芻議三維物理問題的試題編制與分析策略

2020-11-18 22:52:36福建鄭行軍

教學考試(高考物理) 2020年5期

福建鄭行軍

(作者單位：福建省福鼎市第一中學)

中學物理的三維問題是指物體運動過程的軌跡、位移、速度、電場強度等描述參量不以一維或二維坐標呈現，而是以三維空間的形式設置物理情境。立體空間建構的主要目的是通過轉化或降維展開平面實現物理三維視圖的直觀可視處理，使物理問題能在低維度情況下進行觀察、想象和分析。從知識結構來看，三維物理問題具有明顯的數理融合特征，既要掌握物理模型相關必備知識，又要靈活應用數學方法進行轉化處理；從考查能力看，主要考查學生空間想象能力和圖像轉化、處理能力，即應用數學知識處理物理問題的能力。因此三維物理問題的分析，對學生掌握數理融合的處理方法、拓展學生的思維能力、構建知識方法結構體系均有積極的意義。

一、三維軌跡問題試題編制與分析策略

1.三維軌跡模型

物體發生較為復雜的曲線運動時，一維或二維坐標無法完整描述軌跡信息，需要以三維空間的形式給予呈現，進而出現三維軌跡模型。必備知識一般涉及運動參量的降維分析或關聯運動矢量的合成與分解。

2.三維軌跡模型的分析策略

軌跡模型的降維目的是呈現物體運動過程的真實路徑，便于觀察和分析運動規律和運動參量的幾何關系，因此平面轉化視角應基于軌跡的直觀可視化描述，適當選擇軌跡面的三視圖或三維面展開圖，若涉及復雜曲線運動的分解則需要做出兩個分運動軌跡面的三視圖。

【例1】如圖1所示，一個驚險的轉盤飛刀表演節目：一個勇敢者身體固定在快速旋轉的豎直轉盤上，另一個飛刀表演者不斷地向轉盤拋出飛刀。假設當轉盤上勇敢者剛好處于水平位置時，飛刀沿著與豎直轉盤平面夾角為θ方向水平拋出，速度大小為v。已知拋出位置在轉盤平面的垂直中軸線上且離轉盤中心距離為L，

圖1

圖2

圖3

聯立得d=2 cm

【點評】小刀在空中運動軌跡與轉盤運動結合產生三維的軌跡模型，因此要真實反映出小刀和轉盤運動的運動參量關系，需進行降維轉化，畫出水平軌跡面和豎直軌跡面的平面視圖，利用水平軌跡面找出水平位移和盤中心距離L的關系，利用豎直軌跡面確定盤面轉過的角度、小刀擊中的位置和豎直位移，通過豎直軌跡面呈現參量的幾何關系，求出小刀與勇敢者的最近距離。本題分析過程軌跡的降維轉化是至關重要的環節，它決定了運動參量能否直觀的呈現，為后繼運算研究提供便利參考。

【例2】如圖4所示，圓臺的上、下底面半徑分別為r1=5 cm、r2=10 cm，母線AB長l=20 cm，一只小蟲(可視為質點)從圓臺母線AB的中點M以恒定的速率v=5 cm/s繞圓臺側面運動到B點(B在下底面)，求：

圖4

(1)小蟲在圓臺側面運動的最短時間；

(2)在滿足(1)條件下，上底圓周上的點與小蟲的最短距離？

【解析】(1)畫出圓臺的側面展開圖(圖5)，將曲面轉換為平面并還原成圓錐展開的扇形，且設扇形的圓心為O。

圖5

由圖得小蟲運動的最短軌跡是直線段MB′，設OA=R，圓心角是θ，則由題意知，

由幾何關系得OM=30 cm，OB′=40 cm，△OMB′為直角三角形，根據勾股定理可得MB′=50 cm

上底圓周上的點與小蟲的最短距離是4 cm。

【點評】小蟲沿圓臺側面不同的路徑到達B點時間不同，曲面軌跡不好分析，可將圓臺側面沿母線展開轉換成平面圖，建構出直觀的小蟲運動平面軌跡，由軌跡圖判斷出直線段MB′最小，可求出最短時間，本題解題的關鍵在于會將曲面軌跡轉為平面軌跡從而降低思考難度，綜合圓臺的幾何性質構設相關幾何變量的方程組而得解。

二、隱含性軌跡問題試題編制與分析策略

1.隱含性軌跡模型

在設計物理情境時對能反映物體運動特征的顯性軌跡進行適當隱藏，或展示對分析過程無關緊要或有一定視覺障礙的軌跡視圖。學生做題時需要在題設給予視圖條件下進行合理的視圖轉換從而描繪出便于問題研究的有效圖示，進而解決問題。

2.隱含性軌跡的分析策略

顯性軌跡的隱藏或展示障礙性軌跡視圖問題，需要根據條件或在原有展示視圖的基礎上，進行規范化視圖描繪或轉化，標準要依據題設要求而定，若關注軌跡則應轉化成能真實反映軌跡路徑的平面視圖，若需反映物理量間的幾何關系和運算則應轉換成以物理量標準化展示為主，便于分析和研究的二維視圖。

