立足教材本源 設計遞進問題 培養核心素養
——以“電勢差與電場強度的關系”為例

湖北 胡衛雄

(作者單位：湖北省武漢市常青第一中學)

2019年6月，國務院辦公廳印發《關于新時代推進普通高中育人方式改革的指導意見》(以下簡稱《意見》)。針對深化考試命題改革，《意見》指出：學業水平選擇性考試與高等學校招生全國統一考試命題要以《普通高中課程標準》和高校人才選拔要求為依據，實施普通高中新課程的省份不再制定《考試大綱》。

“電勢差與電場強度的關系”選自人教版新教材高中物理必修3第十章第三節。對比舊版教材(人教版高中物理選修3-1第一章第六節)，主要內容都是以勻強電場為例，通過電場力做功在兩者之間建立起聯系。通過分析和推理，導出電場強度與電勢差之間的定量關系，進一步引導學生認識電勢和電場強度的關系。在以往的高考《考試大綱》(物理)對“勻強電場中電勢差與電場強度的關系”要求掌握程度為Ⅱ級，對應新課標用于高等院校招生錄取的學業水平等級性考試中命題依據的學業質量水平4，要求能清晰、系統地理解電勢差與電場強度的關系；能依托電場線、等勢線構建典型電場模型，能從受力、運動、做功和能量轉化的角度對以靜電場為背景的綜合性物理問題進行分析和推理，獲得結論并作出解釋。

在新高考背景下，從教材本源出發，依據新課程標準要求，對電勢差與電場強度的關系進行提煉和升華，設計遞進問題鏈，可以有效地突破考點障礙，提升關鍵能力，培養核心素養。

一、探本窮源，構建知識網絡，系統了解電勢、電勢差和電場強度的關系

新教材以“電場線和等勢線的疏密存在對應關系，推理電場強度和電勢之間存在一定的聯系”引入課題，新課標要求學生學會建立電場線、等勢線等物理模型，知道勻強電場中電勢差與電場強度的定量關系，了解非勻強電場中電勢差與電場強度的定性關系，體會科學研究應該從不同角度展開，體會物理模型在研究具體問題中的重要作用。

從以上分析可以看出，本考點的本源是依托電場線、等勢線，考查電勢、電勢差與電場強度在勻強電場和非勻強電場中定性和定量的關系，我們可以從以下三個問題逐級探本窮源。

【問題1】電勢、電勢差和電場強度之間有何關系？完成知識網絡構建。

【設計意圖】通過靜電場中物理量之間關系的網絡構建，促進學生系統了解電場力的性質和能的性質，特別是電勢、電勢差和電場強度之間相互關系，知道定量關系式中各物理量的意義，初步形成電場物質觀念。

【問題2】關于靜電場，下列結論普遍成立的是

( )

A.電場強度大的位置電勢高，電場強度小的位置電勢低

B.電場強度為零的位置電勢也為零，電勢為零的位置場強也必定為零

C.在靜電場中，場強方向是電勢降低最快的方向

D.沿電場線方向，任何相同距離上電勢降落必定相等

【解析】如圖1所示，觀察點電荷、勻強電場的電場線特點可知，電勢的高低與電場強度的大小無關，分析等量同種電荷的電場線可知，連線中點的電場強度為零，但電勢不為零，分析等量異種點電荷的電場線可知，兩電荷間連線中垂線是電勢為零的等勢面但電場強度不為零，所以AB選項錯誤，依據U=Ed=Elcosθ(d為任意兩點沿電場方向的距離，l為任意兩點間的距離)可知C選項正確，但此公式定量計算適用于勻強電場，場強變化時，D選項錯誤。

圖1

【點撥】依托電場線，構建點電荷的電場、等量同種電荷電場、等量異種電荷電場、勻強電場等典型電場模型，對比分析各典型電場的電場強度和電勢特點。

【設計意圖】通過對典型電場的電場線和等勢線進一步觀察、分析，推導出電勢與電場強度的關系；結合電勢差與電場強度的關系式，對比勻強電場和非勻強電場，進一步構建典型電場模型，讓學生體會從定性的角度了解電勢與電場強度的關系。

