關于功、能相關問題的探討

云南 楊習志

(作者單位：云南省昆明市第一中學)

在中學關于功、能章節的教學過程中，筆者發現存在很多問題值得探討，產生這些問題的主要原因是中學的教材中很多定義都是針對質點而言的，但在實際的教學過程中往往會涉及一些非質點的問題，故很多時候老師們用對質點的定義去處理和解釋非質點的問題時，往往就很難搞清楚問題的根源，甚至一直沿用著錯誤的講法給學生講解。因此，理清這些問題是非常有必要的，希望本文能對中學教師在功、能章節的教學過程中起到一定的幫助作用。

一、力做功的位移是指物體的位移還是力的作用點的位移？

關于力做功的位移，我們都清楚是指在力的方向上發生的位移，但問題在于是誰在力的方向上的位移，是物體在力的方向上的位移還是力的作用點在力的方向上的位移？很多老師認為是物體在力的方向上發生的位移，這樣的理解對于質點是可以的，但對于質點系就會出問題。

在中學的教材中對公式W=FL是這樣釋義的，即“1 J的功等于1 N的力使物體在力的方向上發生1 m的位移時所做的功”，教材中的定義是針對質點而言的，對于質點，物體的位移與力的作用點的位移是一樣的，但對于質點系，如果再用物體的位移就會產生概念模糊，解釋不清，因為質點系里各質點的位移可能都不一樣，說物體的位移意義不明了，那會不會是質心的位移？在大學的教材中對1 J功的釋義就更具體一些，即“1 J的功等于1 N的力使受力點沿力的方向上移動1 m時所做的功”，可見力做功時的位移應是力的作用點發生的位移。

1.人走路、起跳、爬樓梯問題

如圖1所示，人走路、起跳、爬樓梯時，地面對人的摩擦力和支持力對人不做功，這個結論大家都清楚，但用物體在力的方向上的位移給學生解釋時就遇到了困難，因為物體的質心在力的方向上確實是發生了位移。這類問題屬于質點系問題，在這一類問題上，力做功的位移是力的作用點的位移，雖然物體的質心發生了位移，但力的作用點沒有發生位移，故力沒有做功。其次，人走路時人對地面的摩擦力對地面也不做功，因為摩擦力與地面的作用點在時刻變換，而且每一個作用點在有力作用的時候都沒有動，故也不做功。

圖1

2.汽車行駛問題

汽車(前輪驅動)行駛時地面對汽車的摩擦力對汽車是否做功是一個比較復雜的問題，如果不考慮汽車輪胎的形變，那么會發現地面對輪胎的摩擦力對汽車是不做功的，因為盯住輪胎與地面接觸的那個點來看的話，會發現這個點時刻在變，不斷地被下一個接觸點代替，故摩擦力的作用點實際上并未發生位移，故摩擦力對汽車不做功。但在現實問題中，作用點是很難定義的，往往是面和面接觸，如圖2所示，由于汽車的輪胎會發生形變，導致輪胎和地面接觸的不是一個點，而是一個面，從這個角度來看，似乎地面對輪胎的摩擦力對輪胎卻又是做功的，其實不然，此時，雖然是面和面接觸，但每一個接觸點都是和地面一一對應的，且每一對接觸點(作用點)之間沒有發生相對滑動，故沒有發生位移，因此地面對主動輪和從動輪的摩擦力對汽車都是不做功的。

圖2

當然，我們也會問，既然摩擦力對汽車不做功，那么汽車的動能是怎么來的？其次，汽車勻速運動時，有Pmt-Wf=0，式中的Wf怎么解釋？首先，汽車獲得的動能來自于汽車的發動機做功，即內力做功，從質心運動定理來看，主動輪的摩擦力，其作用是使汽車獲得平動加速度。其次，Wf中阻力做功的阻力并不是指讓汽車從動輪發生轉動的靜摩擦力，而是汽車輪胎與地面因發生形變而產生的滾動摩擦阻力矩以及其他的機械阻力和空氣阻力等，而讓汽車從動輪發生轉動的靜摩擦力實際上并沒有對汽車做功，從質心運動定理來看，這個摩擦力的作用與主動輪的作用相反，起到削弱平動加速度的作用。

3.傳送帶問題

如圖3所示，將一個物塊輕輕地放在順時針勻速傳動的傳送帶上，在物體與傳送帶共速前物塊會受到向右的摩擦力作用，由于物塊上的任何一個作用點都發生了位移，故摩擦力對物塊做正功。反過來，物塊對傳送帶的摩擦力向左，抓住傳送帶與物塊接觸的第一個作用點，會發現這個作用點在摩擦力的作用下從物塊的一端運動到另一端，故作用點在摩擦力的作用下發生了位移，摩擦力對傳送帶做負功。值得注意的是，如果把物塊看成一個點的話，那么物塊對傳送帶的摩擦力對傳送帶則不做功，作用點時刻在變，因此，在探討物塊對傳送帶的摩擦力對傳送帶做功這個問題中，不能把物塊看成質點。

