“算法化”理念下的高三數學解題教學探微

陜西 王鵬飛

沒有人懷疑解題對數學學習的重要作用，但常常困擾于以下現象：有些題目只要經教師稍作點撥，學生就能順利完成，但自己獨立思考時，便猶如架上困鷹；有些題目學生一看便胸有成竹，但落實時卻無法具體求解；有些涉及的基本運算問題頻頻出錯，低級失誤較多；課后作業正確率極高，可限時訓練解題速度較慢，導致在限定時間內無法完成解答；考場中不會的問題出了考場就豁然開朗，只能頓足捶胸、短嘆長吁；有些做過的、講評過的同類型問題屢錯難改，再錯率較高.諸如此類的現象，嚴重制約著高三復習備考效果和數學成績的提升.

以“算法化”理念審視此類現象，學生沒有學會解題導致解題流程無法執行是其主因.因此，要以“算法化”理念為指導，以教會學生解題為落腳點，充分展示解題思路和方法的發現過程，幫助學生總結歸納，深刻理解思想方法的內涵，逐步實現自我感悟、自覺分析、自主解題的目標.

一、“算法化”理念下的解題程序

波利亞在《怎樣解題》中指出解題過程應包括“弄清問題”、“擬定計劃”、“實現計劃”、“回顧反思”四個重要階段，這種程序化的解題系統說明了解題具有很強的操作性，也指明了解題教學設計的基本環節.羅增儒教授在《數學解題學引論》中也對科學解題的四個步驟：“理解題意(看題)—思路探求(想題)—書寫表達(寫題)—回顧反思(回題)”作了明確闡釋.在整個解題過程中，理解題意是成功解題的前提和基石；思路探求是在弄清問題、理清概念基礎上，總體把握題情進而獲解的關鍵所在；書寫表達是解題成果的顯現和算法步驟的規范要求；回顧反思是容易被忽視也是最重要的環節，通過回顧算法設計與重溫算法執行過程，可以梳理經脈、鞏固知識、發展能力、優化數學思維品質.

如果把解題看作是執行“看題—想題—寫題—回題”的一個算法程序，那么前一步正確的執行對下一步的執行至關重要.“算法化”理念，是數學學習的價值典范，是問題解決過程中有序思考、有效分析、成功解答的策略引領.“算法化”理念下的解題教學應該是學生展現自我思維的平臺，是學生借助教師供給的“梯子”拾級而上的思維躍升過程.

二、“算法化”理念下的解題教學策略

從算法化的視角分析中學數學內容，旨在溝通不同知識模塊之間的內在關聯性、和諧性，使學生看到新舊知識間的內在聯系，看到數學發展、成長之路的合理性.這曾經是法國布爾巴基學派的宏偉主張．在教學上，這種主張就是要針對學生“算法化”解題程序中遇到的問題，引導學生學會用類比遷移、引申推廣、歸納創新等思維方式進行有序地縱橫聯想，把新知識筑基于舊知識之上，找到認知的固著點，增強知識的可接受性．

1.重視知識與方法的整合重組

算法化理念下的數學復習，必須要有數學知識與思想的整體觀.在系統的學習中通過體驗感悟、認識內化等過程逐步形成相對穩定的思考、解決問題的思維方法和價值觀，這是數學教學的落腳點，也是以素養立意的新高考改革趨勢.所以,高考復習要站在系統的高度，用聯系的觀點把握知識，主動將有關知識進行必要的拆分、加工和重組，從注重知識點向探尋解題思路和方法上轉變,重視一題多解、多題歸一、一題多思.要通過知識的整合重組、問題的解決鞏固“四基”、提高“四能”，建構解題的方法體系，使復習走出“炒冷飯”的泥潭，激發學生的創造靈感與斗志，促使學生在知識、能力和素養方面產生質的飛躍.