【問題3】如圖2所示，在甲、乙兩電場中畫出了三條電場線，AB長為20 cm，C點是A、B連線的中點。已知A點的電勢為φA=30 V，B點的電勢為φB=-20 V，則下列說法正確的是

甲

( )

A.在甲電場中，C點的電勢φC=5 V

B.在甲電場中，C點的電場強度一定為250 N/C

C.在乙電場中，C點的電勢φC<5 V

D.在乙電場中，C點的電場強度一定為250 N/C

【解析】根據勻強電場中電勢差和電場強度的關系式U=Ed=Elcosθ，在甲圖所示的勻強電場中，因為C是AB的中點，AC=CB，UAC=UCB，所以φA-φC=φC-φB，解得φC=5 V，因為AB并不沿電場線方向，電場強度大于250 N/C，A選項正確，B選項錯誤；在乙圖所示的非勻強電場中，不能直接用關系式進行定量計算，D選項錯誤；定性分析可知，從電場線的分布情況可以看出，AC區域的電場強度大于CB區域的電場強度，所以UAC>UCB，φA-φC>φC-φB，所以有φC<5 V，C選項正確。

【點撥】勻強電場電勢均勻降落，等間距的兩點間電勢差相等；非勻強電場場強大的位置等勢面更密集，等間距的電勢差大一些。

【設計意圖】通過勻強電場和非勻強電場中相關問題的對比分析，體會從定量和定性方面了解電勢差與電場強度的關系，進一步理解定量關系式的適用條件，掌握解決簡單問題的判斷方法。

二、拓展推理，總結規律，深入理解電勢差與電場強度的關系

在各級各類考試試題中，常常出現對“勻強電場中電勢差與電場強度關系”內容的考查，要求依據電場線與等勢線的關系，運用電勢差與電場強度的關系式，結合數學幾何知識，在受力、運動、做功和能量分析的基礎上，確定電場中某點的電勢、計算勻強電場電場強度的大小、判斷勻強電場的方向。這就須要更進一步地理解電勢差與電場強度的關系，通過拓展推理，總結規律，對常見的靜電場問題展開分析，總結結論。

在問題1的解析中已經指出，勻強電場中，由于電場強度是恒定不變，因此沿任意一條不垂直于電場線的直線，電勢的變化是均勻的。在問題3解析中已經推理得到，如圖3所示，如果AC=CB，則UAC=UCB，φA-φC=φC-φB，請分析問題4提出的延伸問題。

圖3

【問題4】在圖4中，如果AB=CD，且AB∥CD，UAB等于UCD嗎？在圖5中，AC∥PR，AB、BC、PQ、QR不等距，它們之間的電勢差UAB、UBC、UPQ、UQR又有什么關系呢？

圖4

圖5

推論一 在勻強電場中，不與電場線垂直的同一直線上或相互平行相等線段上距離相等的兩點間的電勢差相等。

(2)如圖4所示，AB∥CD，且AB=CD，則UAB=UCD。

【設計意圖】立足教材本源，依據勻強電場中場強和電勢變化的特點，對電勢差與電場強度的關系作進一步的延伸推理，是勻強電場中電勢差與電場強度關系的提煉和升華，促進形成科學的物質觀念，發展學生科學思維素養，激發學生學習物理的興趣和培養科學探究的精神。

【問題5】一勻強電場的方向平行于xOy平面，平面內a、b、c三點的位置如圖6所示，三點的電勢分別為10 V、17 V、26 V。則坐標原點處的電勢為多少？電場強度的大小為多少？

圖6

圖7

【點撥】依據“兩個推論”，通過“找兩點(等勢點)、畫兩線(等勢線和電場線)、定距離(沿電場強度方向的距離)”，結合“一個公式(電勢差和電場強度的關系式)”求解靜電場中某點的電勢和電場強度。

