由一道拋物線最值問題引起的探究與思考

安徽 洪汪寶

本題是筆者所在學校2020屆高三第一次模擬考試的第16題，處于填空題壓軸的位置，是一道典型的最值問題.主要考查直線與拋物線的位置關系、平面向量的數量積、點到直線的距離公式等多個知識點，考查數形結合思想、函數與方程思想、化歸與轉化思想等多種數學思想方法.要求學生具備扎實的運算求解能力以及分析問題和解決問題的能力.

本題滿分5分，但筆者所在班級(理科班)的均分只有1.56分，難度系數為0.312，與預期有差距.因為本題題干簡潔，題意清楚，目標明確，起點比較低，大部分學生都可以動筆計算，但深入較難，對學生的能力要求逐漸提升，在試題分析過程中，不少學生也反映沒有發現直線AB過定點導致計算進行不下去.下面給出本題的求解過程，對其解法進行探究，并在此基礎上將問題一般化，進行拓展探究，發現圓錐曲線中一系列的結論.

1.解法探究

1.1先證直線AB過定點

讀完題，弄清題意，聯想到一道課本中的習題：

由人民教育出版社出版的A版高中數學教科書選修2-1第73頁習題2.4A組第6題(圖略)：直線y=x-2與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，求證：OA⊥OB.

本題的逆命題可表達為：不過原點O的直線l與拋物線y2=2x相交于A,B兩點，若OA⊥OB，則直線l過定點(2,0).經過驗證該命題也是真命題，在此基礎上，還可以得到一般的結論：

結論1：直線l與拋物線C:y2=2px(p>0)交于異于原點O的兩點A,B，OA⊥OB?直線l過定點(2p,0).

如果知道上述結論，我們必然想到本題中的直線AB是否過定點呢？下面完成其推導過程.

根據條件可設AB:x=my+n，A(x1,y1),B(x2,y2)，

(y1+1)(y2+1)[(y1-1)(y2-1)+1]=0，

因為(y1+1)(y2+1)≠0，則(y1-1)(y2-1)+1=0，

展開整理得y1y2-(y1+y2)+2=0.(*)

1.2求點到直線距離的最大值

兩邊平方，并整理得到關于m的方程(d2-4)m2+4m+d2-1=0，方程有實根.

當d>0且d≠2時，其判別式Δ=16-4(d2-4)(d2-1)≥0，

解法3：同解法2

點評：解決平面解析幾何的最值問題通常有兩種策略：一種利用幾何性質，另一種利用代數方法.解法1直接利用幾何性質，簡單快捷；解法2、解法3與解法4都是先利用點到直線的距離公式求出距離的函數表達式，在此基礎上轉化為求函數的最值問題.解法2利用了判別式，解法3利用了均值不等式，解法4利用了柯西不等式.相比較而言，本題利用幾何性質求最值效果更好.

2.結論探究

由上面的求解過程，特別是求證直線過定點的過程，將問題一般化，于是得到下面的結論：

結論2：已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(x0,y0)，直線l與拋物線C交于異于點M的兩點A,B，若MA⊥MB，則直線l過定點(x0+2p,-y0).

證明：設AB:x=my+n，A(x1,y1),B(x2,y2)，

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)

因為(y1-y0)(y2-y0)≠0，則(y1+y0)(y2+y0)+4p2=0，

根據韋達定理得y1+y2=2pm,y1y2=-2pn，代入(1)，得my0-n+x0+2p=0，

所以直線AB過定點P(x0+2p,-y0).

那么其逆命題成立嗎？很容易得到以下結論：

結論3：已知拋物線C:y2=2px(p>0)上一點M(x0,y0)，過定點(x0+2p,-y0)的直線l與拋物線C交于異于點M的兩點A,B，則MA⊥MB.

拋物線有這種性質，那么橢圓呢？先從特殊情況出發，得到：

將點M的位置一般化，于是得到：

不妨設直線l:y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，

展開整理得(k2+1)x1x2+(km-kt-s)(x1+x2)+m2+s2+t2-2mt=0，

將(2)代入上式，

得(k2+1)(a2m2-a2b2)+(km-kt-s)(-2a2km)+(m2+s2+t2-2mt)(a2k2+b2)=0，

展開整理得(a2-b2)s2k2+2a2skm+(a2+b2)m2-2b2tm+(b2-a2)t2=0，

對其因式分解得(sk+m-t)[(a2-b2)sk+(a2+b2)m+(a2-b2)t]=0，

因為直線l不過定點(s,t)，則sk+m-t≠0，

于是(a2-b2)sk+(a2+b2)m+(a2-b2)t=0，

研究完橢圓，雙曲線是否有類似的性質呢？于是得到：

不妨設直線l:y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，

將(3)代入上式，

得(k2+1)(-a2m2-a2b2)+2a2km(km-kt-s)+(m2+s2+t2-2mt)(b2-a2k2)=0，

展開整理得(a2+b2)s2k2+2a2skm+(a2-b2)m2+2b2tm-(b2+a2)t2=0，對其因式分解得(sk+m-t)[(a2+b2)sk+(a2-b2)m+(a2+b2)t]=0，

因直線l不過定點(s,t)，則sk+m-t≠0，

于是(a2+b2)sk+(a2-b2)m+(a2+b2)t=0，

3.教學反思

高三學生的復習時間緊、任務重、壓力大，如何提高每節課的復習效率是每一位高三教師必須面臨和思考的問題，筆者認為要努力做到以下幾點：

3.1重視教材中的例題、習題

高考命題立足于教材，不少試題直接來源于教材中的例題和習題，但不少師生并不重視教材的再利用，把教材丟到一邊，都是以復習用書為主，先簡單回顧知識點，接著就是講解試題和練習.長此以往，學生必然對復習失去新鮮感，導致復習效率不高.高三的復習過程中，教材中的典型例題、習題，實際上就是“題根”，教師要充分挖掘其隱含的應用價值，引導學生回歸教材，讓學生體會到“書中自有黃金屋”.

3.2引導學生學會制定解決問題的路線圖

本題的求解主要分兩步，先根據數量積為0得到直線過定點的結論，再利用幾何法或代數法求距離的最大值.其中第一步求得直線過定點是關鍵，在求解過程中注意聯想特殊情況，即結論1，再進行類比，將數量積坐標化，得到直線過定點的結論.所以在遇見復雜問題時，要引導學生學會將其轉化為簡單問題，制定解決問題的路線圖.從簡單問題出發，相當于從“低處”著手，從“易處”著手，從“小處”著手，這樣一來，試題起點就比較低，難度就不大，考查的知識點也較少，學生就能解決，讓學生體會到成功的愉悅，增加學習的信心.教師在此基礎上再開展變式教學，一題多變，一題多解，多題一解，引深引難，立意越來越高遠，試題難度逐漸加大，所運用的知識點和思想方法越來越多，題型越來越豐富，于“潤物無聲”中提高學生的思維能力，提升學生的核心素養，真正提高高三復習課的效率.

3.3試卷講評要有針對性