直觀想象核心素養在橢圓教學中的實施

陳超群

摘要：直觀想象是學生能借助圖形解題。培養學生直觀想象最常見的課堂途徑就是通過與函數圖像的數形結合。本文以橢圓的定義域標準方程建構為核心，依據教學目標和數學核心素養，根據學生的認知特點和心理發展規律，從直觀動手到圖形，轉化成數學語言，形成定義、方程推導、化簡方程、概念應用四個方面設計課堂，在問題解決的過程中，促進學生核心素養的形成和發展。

關鍵詞：直觀想象；抽象概括；數學核心素養

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1992-7711（2020）07-0145

深化課程改革，經專家研討、征詢、論證，提出了六大核心素養，即數學抽象、邏輯推理、數學建模、運算能力、直觀想象、數據分析。從大方面講，核心素養是深化基礎教育改革、落實素質教育目標的關鍵要素，是素質教育研究的再出發；從學科教育教學層面講，數學核心素養是保障數學學科育人的關鍵。直觀想象是體現學生數學核心素養的重要維度。

課堂教學中如何在數學核心素養視角下設計教學，提升學生的核心素養呢？筆者認為，課堂以數學知識的探究學習為載體，以激發學生學習的主動性，思考如何提升數學核心素養為需要。教師關注學生學習數學知識的形成和發展的過程、數學運算和推理過程、數學探究過程以及數學文化的滲透與培養，激發學生學習數學的熱情。本文以人教A版《數學》（選修2-1）“橢圓及其標準方程”（第一課時）的教學為例，以直觀想象核心素養為主，分享這節課的教學設計和思考。

一、研究課程目標，融入直觀想象

直觀是通過對客觀事物的直接接觸，而獲得感性認識的一種方式，是數學教師在教學中可借圖發揮，和學生一起觀察、分析問題的方式。需要通過后天的學習和教化才能形成的。

想象是人腦對已有表象進行加工改造而形成新形象的心理過程，是以表象為內容的特殊的思維活動。

“2017年版課標”第6頁：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，借助空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。主要包括：借助空間形式認識事物的位置關系、形態變化與運動規律；利用圖形描述、分析數學問題；建立形與數的聯系，建構數學問題的直觀模型，探索解決數學問題的思路。

“2017年版課標”第44頁：本節課的教學目標：經歷從具體情境中抽象出橢圓的過程；掌握橢圓的定義、標準方程。橢圓一定要掌握，用橢圓的研究思路去類比學習雙曲線、拋物線，提供研究模式和理論基礎。本節課是圓錐曲線的起始課，這節課是否掌握影響圓錐曲線整章的學習效果。

筆者分析圓錐曲線是學生學習《數學》（必修二）第二章直線與方程、第三章圓與方程后，學生初步掌握了研究解析幾何的方法，在直角坐標系中研究了直線和圓的幾何特征。運用代數的方法進一步認識圓錐曲線的性質。

教學目標：通過演示畫橢圓，抽象出橢圓的定義（數學抽象、直觀想象）；建系推導橢圓的標準方程，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法（數學運算、邏輯推理），并滲透數形結合和等價轉換的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力。運用橢圓的知識解題即例題分析（數學運算），課后學生寫橢圓的反思（數學文化）、撰寫小論文；用類比的方法學習雙曲線、拋物線。教學目標制定要研究教材的整體性，思考這節課在本單元中的地位和作用。關注學生，從學生的學情出發，可操作性、可測量。要融入核心素養、突出重點、難點。教學目標在教學活動中具有導向作用。筆者上橢圓前提前布置作業：先預習P38橢圓及其標準方程。同時，筆者在教室放四塊美術課用的畫板，準備好、鉛筆、白紙、繩子和圖釘，讓學生在校園內或生活中找橢圓、畫橢圓。并分小組做好記錄。