【設計意圖】在深入理解勻強電場中電勢差和電場強度關系的基礎上，拓展推理，總結規律，結合數學幾何知識進行綜合分析。追求科學本質，培養理解能力、推理能力和應用數學知識解決物理問題的能力。

【問題6】空間有一勻強電場，在電場中建立如圖8所示的直角坐標系O-xyz，勻強電場的方向平行于xOy平面，xOy平面內a、b、c三點的位置如圖9所示，三點的電勢分別為10 V、17 V、26 V。空間一點P(圖中未畫出)的坐標為(4，3，5)，則P點的電勢為多少？

圖8

圖9

【解析】本題給出勻強電場處于立體空間情景中，因為電場方向平行于xOy平面，根據等勢線和電場線垂直的關系，由立體幾何知識推理可得，垂直于xOy平面的任一條直線都是等勢線，先在平面找到P點的投影點，將立體空間情景轉化為平面空間情景。如圖9所示，P點在xOy平面的投影在Oc連線的中點e，結合問題4的分析結果，可得φc-φe=φe-φ0，φP=φe=13.5 V。

【點撥】注意電場是空間分布的，垂直于電場線的整個平面各點電勢均相等。

【設計意圖】在問題5的基礎上，進一步培養用數學幾何知識解決物理問題的能力，完善對勻強電場模型空間特點的認識，構建更完整、更清晰、更科學的電場模型。

三、科學建模，綜合分析，熟練應用電勢差與電場強度的關系解決較復雜的問題

一些以勻強電場為背景的問題需要從能量觀念出發，綜合運用功能關系，結合電勢差與電場強度的定量關系分析、推理，此類問題綜合性較強；而較為復雜的以勻強電場和重力場(磁場)組成的復合場為背景的力、電、磁綜合問題，要求從受力、運動、做功和能量轉化等多個角度展開綜合分析，對學生物理觀念，科學構建運動模型、電場模型，科學推理等核心素養和綜合分析能力提出了更高的要求。

【問題7】勻強電場中的A、B、C三點構成一邊長為a的等邊三角形，如圖10所示，場強方向平行于紙面。具有初速度的電子在電場力作用下從B到A動能減少E0，質子在電場力作用下從C到A動能增加E0，求勻強電場的場強。(不計重力)

圖10

【解析】根據動能定理得，電子從B到A過程中

質子從C到A過程中

由①②可知B、C兩點電勢相等且大于A點電勢，即

φB=φC>φA

圖11

【點撥】本題在“找兩點(等勢點)、畫兩線(等勢線和電場線)、定距離(沿電場強度方向的距離)”，結合“一個公式(電勢差和電場強度的關系式)”的基礎上，結合做功和能量轉化(動能定理)，分析電場力做功與電勢差之間的關系求解。

【設計意圖】分析帶電粒子在電場中的做功和能量轉化，綜合運用功能關系、靜電力做功和電勢差的關系、電勢差與電場強度的關系分析，總結問題解決的方法，進一步形成能量觀念，提高綜合分析能力。

圖12

在勻強電場中，電勢的降落是均勻的。不與電場線垂直的同一條直線上兩點間的電勢差與兩點間的距離成正比。設直線OB上的M點與A點等電勢，M與O點的距離為x，如圖13所示，則有

圖13

MA為等勢線，電場必與其垂線OC方向平行。設電場方向與豎直向下的方向夾角為α，由幾何關系可得α=30°，即電場方向與豎直向下的方向的夾角為30°

【點撥】本題在例7的基礎上，設置了復合場背景，在功能分析方面綜合了重力做功和重力勢能的變化，要求綜合運用功能關系、電場力做功與電勢差關系，再結合電勢差與電場強度關系的兩個推論求解。

【設計意圖】試題以電場、重力場組成的復合場為背景設置了較為復雜的相關問題，考查學生對物理模型(重力場模型、電場模型、運動模型等)的科學構建及從受力、運動、做功和能量轉化的角度對力電綜合問題的綜合分析能力，引導學生應用電勢差與電場強度的關系解決問題。