教什么比怎么教更重要

余璟

摘要：《平均數》這一內容在《數學課程標準》關于相關課程目標的實施建議中，不同于以往作為應用題的“平均數”一類教學，而是以別具一格的課題以及其“作為一種統計量”這一全新的面貌出現。教師在教學中要以人為本，充分體現學生的主體地位，創新教學方法，將課堂變成學堂。

關鍵詞：平均數 ?概念 ?課堂教學

作為一種統計量，在小學中高年級課本里都會出現平均數、眾數、中位數，雖然現在教材已經將其刪除并且移到初中課本，但對我們一線老師來說，它們其實都是一組數據的代表，只是眾數和中位數相對來說不易受到極端數據的干擾，因而就顯得比較穩定，而平均數因受到所有數據的制約，更能反映一組數據的全貌，因而也就顯得敏感、易變。借鑒同行的教學經驗，筆者將智慧數學的理念體現在《平均數》的教學中，談談自己的一些思考。

一、概念為本，直指教學核心

平均數的統計學意義在于，它能描述一組數據的整體水平。在原始的統計數據中，有可能一個數和平均數相同，其他的數不一定和平均數相同，但是這些數據都有著千絲萬縷的聯系。教師在教學中對數據進行分析、比較，幫助學生理解什么是平均數，在概念形成的過程中，有效達成教學目標。

例如，在“平均數是什么”這一教學環節中，我設計了三組學生開展套圈比賽活動：第一組男女生人數相等，都是3人，每人套中的個數也相等，男生每人套中4個，女生每人套中5個;第二組男女生人數不等，每人套中的個數依然相等，男生3人，每人都套中6個，女生4人，每人都套中5個;第三組男女生人數不等，每人套中的個數也不相等，男生3人，分別套中7、9、5個，女生4人，分別套中10、4、7、3個。我讓學生觀察每一組數據的統計圖，問學生發現了什么，然后引導學生說出是男生投得準一些，還是女生投得準一些。這樣，學生從已有的知識經驗出發，通過三次活動比較，從“三對三個數相同”，到“三對四個數相同”，再到“三對四個數不同”的比較，學生在比較中體會知識的形成過程，把握比較的方法，有效促進課堂教學目標的達成。

二、方法比較，強化概念理解

計算平均數有兩種方法，一是“移多補少”，二是“先求和再均分”，雖然兩種方法都有各自的價值，但最終還是要求學生準確理解平均數的概念。在前面的教學中，教師通過動態演示“移多補少”，幫助學生在數據中找出平均數，加強了學生對平均數概念理解的同時，還提高了學生的探究能力，為學生對“平均分”的認識、理解打下了堅實的基礎。

如何讓學生真正理解平均數代表一組數據的整體水平，而不是平均分后某個單獨的個體所獲得的結果？在“怎樣求平均數”教學環節中，出示第三組女生的套圈成績統計圖。4位女生的成績（分別套中10、4、7、3個）各不相同，首先我讓學生思考：用數字幾表示女生套圈的一般水平？然后引導學生：女生平均每人套中了幾個？還有別的方法嗎？接著指出像這樣把套中的個數合起來，再把它平均分成4份也就是先合并再平分。追問：這里的“6”是指每個女生真的都套中了6個嗎？“6”能代表吳燕的套圈水平嗎？能代表劉曉娟、孫蕓的套圈水平嗎？那么“6”究竟代表哪個同學的套圈水平呢？通過討論，學生進一步明確了這里的“6”是什么。

三、厘清特性，深化概念內涵

平均數作為統計學中表達數據集中趨勢的統計量，在學生初步認識其意義后，還需要借助具體問題、具體數據創設情景活動，豐富學生對概念的理解，更重要的是為學生靈活解決有關平均數的問題提供有效的保障。為了讓學生更好地理解平均數的抽象性特點，在第三板塊的“怎樣求平均數”環節設計中，教師巧妙地將精巧數據的設計及適時追問融入其中。

