靜電場中五類圖像問題求解

甘肅 趙生武

(作者單位：甘肅省蘭州市永登縣第一中學)

高中物理靜電場部分在描述電場力的性質和能的性質時，既涉及帶電粒子的受力情況和運動情況，又涉及電場力做功與能量變化之間的關系。本章內容物理概念抽象，物理規律應用綜合性強，既是學生學習的難點，又是近幾年高考的熱點。靜電場中的圖像能夠呈現帶電粒子在電場中的運動過程，直觀地反映電場強度、電勢、電勢能等物理概念之間的關系、力與運動之間的關系以及做功與能量轉化之間的關系。通過圖像考查對靜電場有關概念及規律的理解是一種重要的考查方式?，F將靜電場中的圖像問題予以歸類解析，希望可以幫助學生有效復習。

類型一 φ-x圖像

靜電場中的φ-x圖像反映靜電場中電勢φ隨位置坐標x的變化規律。處理φ-x圖像問題必須把握以下要點：

1.沿著電場線方向電勢逐漸降低。由φ-x圖像直接判斷各點的電勢高低，并根據電勢高低確定x軸上電場強度E的方向。注意電勢的正負表示電勢的高低。

2.電場力做功WAB=qUAB。由φ-x圖像直接確定任意兩點間的電勢差UAB，求解電場力做功WAB，進而通過功能關系分析帶電粒子動能及電勢能的變化情況。注意WAB=qUAB中各物理量需帶正負。

【例1】兩電荷量分別為q1和q2的點電荷放在x軸上的O、M兩點，兩電荷連線上各點電勢φ隨x變化的關系如圖1所示，其中A、N兩點的電勢為零，ND段中C點電勢最高，不計重力，則

圖1

( )

A.A、N點的電場強度大小為零

B.將一正點電荷靜止放在x軸負半軸，它將一直做加速運動

C.N、C間場強方向沿x軸正方向

D.將一負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功

【解析】(1)A、N點的電勢為零，但過A、N點切線的斜率不為零。所以，電場強度大小不為零。A選項錯誤。

(3)從N到C電勢升高，N、C點間的場強方向沿x軸負方向。同理，C、D點間的場強方向沿x軸正方向。C選項錯誤。

(4)負點電荷在N、C間所受電場力沿x軸正方向，在C、D間所受電場力沿x軸負方向。所以，負點電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功。或N、D間電勢先升高再降低，負電荷在N、D間的電勢能先減少后增加，故負電荷從N點移到D點，電場力先做正功后做負功。D選項正確。

【點評】(1)A選項可以很好地論證“電勢為零，電場強度一定為零”這一謬論，加深對電場強度和電勢概念的理解。

(2)由斜率的正負表示場強的方向可以得出：A、N兩點的場強方向相反，NC段與CD段的場強方向相反。

(3)根據電場力做功情況可以進一步分析點電荷電勢能的變化情況，或根據電荷電勢能變化分析電場力做功情況。

類型二 E-x圖像

靜電場中的E-x圖像反映靜電場中的電場強度E隨位置坐標x的變化規律。處理E-x圖像問題必須把握以下要點：

1.電場強度E是矢量，E>0與E<0表示電場強度的方向相反。x軸之上E>0，電場強度方向沿x軸正方向；x軸之下E<0，電場強度沿x軸負方向。圖線上的點到x軸之間的距離(即E軸上的坐標值)表示電場強度的大小。

2.在勻強電場中，電勢差U=Ed，d為場強方向上兩點間的距離。類比v-t圖像可知，E-x圖像中圖線與x軸圍成的“面積”大小表示電勢差大小，“面積”正負表示電勢差正負，兩點的電勢高低依據電場方向判斷。

【例2】空間某區域有一沿x軸對稱分布的電場，其電場強度E隨坐標x變化的圖像如圖2所示，x0和-x0為x軸上對稱的兩點。現將一電子從x0處由靜止釋放后沿x軸負方向運動，到達-x0處時速度剛好為零，下列說法正確的是

圖2

( )

A.x0處的場強大小大于-x0處的場強大小

B.x0處的電勢小于-x0處的電勢

C.電子在x0處的電勢能等于-x0處的電勢能

D.電子先做勻加速運動后做勻減速運動

【解析】(1)電子在x0處和-x0處速度均為0，由動能定理可知，電子從x0運動到-x0過程，電場力做功為零，即O到x0之間與O到x0之間圖線與x軸圍成面積大小相等。由幾何關系可知，x0處和-x0處的場強大小相等，方向相反。A選項錯誤。

(2)O到x0之間與O到-x0之間圖線與x軸所圍面積大小相等，即電勢差大小相等，則φ0-φx0=φ0-φ-x0。所以，φx0=φ-x0。B選項錯誤。

(3)由Ep=φ·q可知，電子在x0處的電勢能等于-x0處的電勢能。C選項正確。

(4)電子在x0處由靜止釋放后沿著x軸負方向運動，說明O到x0之間所受電場力方向沿x軸負方向，場強方向沿x正方向。由矢量性可知，O到-x0之間的場強方向沿x軸負方向，所受電場力方向沿x正方向。所以，電子先做加速運動后做減速運動，但加速度a變化，不是勻變速運動。D選項錯誤。