2.重視思路探求方法的指導

數學解題過程往往需要不斷地轉換，由A想到B，由B再想到C……通過聯想，把兩個或多個命題按照一定的需要聯系在一起，就形成了一個認知結構——命題聯想系統.這種數學特有的認知結構具有顯性化、算法化的特點.怎樣在可操作性的有序聯想中建立已知與未知的聯系，找到解題的切入點？我們遵循以算法思想統領解決數學問題全過程的原則，以追根溯源、尋找解決問題的“知識源”(起點)為目標，指導學生大膽嘗試“四知”解題法：

這個思維框圖整體上反映了分析探究之路，“已知”和“未知”是分析探究的出發點，每個環節是一個展示數學思維的“鏈”.其中有兩個基本流程，其一是由已知聯想可知，再由可知繼續聯想新可知，……，逐步向未知靠攏.其思維方向是由因導果；其二是由未知尋求需知，再由需知繼續尋求新需知，……，逐步向已知靠攏.其思維方向是執果索因.當兩個互逆的分析探究過程在相應思維方向上得到有效推進，兩個思維線索最終得以有效“鏈接”時，已知與未知之間的橋梁搭建成功，問題承載的知識發生、發展的過程得到完整挖掘和呈現，此時便尋找到了解決問題的知識源(起點)，這便是問題解決的突破口.

思路探求是“算法化”解題程序的核心步驟，也是學生學會解題的難點.因此，我們將算法化思維提升到解題策略層面，堅持開展以關注學生表達、交流、共享等基本素養為目的而進行的“每日一題”的“說、講、思、評”四環節賞題活動，對引導學生掌握“四知”解題分析方法、提升學生的解題能力起到了積極作用.

3.舉一反三，重視一題多解研究

同一個問題從不同角度去分析，可得到多種解法，其原因是一種算法有多種實施途徑，是算法的具體化.通過一題多解的研究和訓練，不僅可以加深學生對問題實質的理解，對知識間的內在聯系融會貫通，也有助于開闊學生思路，增強思維靈活性，尋找解題的最佳途徑和方法.

案例1：口袋里裝有2個白球和2個黑球，這4個球除顏色外完全相同，4個人按順序依次從中摸出1個球.試計算第二個人摸到白球的概率.

算法：在古典概型中，求事件A的概率的算法步驟如下：

(1)計算隨機試驗的所有可能結果數n；

(2)計算事件A包含的可能結果數m；

一般來說，要建立概率模型時，把什么看作是一個基本事件(即一個試驗結果)是人為規定的.在建立古典概型過程中，學生從不同視角設計出了如下解法：

評析：算法的多視角實施，產生了同一算法的多種解法，這種算法指導下的一題多解研究，有利于提高學生對算法本質的理解和發散思維的培養.

4.舉三反一，重視多題歸一研究

對于解題算法化，陳永明教授提出了“要把隱性的解題經驗顯性化，算法化”．具體來講，就是選擇題目注重典型原則和層次原則，解題注重“歸一”原則，最終達到多題(解)歸一的目的.對于類似問題的分析，尋求共性，得到共同的本質規律，這是對具體解法的算法化提升．通過多題歸一的研究和訓練，不僅能有效地提升學生觀察、歸納、概括、創新的能力，而且有助于學生對問題的全面理解和本質把握．

案例2：試分析以下4題，說明其共同點.

(1)3名教師去某個年級的四個班去聽課，不同的聽課方法有多少種？

(2)4個代表隊參加3個項目比賽，獲得冠軍的方法有多少種？

(3)3封信投入4個信箱，有多少種不同的投遞方法？

(4)由1～4四個數字可以組成多少個三位數？

解析：4道題的共同點是都基于一個映射模型：設A={a1,a2,…,an},B={b1,b2,…,bm},則從A到B的不同映射f：A→B的個數是多少？其算法步驟如下：

(1)找a1的象，有m種方法；

(2)找a2的象，有m種方法；

……

(n)找an的象，有m種方法.

所以由乘法原理可得映射f：A→B的個數是mn.

評析：案例2屬于問題背景不同，但本質相同的變式題組，為多題歸一提供了可能.引導學生借助“質同形異”問題的自主研究，探尋“變化”中的“不變性”，理順知識間的縱橫聯系和轉化方法.找出處理這類問題的更高觀點或統一原理，是跳出“題海”、提高分析問題和解決問題能力的有效途徑.

5.一題多思，重視問題理性分析

荷蘭著名數學家弗賴登塔爾曾指出：“反思是數學思維活動的核心和動力.”有效的習題教學在于將“反思”融入解題各環節中，從挖掘出有價值的研究線索誘思探究.學生歷經“相識(宏觀把握)—相知(微觀理解)—相愛(見微知著)”的“一題多思”的理性分析，理清了問題的來龍去脈，對問題本質有了更深的感悟.