二、注重概念形成落實核心素養

史寧中教授說過：“數學知識的形成依賴于直觀，數學知識的確定依賴于推理。”也就是說，在大多數情況下，數學的結果是“看”出來的而不是“證”出來的。所謂“看”是一種自覺判斷，這種直覺判斷建立在長期的、有效能的觀察和思考的基礎上。一節有效的課堂厘清學生的最近發展區，讓學生喜歡數學課，積極參與課堂活動，落實以學生為主體的教學理念。在本節課的教學活動中，筆者以橢圓的定義為核心，依據教學目標及其標準方程為核心，依據教學目標及其蘊含的數學核心素養，根據學生的認知特點和心理發展規律，從形成定義、推導方程、化簡方程、概念應用四個方面設計問題，在解決過程中，促進學生核心素養的形成和發展。

1.動手直觀成曲線，推理想象成概念

首先交流周末作業。

交流一，找到的橢圓：鏡子、草坪、標語牌、圓柱、圓臺形的玻璃杯傾斜的液面等；想象的橢圓有行星運行的軌道，圓的直觀圖；電腦里找到很多橢圓的圖形。

交流二，畫橢圓，第一種：在畫板上，根據橢圓的定義畫的橢圓；第二種：電腦上用幾何畫板畫橢圓。

小結：生活中有很多橢圓的例子，我們要用數學的眼光去發現。圓柱形的玻璃杯的傾斜的液面，這個橢圓很好，當杯子平放時是一個圓，傾斜是一個橢圓。轉化為數學語言：一個圓柱面，平放時即用一個平行于底面的截面去截圓柱面，截得圓；用傾斜的面去截，截得橢圓。高考欣賞：（2008浙江理科第10題）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是（）

A.圓B.橢圓

C.一條直線D.兩條平行直線

點評：因為△ABP的面積為定值，所以點P的軌跡是圓柱面，又因為點P在平面α內運動，所以點P是橢圓。

教師：準備好一個茶葉罐，上蓋是傾斜的。我直接把（蓋子）斜面在紙上畫下來，展示是一橢圓。圓臺形的杯子，圓臺形的杯子所在的面延長，是一圓錐面。教師用PPT展示圓錐面，用一個垂直于圓錐軸的平面截圓錐，截口曲線是圓。那橢圓是怎么截得呢？

學生A：平面不垂直軸時是橢圓。

教師：一定嗎？馬上展示：當平面與圓錐母線平行時，得到截扣曲線是不封閉的，不是橢圓？當平面和圓錐對稱軸平行時，得到的截口曲線有上下兩支，也是不封閉的，它又是什么曲線呢？

學生B：他馬上翻書，后面是雙曲線，拋物線。也是本章學習的內容。

筆者：用一個不垂直于圓錐軸的平面截圓錐面，當截面與圓錐夾角不同時，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線、雙曲線。我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統稱為圓錐曲線。這就是這一章標題是圓錐曲線與方程的原因。

交流三，畫板上的橢圓交流，畫出的每個橢圓大小不一樣？筆者請其中一組交流。學生很快畫好橢圓。筆者用幾何畫板畫橢圓，讓學生感受橢圓的動態生成。兩定點為F1，F2。

教師：在畫橢圓時，哪些量是變的，哪些量是不變的？

小組長：繩子的長不變，兩定點F1，F2間距離||F1F2不變。

教師：繩子的長和兩定點F1，F2間的距離||F1F2有什么關系？

小組長：繩子的長大于兩定點F1，F2間的距離||F1F2。

教師：繩子長等于兩定點F1，F2的距離||F1F2，是什么軌跡？

小組長：就畫不出橢圓，線要多一點，這時軌跡是兩定點F1，F2之間的線段。

教師：繩子長小于兩定點F1，F2間的距離||F1F2，軌跡是什么？

小組長：沒有圖形，不可能。

教師：是的，軌跡不存在。從而和學生一起歸納得出橢圓的定義：平面內與兩定點F1，F2的距離等于常數（大于||F1F2）的點的軌跡叫做橢圓。

設計意圖：先從現實生活中找橢圓，畫板上動手畫橢圓，動態演示，真切感受橢圓的形成過程，學生由直觀形象抽象概括形成橢圓的定義。通過直觀感知、歸納推理和抽象概括等思維活動，提升學生直觀想象的核心素養。