【點評】(1)根據電場強度E的大小可以判定電場力的大小和加速度的大小。

(2)根據電場場強E的矢量性和已知條件可以確定電場強度的方向，進而判斷電勢的高低，分析帶電粒子電勢能的變化以及電場力做功情況。

類型三 Ep-x圖像

靜電場中Ep-x圖像反映帶電粒子的電勢能Ep隨位置坐標x的變化規律。理解要點如下：

1.由圖像可以直接判斷帶電粒子在各點的電勢能Ep的大小，并根據電勢能大小變化確定電場力做功情況。

2.結合Ep=φ·q關系式，由電勢能Ep的大小確定各點的電勢φ的高低，進而確定電場強度的方向、電場力方向以及加速度方向。

【例3】一帶電粒子在電場中僅受靜電力作用，做初速度為零的直線運動，取該直線為x軸，起始點O為坐標原點，其電勢能Ep與位移x的關系如圖3所示，下列圖像中合理的是

( )

圖3

A

B

C

D

【解析】(1)Ep-x圖像的斜率逐漸減小，表示電場力逐漸減小，場強E逐漸減小，帶電粒子的加速度逐漸減小。A選項錯誤，D選項正確。

(2)由動能定理可知ΔEk=F合·Δx，類比|ΔEp|=F電·Δx可知，Ek-x圖像的斜率表示F合，而帶電粒子僅受電場力作用，電場力即為合外力。所以，電勢能逐漸減小時，動能逐漸增大，但Ek-x圖像的斜率逐漸減小。B選項錯誤。

【點評】(1)解決Ep-x圖像問題時，既要根據電勢能Ep的大小變化判斷電場力做功情況，又要根據圖像斜率的變化判斷電場力大小變化、電場強度大小變化以及加速度大小變化。

類型四 Ek-x圖像

靜電場中的Ek-x圖像反映帶電粒子的動能Ek隨位置坐標x的變化規律。解決Ek-x圖像問題必須掌握以下要點：

1.由Ek-x圖像直接判斷帶電粒子的動能Ek的大小，并根據動能大小變化確定合外力做功情況，進而分析電場力做功情況及電勢能變化情況。

2.Ek-x圖像的斜率大小表示帶電粒子所受合外力的大小。根據Ek-x圖像的斜率大小判斷合外力大小，進而判斷電場力大小及電場強度大小。

【例4】如圖4甲所示，x軸處在靜電場中，一個電荷量為q、質量為m的帶負電的粒子在原點O由靜止釋放，僅在電場力的作用下沿x軸正方向運動，粒子運動過程中的動能隨位置變化的關系圖像如圖4乙所示，圖4乙中的量均為已知，則下列說法正確的是

甲

( )

A.場強沿x軸正方向逐漸增大

B.圖4乙中圖線的斜率大小表示粒子所受電場力的大小

【解析】(1)Ek-x圖像的斜率大小表示帶電粒子所受合外力的大小，而粒子僅受電場力作用，所以，圖4乙中圖線的斜率大小表示粒子所受電場力的大小。B選項正確。

(2)Ek-x圖線的斜率一定，電場力一定，所以，電場強度大小一定。A選項錯誤。

類型五 v-t圖像

靜電場中的v-t圖像反映帶電粒子運動過程中速度v隨時間t的變化規律。若帶電粒子只受電場力作用，求解靜電場中的v-t圖像問題須把握以下兩點：

1.根據v-t圖像直接判斷速度v的大小變化，確定電場力方向，分析電場力做功情況以及動能Ek、電勢能Ep的變化情況。

2.根據v-t圖像的斜率變化判斷帶電粒子加速度的變化、電場力變化以及電場強度的變化情況。

【例5】如圖5甲所示，兩個點電荷Q1、Q2固定在x軸上，其中Q1位于原點O，a、b是它們連線延長線上的兩點。現有一帶正電的粒子q以一定的初速度沿x軸從a點開始經b點向遠處運動(粒子只受電場力作用)，設粒子經過a、b兩點時的速度分別為va、vb，其速度隨坐標x變化的圖像如圖5乙所示，則以下判斷正確的是

甲

( )

A.b點的場強一定為零

B.Q2帶負電且電荷量小于Q1

C.a點的電勢比b點的電勢高

D.粒子在a點的電勢能比b點的電勢能小

【解析】(1)v-t圖像上b點的切線斜率為零，加速度為零，場強一定為零。A選項正確。

(2)帶正電粒子從a到b過程速度增大，電場力沿x軸正方向，場強沿x軸正方向，由點電荷電場強度可知Q2帶正電，而b點場強為零，由場強疊加原理可知，Q2電荷量小于Q1。B選項錯誤。

(3)沿著電場方向電勢降低，所以a點的電勢比b點的電勢高。C選項正確。

(4)粒子從a到b過程中電場力做正功，電勢能減小，粒子在a點的電勢能比b點的電勢能大?；蛘吒鶕妱菽芘c電勢的關系，a點的電勢比b點的電勢高，帶正電粒子在a點的電勢能比b點的電勢能大。D選項錯誤。

【點評】(1)分析靜電場中的v-t圖像問題需要從速度變化和圖線斜率變化兩個角度入手，分兩條思路進行求解相關問題。

(2)靜電場中的v-t圖像問題往往與電場分布相結合，綜合分析帶電粒子的受力情況、運動情況及能量變化情況。