(1)求橢圓的標準方程；

(2)過點F2作互相垂直的兩直線AB，CD分別交橢圓于點A，B，C，D，且M，N分別是弦AB，CD的中點，求△MNF2面積的最大值.

思1：本題的求解思路是什么？

本題是直線與橢圓的位置關系問題，按照“四知”分析法不難找到其解題思路.(1)可用待定系數法求橢圓的標準方程；(2)由題意可合理引參設直線AB(或CD)方程，與橢圓方程聯立，利用設而不求和韋達定理的方程法求得點M(或N)的坐標，進而求得|MF2|，|NF2|，從而表示出Rt△MNF2面積的函數，再求得其最大值.

思2：本題的通法是什么？

曹才翰教授在《數學教育心理學》中曾這樣定義：“數學解題通法是解決一類問題時可以采用的共同方法.”顯然，通法是指一類問題的普通(通俗、一般)的解法,具有算法化特點.運用通法就是從概括出來的一般形式去考慮具體的問題，算法實施要自然、簡明、適用，適合學生的方法就是好方法.解析1中的解法也是學生在解題過程中的常見思路.

化簡得(m2+2)y2+2my-1=0,Δ=(2m)2+4(m2+2)=8m2+8>0，

思3：本題解法是否可以優化？

通法的發展性導致了通法的多樣性，從而產生了具有相對性的優化可能.表達直角頂點為定點F2的Rt△MNF2面積需要求出兩直角邊|MF2|、|NF2|，設置哪種直線形式更容易進行面積的求解？引導學生聯想直線的參數方程求解,得到如下解法.

得(1+sin2α)t2+2tcosα-1=0.假設t1，t2為方程兩根，

顯然解析2充分利用直線參數方程的幾何意義，簡化了|MF2|、|NF2|的計算，從而將面積表達式轉化成三角函數式，更易于求得最大值.

思4：本題是否可以引申？

在Rt△MNF2的變化過程中，可引導學生追問以下問題,為學生留下思考余地：

(1)點M、N的軌跡是什么？

(2)直線MN是否經過定點？

(3)不妨在橢圓4x2+8y2=1中，設F2是其右頂點，MF2⊥NF2，|yM-yN|是否有最大值？

評析：引導學生在“意猶未盡”中對命題背景的深入分析和多道工序的再“加工”，經歷由基本點、交匯點再到制高點的品味過程，學會多角度思考問題，看透問題本質，既能讓解題在反思中升華，又能提高學生的思維品質和學習興趣,對提升學生的數學素養大有裨益.

6.以錯誤辨析為著力點加強算法試誤

學生的成長總是伴隨著錯誤而行的.智者不僅能從自己的錯誤中不斷學習，而且能從別人的錯誤中得到啟迪.借助算法錯誤辨析，引導學生吸取教訓,自我總結,嘗試在錯誤中提高對錯誤的“免疫力”.

案例4：某機構對春節期間手機用戶利用手機“搶紅包”的情況進行調查，如果一天內搶紅包的總次數超過10次為“關注點高”，否則為“關注點低”，調查情況如表所示.

關注點高關注點低總計男性用戶x5女性用戶7y8總計1016

填寫表中x，y的值，現從上述男性用戶中隨機選出3名參加一項活動，以X表示選中的用戶中搶紅包總次數超過10次的人數，求隨機變量X的分布列及其數學期望E(X).

辨析：不難看出，解析2認定隨機變量X服從二項分布，“歪打正著”得到答案數據，選錯概型是致錯的本因.事實上，超幾何分布與二項分布有鮮明的區別和聯系.

兩者的隨機試驗、隨機變量X的含義、概率公式不同.二項分布是超幾何分布的極限分布.

評析：以“診治”錯誤為突破口，精心設計一些典型的極具迷惑性的錯誤辨析問題，引導學生經過反思、自省，最終獲取正確認識.這種建立在學生解題錯誤基礎上的思維推進，充分肯定其合理成分，使學生的學習能力和熱情伴隨著問題的解決而自然提升，能有效地提高學生的數學核心素養.