課堂呈現：咱們再看一下第四組比賽情況。這次先出場的是五位女生，分別套中10、4、7、5、4個。你能算出第四組女生的平均成績嗎？

生動筆計算：10+4+7+5+4=30（個），30÷5=6（個）。

男生共四名選手上場，前三名選手成績分別是5、11、7，看到前三位選手的成績，你們會想到什么？從哪兒看出來的？憑直覺，男生是贏還是輸？為什么？最終男生平均套中的成績是幾個？第二個同學套中了11個， 為什么不說男生的平均成績為11？

師：第四位男同學套中1個，能說男生的平均成績是1個嗎？

強調：盡管沒有算出最終結果，但我們都可以斷定，最后的平均成績一定比這里最大的數小一些，比最小的數大一些，也就是說平均數在最大的數和最小的數之間。

師：你能動筆算一下第四組男生平均套中的個數嗎？[5+10+8+1=24（個），24÷4=6（個）]與你猜想的結果一樣嗎？想一想，這次套圈比賽雖然最終打了平手，但其實男生完全有獲勝的可能性，問題出在哪里呢？

一組數據中前三個數據大小不變，只是第四個數據發生了變化。此時極端數據“1”的出現，導致了平均數的改變，不僅強化了學生對平均數具有代表性的理解，更讓學生體會到平均數敏感性這一重要特征。隨即，我將最后一位同學“套中1個”改為“套中5個、9個”，先讓學生動筆計算得出男生套圈的平均水平，然后通過三幅圖對比：在這組數據中，有的比平均數高，有的比平均數低，你有沒有發現，多出的部分和少的部分怎樣？（同樣多）僅僅是一個巧合嗎？這時，學生不僅能體會到平均數介于最大值和最小值之間，更能感受到平均數的齊次性。此時總數增加了4（或8），平均數只是增加1（或2）。根據“移多補少”的原理，只有超出的部分和不足的部分相等，最終才能完成平均數的正確求解。如此在一系列的問題情境中，以適時地追問，借助統計圖以及學生的口算、計算，學生的數學思維在理解概念的基礎上得到有效的提升。

四、依托概念，追尋現實依據

在平時教學中，教師常問學生：“這個問題你聽懂了嗎？”學生都說聽懂了，但我們都知道，學習知識在懂了與會了之間還有一定的距離，懂了不一定代表會了。因而盡管學生能夠敘述出平均數的定義，但不代表他們掌握了平均數的含義。平均數的定義對一個剛進入四年級的學生來說還是非常抽象的。為了讓學生能夠在稍復雜的背景下運用平均數的概念解決問題，我設計了幾個復雜程度不一樣的問題：“猜猜每個筆筒里筆的支數”“絲帶的平均長度”“平均身高”“平均水深”“平均壽命”等。第一個問題對學生來說比較簡單。第二個問題“絲帶的平均長度”，無論通過老師的估算值判斷絲帶的平均值，還是通過變換絲帶的長短，都是讓學生利用平均數的性質——離均差為0，即以離差之和為0進行判斷。在一組數據中，既有超出平均數的，也有低于平均數的，當對三幅圖同時進行比較時，學生認識到我們既可以用平均數來表示一組數據的總體水平，也可以用它來比較兩組數據的差異。“平均身高”直接選用我校籃球隊員的數據，在這里不是讓學生計算平均數，而是讓學生依據平均數的性質進行合理推斷。而“平均水深”借助直觀情境圖，學生能充分感知平均水深，并不是指每一處都是110厘米，池塘里有的地方水深低于110厘米，很安全，有的地方水深卻遠遠超過110厘米，因此很危險。70年前中國人的平均壽命是35歲，70年后人均壽命提高到77歲，應該如何理解這句話？今年77歲的王爺爺聽了喜憂參半，學生能夠從數學的角度，并能根據身邊親人的實際年齡做對比。教學中貌似學生都在發言，但可以肯定的是他們并不都真正理解了知識點，因為它是牽涉到以樣本的平均數代替總體的平均數，比較抽象。

總之，在小學階段，教師教學要擯棄傳統的灌輸式教學，把課堂還給學生，讓學生在課堂上不斷積累經驗，體會知識的形成過程。教師要注重引導，通過問題引領，幫助學生理解知識，創新教學方法，把課堂變成學堂，讓學生在探索中獲取知識。