圖3

二、關于內力做功的問題

1.常見的特殊內力做功問題

中學物理中常見的較為特殊的內力做功問題主要有人的內力做功和汽車的發動機做功，在圖1所示的問題中，人走路、起跳和爬樓梯時由于摩擦力和支持力的作用點未發生位移，故摩擦力和支持力對人均不做功，人體獲得的動能其實是來自于人體的內力做功，人體通過內力做功將自身的生物能或化學能轉化為自身的動能和重力勢能。如圖4所示，人舉著杠鈴不動，人對杠鈴顯然不做功，那人為什么會感覺到累呢？這個問題雖然看似并不是一個問題，但讓學生用功能知識解釋卻并不容易。實際上是因為人雖然沒有對杠鈴做功，但為了平衡杠鈴的重力，人體必須不斷地由大腦通過神經系統向肢體肌肉組織發出電信號，使肌肉產生力量來維持平衡，此時，人體的內力在不斷做功，消耗自身的生物能或化學能，并將其轉化為熱能。同樣，汽車在行駛時地面的摩擦力對汽車也不做功，汽車獲得的動能來自于發動機的內力做功。

圖4

2.內力做功轉化為平動(相對于轉動而言)動能的條件

在人走路、起跳、爬樓梯和汽車行駛等特殊內力做功的問題中，都存在一個共同的問題，即合外力不做功，但合外力不為零，那么這個不為零但不做功的合外力起著什么樣的作用呢？根據質心運動定理F合外力=mac可知，受到不為零的合外力是系統的質心獲得加速度的前提，因此，如果沒有地面摩擦力的輔助作用，那么人和汽車即使有內力做功，也無法獲得質心加速度，無法正常行走或行駛，便無法將內力做的功轉化為自身的平動動能，可見，內力做功轉為平動動能是有條件限制的，即系統受到的合外力不為零。

三、動能定理是“合外力做功等于物體動能的改變量”嗎？

在中學關于動能定理相關內容的教學中，最常見的錯誤就是將動能定理講成“合外力做功等于系統動能的改變量”，這一說法即使在教輔書上也屢見不鮮，在老師和學生當中則更為突出。究其原因，可能是受到牛頓第二定律和動量定理以及動量守恒定律等的影響，因為牛頓第二定律F=ma與動量定理Ft=Δp中的F均指合外力，動量守恒的條件也用到了合外力為零，因此，很多老師和學生在記憶動能定理時就潛意識地記成了合外力做功等于系統動能的改變量這一錯誤說法。在人教版必修2第7章第7節動能定理的教材中是這樣描述動能定理的，即“力在一個過程中對物體做的功，等于物體在這個過程中動能的變化”。如果物體受到幾個力的作用，則動能定理的W即為合力做的功，它等于各個力做功的代數和。可見，教材中的定義是針對質點而言的，對于質點只有合力沒有合外力。其次，教材中是以質點為例推導出了動能定理的表達式，進而得出動能定理的結論，因此，教材中這樣的定義是針對質點而提出的。在有些教輔書上出現了W合力=ΔEk這樣的公式，雖然與教材中的定義相一致，但沒有注明只針對質點這一條件，以及沒有對W合力加以解釋，仍然容易讓學生產生理解上的錯誤。比如，W合力是指合力做的功還是力做功之和？這得看受力的特點，如果是質點，且所有力始終作用在物體上，則W合力可以看成是合力做功。如果是質點，但各個力作用的時間不一樣，則W合力要理解為各個力做功的代數和。可見，把W合力定義為各力做功的代數和更好一些。如果是質點系，則實際上，對于系統的動能定理要運用質點系動能定理W外+W內=ΔEk，即質點系動能的變化量等于所有外力與所有內力做功的代數和。可見，外力與內力做功均會改變系統的動能，因此，給中學生講解涉及系統的功能問題時，要么用能量轉化與守恒的思想，要么把質點系動能定理簡寫成W總=ΔEk，即所有力做的總功等于系統動能的改變量。因此，在解釋以上人走路或汽車行駛的特殊問題時，實際上需要兩個理論才能解釋清楚，即質心運動定理和質點系動能定理，人或汽車受到的摩擦力雖然不做功，但可以使人或汽車獲得平動的加速度，進而將內力做的功轉化為自身的平動動能。

四、綜合運用

如圖5所示，是測定運動員體能的一種裝置，運動員的質量為m1，繩拴在腰間沿水平方向跨過滑輪(不計滑輪摩擦和質量)，懸掛重物的質量為m2，人用力蹬傳送帶而人的重心不動，使下方的傳送帶以速率v向左運動。則以下說法正確的是

圖5

( )

A.傳送帶對人做負功

B.人對傳送帶不做功

C.人對傳送帶做功的功率為m2gv

D.人對傳送帶做功的功率為(m1+m2)gv

【分析】從圖中可以看出，人在走動的過程中，人對傳送帶的摩擦力向左，由平衡條件知大小為m2g，且作用點向左移動，故人對傳送帶的摩擦力對傳送帶做正功，功率為m2gv。傳送帶對人的摩擦力向右，大小也為m2g，且作用點向左移動，故傳送帶對人的摩擦力對人做負功，功率為-m2gv。人的重心不動，故人的平動動能改變量為零，原因來自于人的內力對人做正功，正好與傳送帶對人做的負功抵消，即外力與內力對人做的總功為零，故人的動能不變，同時，由于人受到的合外力為零，導致人的質心加速度為零，與人的平動動能改變量為零吻合，選項AC正確。注意這里的情況與人在地面上走是完全不一樣的，雖然作用點也隨著人的走動在變，但在每一次接觸的過程中(換腳前)，作用點是發生了位移的。