“另類(lèi)”求解三力的靜、動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題

福建 黃紅武 郭 威

(作者單位：福建省南平市浦城第二中學(xué)福建省南平市第九中學(xué))

力的平衡作為高中重要的知識(shí)模塊，對(duì)整個(gè)高中學(xué)習(xí)的重要性不言而喻，對(duì)三力靜、動(dòng)態(tài)平衡的求解方法也作為論文素材頻見(jiàn)于期刊、學(xué)報(bào)，但求解方法大同小異，無(wú)外乎矢量圖解法、相似三角形法、輔助圓法、正交分解法等一些針對(duì)基本題型的通法通解，但遇到一些力的靜、動(dòng)態(tài)平衡遷移問(wèn)題時(shí)，用這些方法解決過(guò)程很繁瑣或無(wú)法解決，在教學(xué)實(shí)踐過(guò)程中總結(jié)出下面幾種“另類(lèi)”求解力的靜、動(dòng)態(tài)平衡問(wèn)題的方法，細(xì)細(xì)品味卻也蘊(yùn)含著精妙的物理思維與方法，出奇制勝。

一、杠桿平衡原理法

這里的杠桿平衡原理法其實(shí)就是力矩平衡法，只是力矩知識(shí)大部分地區(qū)不作為高考要求范圍，給學(xué)生講力矩有超綱之嫌，但杠桿平衡原理學(xué)生在初中已經(jīng)用得得心應(yīng)手，所以我們可以借用杠桿平衡的思想來(lái)解決力的平衡問(wèn)題，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)在研究對(duì)象不能看作質(zhì)點(diǎn)的物體或系統(tǒng)時(shí)，用杠桿平衡原理法明顯快捷得多。

【應(yīng)用示例1】如圖1所示，重為G的球靜止于圖示位置，繩與豎直方向的夾角為θ，與球相切于D，球與豎直墻面的接觸點(diǎn)B，求繩的拉力FT，球與墻面的摩擦力Ff和彈力FN。

圖1

圖2

【方法點(diǎn)撥】此法關(guān)鍵在于靈活地選取支點(diǎn)，同一題可以通過(guò)選擇不同的支點(diǎn)，盡量讓不需要求解的力通過(guò)支點(diǎn)，使之力矩為零，這里的力矩=力×力臂，表示使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的趨勢(shì)，從而達(dá)到減小杠桿平衡式中力的個(gè)數(shù)。

圖3

( )

A.45° B.30° C.22.5° D.15°

圖4

二、微動(dòng)態(tài)觀察法

一個(gè)力大小不變，另兩個(gè)力的方向都在變化的問(wèn)題，用常規(guī)方法是采用相似三角形求解，但此類(lèi)問(wèn)題有時(shí)相似三角形并不適用，教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)很多人在求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)不知所措，用正交分解等方法又因?yàn)閿?shù)學(xué)過(guò)程過(guò)于繁雜費(fèi)時(shí)費(fèi)力，所以基于該動(dòng)態(tài)分析基本為定性分析，在兩個(gè)方向均發(fā)生變化時(shí)，采用微動(dòng)態(tài)矢量圖法，觀察每經(jīng)過(guò)微小過(guò)程中矢量三角形中各力的大小變化從而得出結(jié)論，事半功倍。

【應(yīng)用示例2】如圖5所示，光滑小球用一根不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩系住，繩的另一端經(jīng)過(guò)半圓形的光滑碗的邊緣A點(diǎn)。現(xiàn)用水平力拉動(dòng)小球，小球在碗壁上緩慢地滑動(dòng)，細(xì)繩始終處于繃緊狀態(tài)。小球從碗底中心點(diǎn)位置開(kāi)始到接近碗口邊緣A點(diǎn)的過(guò)程中，碗面對(duì)小球的支持力FN以及繩對(duì)小球的拉力FT的變化情況是

圖5

( )

A.FN保持不變，F(xiàn)T不斷變小

B.FN不斷變小，F(xiàn)T不斷變大

C.FN保持不變，F(xiàn)T先減小后增大

D.FN不斷減小，F(xiàn)T先減小后增大

【應(yīng)用示范】如圖6所示，用水平力緩慢地拉動(dòng)小球過(guò)程中，小球受到的支持力方向一直指向圓心O，繩對(duì)小球的拉力一直指向A，盡可能多畫(huà)出幾個(gè)位置的受力動(dòng)態(tài)矢量圖，由圖可知FN不斷變小，F(xiàn)T不斷變大。B選項(xiàng)正確。

圖6

【方法點(diǎn)撥】此法的關(guān)鍵在于“微”動(dòng)態(tài)，即根據(jù)題設(shè)要求，將矢量進(jìn)行微動(dòng)態(tài)矢量作圖，有時(shí)還需要注意變化過(guò)程中的特殊位置，要重點(diǎn)畫(huà)出，再對(duì)整個(gè)變化的規(guī)律進(jìn)行分析判斷。