7.重視數學思想方法的感悟與提煉

數學思想與方法是數學知識的精髓，是形成良好認知結構的紐帶，是知識轉化為能力的橋梁.波利亞指出:“數學思想、方法比形式化的數學知識更具有普遍性，在學生未來的工作和生活中有更加廣泛的應用．”數學教學應該致力于追求數學思想方法的價值引領，要有意識地引導學生對數學思想方法的理解和興趣.唯有立意于思想，樹立用思想引領解題的意識，培養學生的創新精神和實踐能力，學生才會產生主動學習的動力和積極參與的愿望，才能提高課堂學習效率，真正培養和提升學生的數學核心素養.

數學思想方法的考查是對數學知識在更高層次上的抽象和概括(算法化)的考查.因此，數學思想方法的滲透要基于教材的挖掘與提煉，著眼于提升學生數學素養，把握好知識點與思想方法的聯系，采取分散與集中結合的形式，對函數與方程、數形結合、分類與整合、化歸與轉化、特殊與一般、統計與概率等常用的思想方法進行早滲透、早感悟，循序漸進，逐步提高學生應用數學思想方法解決問題的綜合能力.

三、“算法化”解題教學的感悟

1.聚焦核心素養，明確解題教學目標

《普通高中數學課程標準(2017年版)》明確指出，通過高中數學課程的學習，學生能獲得進一步學習以及未來發展所必需的數學基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗(簡稱“四基”)；提高從數學角度發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力(簡稱“四能”)；在學習數學和應用數學的過程中，發展數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析等數學學科核心素養.在提升學生的數學素養中，引導學生會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界(簡稱“三會”).

以素養為導向的高中數學教學，要創設合適的教學情境，啟發學生思考，引導學生把握數學的本質.對數學解題教學而言，不僅要把“題”作為研究對象，把“解”作為研究目標，而且要把“解題活動”作為對象，把“學會數學地思維”、促進“人的發展”作為目標，通過解題活動促進學生思維能力、實踐能力和創新意識的全面發展.

2.注重“問題解決”，回歸解題教學本質

高三復習必須站在能力培養和素養提升的高度，立足方法育人，發展學科思維，構建方法體系，逐步提高學生解題能力.特別要以“算法化”理念引導學生切實領悟有序思考、分析遞進、及時反饋的解題策略，回歸解題基本流程，夯實“教會學生解題”的教學本質.高考二輪復習要倒置思維順序，從“問題解決”的思維模式入手精心選材，力求使學生的思維模式更貼近高考.通過不斷地體驗與反思，探尋有效的學科思維方式方法，形成穩定的、持久的、可遷移的學科思維習慣.具備了這種素養，高考可以輕松應對，也具備了適應未來社會發展的關鍵能力.

3.關注學生需求，提高復習備考實效

(1)摸準學情，為學生的需要而教.要想學生之所想，切合學生困擾于沒有思路、計算錯誤、臨場發揮失常等實際，講在學生需要之地，講在學生期待之中，講在學生思維突破之處.學生用得最多、最好的方法，是最自然、最需要的方法，這應作為我們解題教學的起點.要從學生的實際出發，遵循學生的認知規律，夯實學生的自然解法.要引導學生變換視角看問題，拓展思維空間、提升思維能力.要處理好講與不講的關系.多講算法化觀點下的通性通法，切實滿足不同類型學生的需要.

(2)關注生成，為學生的思維而教.解題教學是由合理思維得出正確方法的過程，要讓學生知其然，更知其所以然.落實“用自己的思維學習數學”的教學主張，就是要通過自主活動、智力參與、個人體驗等形式引導學生主動參與教學，引發學生積極思考.通過問題解決，呈現知識背后的數學思維，加深學生對知識的理解.通過對知識間關系的思考，引導學生樹立整體觀，構建自己的知識與方法邏輯.要創造條件讓學生經歷思路探尋的過程，充分暴露其思維的薄弱環節，這才是方法來得自然的教學之道.

(3)提高素養，為專業成長而教.作為教師，要不斷加強高考研究，提高研題能力.教師有了應對各種解題困擾、滿足學生不同需求的解題研究能力，有了對學生課堂參與的足夠激勵和引導，有了傾聽學生心聲的博大胸懷，才能點燃學生的思維之火，數學課堂才會更精彩.