能不能從中找到系數(shù)間的等量關(guān)系呢？利用代數(shù)(坐標(biāo)法) 形態(tài)可以達(dá)到這個(gè)目的.

定位3.1【相等向量的坐標(biāo)形式】如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA為x軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，

② 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，則a±b=(x1±x2,y1±y2)；λa=(λx1,λy1)；a//b?x1y2-x2y1=0；

斜坐標(biāo)系是對(duì)直角坐標(biāo)系進(jìn)一步的推廣，由于建系要求低而具有廣泛的適用性.在斜坐標(biāo)系下向量表達(dá)式坐標(biāo)化后實(shí)現(xiàn)實(shí)數(shù)化的目標(biāo)，思路清晰、計(jì)算簡(jiǎn)潔，再借助線性規(guī)劃的思想方法解決最優(yōu)問(wèn)題，在平面向量雙參最值問(wèn)題與一般的二元函數(shù)最值問(wèn)題間搭起了一座新的橋梁.實(shí)際上，斜坐標(biāo)系可以方便地解決兩個(gè)實(shí)系數(shù)x,y任意線性組合的最值問(wèn)題，只需要根據(jù)題目調(diào)整一下基底即可.

二、形成框架，提升思維

通過(guò)前述思考我們發(fā)現(xiàn)，平面向量雙參最值問(wèn)題可以定位到平面向量知識(shí)模塊中的“向量運(yùn)算”、“相等向量”和“坐標(biāo)定義”三個(gè)小的知識(shí)點(diǎn).“向量運(yùn)算”中的“數(shù)量積”以及“模”的計(jì)算，都可以實(shí)現(xiàn)向量關(guān)系實(shí)數(shù)化，從而將平面向量雙參最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二元函數(shù)最值問(wèn)題，二元函數(shù)最值問(wèn)題從屬于函數(shù)知識(shí)模塊，具有自身的一套解決體系，因此后續(xù)思路按照二元函數(shù)最值問(wèn)題的方法框架就可以推進(jìn)下去；“相等向量”概念的代數(shù)形式(坐標(biāo)化)則把題目條件導(dǎo)向二元函數(shù)最值問(wèn)題的下一步，即“探尋二元等量關(guān)系”；“坐標(biāo)定義”的問(wèn)題定位引發(fā)我們對(duì)斜坐標(biāo)系的引入，使得問(wèn)題直接轉(zhuǎn)入廣義規(guī)劃解決問(wèn)題，這符合二元函數(shù)求最值問(wèn)題下屬的一種具體情況.通過(guò)上述思考，我們將平面向量雙參最值問(wèn)題在向量和函數(shù)兩個(gè)知識(shí)模塊之間做如下架構(gòu).

三、推而廣之，反思教學(xué)

上述對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索模式在高三復(fù)習(xí)中具有很大的推廣價(jià)值，具體說(shuō)來(lái)有如下實(shí)際意義：

將問(wèn)題在知識(shí)框架中定位可以促進(jìn)學(xué)習(xí)者看清其數(shù)學(xué)本質(zhì).數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，問(wèn)題的解法多種多樣，如果教師只是就題論題或者就題論法，必然會(huì)陷入無(wú)限題海，失去方向.如果學(xué)習(xí)的過(guò)程中能夠?qū)?wèn)題回歸知識(shí)框架，以有限的知識(shí)框架去界定無(wú)限的問(wèn)題類型，就可以從不同的視角對(duì)問(wèn)題進(jìn)行剖析，最終看清問(wèn)題的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的“歸一”.

用知識(shí)框架統(tǒng)領(lǐng)解題訓(xùn)練，學(xué)習(xí)者才會(huì)有思維的提升.知識(shí)框架具有系統(tǒng)性、遠(yuǎn)見(jiàn)性和可發(fā)展性，將平時(shí)的解題訓(xùn)練建立在知識(shí)框架之上，學(xué)習(xí)者才能理解巧妙思路的來(lái)源，激發(fā)尋找更多思路的靈感，實(shí)現(xiàn)思路之間的優(yōu)劣比較從而實(shí)現(xiàn)思維的提升，進(jìn)而對(duì)知識(shí)框架進(jìn)行完善和重構(gòu)，使知識(shí)框架得以補(bǔ)充和發(fā)展.而忽略知識(shí)框架，片面追求兵來(lái)將擋水來(lái)土掩式的解題訓(xùn)練，則會(huì)把知識(shí)碎片化，即使短期內(nèi)頗具效果，從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，會(huì)把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變成機(jī)械教條的死記硬背，學(xué)習(xí)者缺乏思維的訓(xùn)練和提升，感受不到數(shù)學(xué)的美感和成就感，漸漸也會(huì)失去學(xué)習(xí)的興趣.