【小試牛刀2】如圖7所示，不可伸長(zhǎng)的輕繩AO和BO下端共同系一個(gè)物體P，且繩長(zhǎng)AO>BO，A、B兩端點(diǎn)在同一水平線上，開(kāi)始時(shí)兩繩剛好繃直，細(xì)繩AO、BO的拉力分別設(shè)為FA、FB。現(xiàn)保持A、B端點(diǎn)在同一水平線上，在A、B端緩慢向兩側(cè)遠(yuǎn)離的過(guò)程中，關(guān)于兩繩拉力的大小隨點(diǎn)A、B間距離的變化情況是

圖7

( )

A.FA隨距離的增大而一直增大

B.FA隨距離的增大而一直減小

C.FB隨距離的增大而一直增大

D.FB隨距離的增大先減小后增大

【方法演練】初始狀態(tài)BO豎直，所以BO繩拉力等于重物的重力mg，AO繩拉力為零。當(dāng)B緩慢向右移動(dòng)過(guò)程中，對(duì)于重力、AO繩的拉力FA、BO繩的拉力FB構(gòu)成如圖8所示的矢量三角形，作出幾個(gè)位置的受力動(dòng)態(tài)矢量圖，由圖8分析可知，AO的拉力FA隨著B(niǎo)點(diǎn)向右移動(dòng)一直增大，BO繩的拉力FB卻是先較小后增大。AD選項(xiàng)正確。

圖8

三、力的圖示測(cè)量法

在高中階段力的圖示大多數(shù)在驗(yàn)證平行四邊形實(shí)驗(yàn)后就很少應(yīng)用，殊不知該方法用于力的平衡問(wèn)題中題設(shè)所給的已知條件為具體數(shù)值，且數(shù)值運(yùn)算相對(duì)復(fù)雜、結(jié)果也需要具體數(shù)值的選擇題，采用力的圖示在誤差范圍內(nèi)結(jié)果相差不大，省去了用列表達(dá)式的數(shù)學(xué)運(yùn)算，從而快速得到正確選項(xiàng)。

【應(yīng)用示例3】某校物理課外小組神奇地用一個(gè)細(xì)繩套和兩根輕牙簽吊起一把湯匙，實(shí)驗(yàn)如圖9所示。其中牙簽P穿過(guò)細(xì)繩套置于水平桌面上，牙簽Q上端撐在牙簽P的左端，下端插入繩套打結(jié)點(diǎn)O處。湯匙的質(zhì)量為30 g，穩(wěn)定時(shí)測(cè)量可得細(xì)繩和牙簽Q與水平方向的夾角分別為α=53°和β=37°，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10 m/s2。對(duì)于裝置研究可知

圖9

( )

A.細(xì)繩承受的力大于牙簽Q承擔(dān)的力

B.細(xì)繩承受的力小于牙簽Q承擔(dān)的力

C.細(xì)繩承受的力為0.86 N

D.牙簽Q承受的力為0.86 N

【應(yīng)用示范】對(duì)結(jié)點(diǎn)O受力分如圖10所示，因?yàn)檎麄€(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，重力、細(xì)繩承受的拉力FT、牙簽Q所受的力FN三力構(gòu)成一個(gè)閉合的矢量三角形，由此可知細(xì)繩承受的力大于牙簽Q承擔(dān)的力，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；重力mg=0.3 N，用刻度尺畫(huà)出重力的矢量長(zhǎng)度為3 cm(該長(zhǎng)度只是一個(gè)標(biāo)度值，要便于換算)，細(xì)繩承受的拉力FT的矢量長(zhǎng)度為8.6 cm，牙簽Q所受的力FN的矢量長(zhǎng)度為6.4 cm，根據(jù)比例關(guān)系換算可得，F(xiàn)T=0.86 N，F(xiàn)T=0.64 N，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤。

圖10

【方法點(diǎn)撥】此法僅適用于選擇題，為了便于快速換算，要注意長(zhǎng)度標(biāo)度的選擇，此方法關(guān)鍵在于作力的矢量圖時(shí)要用直尺規(guī)范作圖，只要規(guī)范作圖，雖然有一定的誤差，但選項(xiàng)間的數(shù)值相差一般不會(huì)太過(guò)于接近，這樣基本可以按范圍選中正確答案，快速秒殺。此法甚至可以推廣到牛頓第二定律和一些矢量合成的選擇題。

【小試牛刀3】由于衛(wèi)星的發(fā)射場(chǎng)不在赤道上，同步衛(wèi)星發(fā)射后需要從轉(zhuǎn)移軌道經(jīng)過(guò)調(diào)整再進(jìn)入地球同步軌道。當(dāng)衛(wèi)星在轉(zhuǎn)移軌道上飛經(jīng)赤道上空時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)點(diǎn)火，給衛(wèi)星一附加速度，使衛(wèi)星沿同步軌道運(yùn)行。已知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度約為3.1×103m/s，某次發(fā)射衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度為1.55×103m/s，此時(shí)衛(wèi)星的高度與同步軌道的高度相同，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，如圖11所示，發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向和大小約為