2.建系設點，推導方程，落實數學運算核心素養

首先：建系設點

設計意圖：例1是利用橢圓的定義判斷點的軌跡是否為橢圓、求橢圓的標準方程。通過學生探索，使學生加深對橢圓概念的理解，理解橢圓標準方程中a，b，c的關系。學會用定義求橢圓的標準方程。通過例題講解，培養學生做圓錐曲線題的基本方法：建坐標系畫圖，培養學生直觀想象的核心素養，通過求解標準方程培養數學運算、數學抽象的核心素養。

三、直觀想象數學反思

1.課前準備思考

橢圓是圓錐曲線這一章的起始課，這節課是否聽懂，影響整章學習的興趣。筆者從學生的學情和學校的教學進度考慮，布置一個課外學生能完成的作業。讓學生用數學的眼光觀察生活，可以發現很多數學的模型。通過動手畫橢圓，幾何畫板展示，讓學生感知橢圓的形成，充分尊重學生的認知心理和認知規律，使一切教學活動服從于知識的合理延伸，服從于學生思維的步步深入，這樣做符合數學直觀想象、數學抽象的核心素養，更返璞歸真。

2.課中探究思考

先分析課前作業，動手畫橢圓、幾何畫板演示橢圓，創設知識性和趣味性的情境，激發學生的求知欲，讓學生找橢圓、畫橢圓的過程中，發揮學生學習的主動性和積極性。讓學生直觀感知橢圓的形成。通過不同的實物橢圓，抽象到數學中的模型，通過圓柱、圓臺的玻璃杯的液面，引出圓錐曲線的由來，學生理解了三種曲線都是不同平面從圓錐面上截得。凸顯本課的主題，符合學生的認知規律。

學生從橢圓的發現到橢圓的定義，過渡極為自然，學生易接受。為了激發學生學習數學的興趣，教師要巧設疑問，活躍課堂氛圍，凸顯學生的主體性，通過學生的自主分析和探究，加深對數學知識的理解和掌握，課堂提倡學生自主探究，教師應該成為課堂的組織者和引導者。

3.課后數學文化

筆者設計研究橢圓的方法，用類比的方法畫雙曲線。在畫板上畫，筆者用吸管代替拉鏈，學生可以畫出雙曲線。筆者用下面的習題，用幾何畫板畫橢圓，讓學生理解橢圓的畫法。（選修2-1課本第49頁第7題：圓O半徑為定長r，A是圓O內一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l和半徑OP相交于點Q，當點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？）課后學生自己畫一圓，可以按照題目折出橢圓，進一步激起學生學習橢圓的興趣。當點A在圓外時，點Q軌跡就是雙曲線。用類比的方法研究雙曲線。

拓展思考：傾斜蓋子的茶葉罐，筆者在罐子外貼一張紙，把曲線畫下來，有興趣的學生可以證明，是一正弦曲線，并寫成小論文。

四、結束語

教學中一定要精心備課，深入鉆研課程標準和教材，把握數學本質，根據學生的實際，以學生為主體，一定要充分利用一切可供想象的空間來教學，對教學的內容進行充分挖掘，利用有效的數學實驗培養學生的直觀想象力，促進學生從題目想到圖形，又從圖形解釋題目的過程。要創設合適的教學情境、提出合適的數學問題，周密考慮、精心安排學生活動，設計每一節課，將數學核心素養的提升目標落實到教學中。

參考文獻：

[1]史寧中.數學的抽象[J].東北師大學報（哲學社會科學版），2008（5）：169-181.

[2]孫宏安.談直觀想象[J].中學數學教學參考，2017（31）：2-5+33.

[3]倪樹平.數學核心素養視角下課堂教學設計之思考——以“橢圓及其標準方程”教學設計為例[J].數學通訊，2018（8）：23-27.

（作者單位：浙江省桐鄉第二中學314511）