圖11

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A.西偏北方向，1.9×103m/s

B.東偏南方向，1.9×103m/s

C.西偏北方向，2.7×103m/s

D.東偏南方向，2.7×103m/s

【方法演練】依題意可知同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度v1是衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度v2的二倍，轉(zhuǎn)移軌道和同步軌道的夾角為30°，作出矢量圖如圖12所示，由圖可知發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度的方向東偏南方向；用刻度尺畫(huà)出衛(wèi)星飛經(jīng)赤道上空時(shí)的速度v2的矢量長(zhǎng)度為1 cm，即同步衛(wèi)星的環(huán)繞速度v1的矢量長(zhǎng)度為2 cm，量出發(fā)動(dòng)機(jī)給衛(wèi)星的附加速度Δv的矢量長(zhǎng)度約為1.3 cm，故Δv=1.3×1.55×103m/s≈2.0×103m/s，B選項(xiàng)最接近該數(shù)值，故B選項(xiàng)正確。

圖12

四、三力匯交原理法

在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)學(xué)完力的平衡，有的人對(duì)三力匯交基本處于陌生狀態(tài)，人教版教材對(duì)共點(diǎn)力的定力為：如果一個(gè)物體受到兩個(gè)或更多力的作用，有些情況下這些力共同作用在同一點(diǎn)上，或者雖不作用在同一點(diǎn)上，但它們的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，這樣的一組力叫做共點(diǎn)力，說(shuō)明物體在不平行的三個(gè)力作用下時(shí)平衡，這三個(gè)力或其延長(zhǎng)線必匯交到一點(diǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)為“三力匯交原理”。平時(shí)我們研究的對(duì)象多數(shù)可以看成質(zhì)點(diǎn)或直接研究繩的結(jié)點(diǎn)，受到的力直接作用在同一點(diǎn)上，但類(lèi)似有質(zhì)量的桿或重力不可忽略的桿大多數(shù)不能看成質(zhì)點(diǎn)，又因?yàn)榱Φ暮铣傻钠叫兴倪呅味▌t只適用于共點(diǎn)力，就需要借助“三力匯交原理”來(lái)確定作用點(diǎn)，使共點(diǎn)力的平衡躍然紙上，就可以利用平行四邊形定則或矢量三角形定則解決問(wèn)題，難題就不難了。

【應(yīng)用示例4】如圖13所示，由密度分別為ρ1、ρ2(ρ1>ρ2)的兩段長(zhǎng)度相同的材料組成的細(xì)桿P一端放在水平地面上，另一端靠在固定于地面上的光滑半圓柱Q上，處于平衡狀態(tài)，P與地面和Q的接觸面點(diǎn)分別為M、N，半圓柱體Q的球心為O。現(xiàn)將細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)，使密度為ρ2部分置于N點(diǎn)，細(xì)桿P仍能保持靜止?fàn)顟B(tài)，下列說(shuō)法正確的是

圖13

( )

A.細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)前在M點(diǎn)受到的摩擦力沿MN方向

B.細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)前在M點(diǎn)受到的支持力豎直向上

C.細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)后在N點(diǎn)受到的支持力大小不變

D.細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)后在M點(diǎn)受到的摩擦力變大

【應(yīng)用示范】對(duì)細(xì)桿P受力分析可知細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)前在M點(diǎn)受到的摩擦力Ff沿水平向右，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；細(xì)桿P翻轉(zhuǎn)前在M點(diǎn)受到的支持力FM豎起向上，B選項(xiàng)正確；把M點(diǎn)受到的摩擦力和M點(diǎn)受到的支持力合成為地面對(duì)M的作用力F，即細(xì)桿P受重力mg、地面作用力F、半圓柱體的支持力FN，因?yàn)棣?>ρ2，所以細(xì)桿P受重力的重心作用點(diǎn)在ρ1段，根據(jù)三力匯交原理，細(xì)桿P受力如圖14所示，三力構(gòu)成閉合矢量三角形如圖15所示，翻轉(zhuǎn)后半圓柱體的支持力FN的方向不變，重力mg大小不變但其重心位置向上移動(dòng)，地面對(duì)M的作用力F與水平面的夾角變小，此時(shí)F和FN的大小如圖15中的虛線，即半圓柱體的支持力FN變大，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；由于地面對(duì)M的作用力F的水平分量為M點(diǎn)受到的摩擦力Ff，由圖15可以看出翻轉(zhuǎn)后摩擦力Ff變大，D選項(xiàng)正確。

圖14

圖15

【方法點(diǎn)撥】此法關(guān)鍵在于確定三力中兩力的方向，然后通過(guò)三力匯交原理確定第三個(gè)力。

【小試牛刀】如圖16所示，一根粗細(xì)均勻質(zhì)量分布均勻的筷子AB，其質(zhì)量為G，放在光滑的半徑為R的半球形碗內(nèi)，筷子與水平面成角θ=30°，假若筷子與兩壁、碗邊都沒(méi)有摩擦力，則筷子AB的長(zhǎng)度2l為

圖16

( )

圖17