【例3】乒乓發球機的簡化模型示意圖如圖6所示，發球機的機頭相當于一個長l=20 cm的空心圓柱(內徑比乒乓球的直徑略大)，水平固定在球臺邊緣O點上方H=45 cm處，可繞C軸在水平面內轉動，從而改變球的落點。球臺長為L=3 m位于球臺中央的球網高h=25 cm，出球口離盛球容器底部的高度H0=50 cm，不考慮乒乓球的旋轉、空氣阻力和發球機軌道對球的阻力，已知重力加速度g取10 m/s2。

圖6

(1)若發球機的機頭不轉動，且出球點在O點正上方，當發球機發出的球能過網且落在球臺上，求發球機出球的速度大小范圍；

(2)若發球機機頭以ω=5 rad/s在水平方向發生順時針(俯視)勻速轉動，且出球時乒乓球相對機頭的速度為9 m/s。求球點轉到O點正上方時所發出球的最后落點位置，以O點為坐標原點，球臺面中軸線為x軸在球臺水平面建立直角坐標系，結果用xOy坐標系中的坐標值表示？

故發球機出球的速度大小范圍為7.5 m/s≤v≤10 m/s

(2)發球機機頭在水平方向發生順時針(俯視)勻速轉動，則乒乓球會在水平方向產生軌跡，畫出水平面俯視圖(圖7)，由圖得機頭轉動的線速度為v3=ωl=5×0.2=1 m/s

圖7

球出后做平拋運動，在xOy坐標系中，縱坐標為y=v3t2=0.3 m，橫坐標為x=v4t2=2.7 m，最后落點位置P坐標為(2.7 m，0.3 m)。

【點評】題目條件只給予了乒乓球沿中軸線做平拋運動的軌跡，在第(2)小題中對乒乓球水平方向的運動軌跡進行隱含，需要根據題目條件及平拋軌跡的特征描繪出乒乓球在水平方向兩個分運動的運動情況，由高度求出平拋運動的時間，將小球出來時的速度沿x和y方向分解，結合兩個分速度求出兩個分位移，確定球落點的位置坐標。

三、三維運動關聯問題試題編制與分析策略

1.三維運動關聯模型

系統內物體間發生相對運動時，運動參量(如位移、速度或加速度等)不共線或不共面，而在三維空間中形成相互關聯模型。問題往往涉及相對運動(如相對速度)分析與運算。

2.三維運動關聯問題的分析策略

三維運動關聯模型主要研究運動參量之間的關聯關系，重點聚焦相對運動的變化規律，因此思考方向應以運動參量(如位移、速度、加速度)的二維展示為目的，對題目條件的三維圖像進行平面轉換，以直觀呈現便于分析運算的參量關聯關系，結合三維結構體的幾何特征求解。

【例4】如圖8所示，長方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，正方形邊長為L，點E在棱AA1上，BE⊥EB1。質點a以速度v沿直線軌跡從C1點向E點勻速運動同時，質點b以速度v沿側面ABB1A1從B點向E點勻速運動，求：

圖8

(1)以質點a為參考系，質點b的速度大小；

(2)若質點a、b恰好在E點相遇，兩質點運動的時間？

【解析】(1)由正方體幾何關系得，B1C1⊥平面ABB1A1，BE?平面ABB1A1，故B1C1⊥BE，又BE⊥EB1，故BE⊥平面EB1C1，BE⊥EC1，由條件可知質點a、b速度方向互相垂直。

圖9

圖10

四、三維位置關聯問題試題編制與分析策略

1.三維位置關聯模型

研究位置不共線或不共面，其承載于空間幾何體上，呈現出三維的立體分布，試題一般結合幾何體的結構特征和物理參量的空間分布規律進行編制和設計，物體的位置分布或運動路徑與幾何體的結構有一定的契合性。

2.三維位置關聯模型的分析策略

位置在三維空間分布有一定復雜性，采用三視圖平面轉化有時無法直觀呈現位置分布的幾何關系，需要根據位置承載的空間幾何體的結構特征，恰當添加截面圖展示幾何體的對稱性，并與物理量分布規律有效結合，將三維問題轉化為二維問題求解。

【例5】如圖11所示，ABCD為一正四面體，A點固定一個電荷量為+Q的點電荷，B點固定一個電荷量為-Q的點電荷，E點為BC邊的中點(圖中未畫出)，以無窮遠處電勢為零。則下列說法中正確的是

圖11

( )

A.C、D兩點的電場強度相同

B.將一正電荷從C點移到E點，其電勢能增加

C.將一點電荷沿直線從D點移到C點，電場力始終不做功

D.若在C點固定一電量為-Q的點電荷，則E點的電場強度指向A點

【解析】等量異種電荷的電場線分布情況如圖12所示；

圖12

如圖13所示，過AB中點F做輔助線FC和FD，由正四面體的幾何結構特征可知，AB⊥平面FCD，平面FCD為側棱AB的中垂面，CD恰好在側棱AB的中垂面上，結合由電場線的空間分布可知C、D兩點的電場強度相同，A選項正確；E點靠近點電荷-Q，結合電場線空間分布，從C點到E點電勢降低，將正電荷從C點移到E點，電場力做正功，其電勢能減小；B選項錯誤；C、D兩點的連線上的任意一點到A和B的距離相等，所以CD均在同一等勢面上，則移動點電荷時電場力始終不做功，C選項正確；C點固定-Q的點電荷，則B、C兩點電荷在E點的場強相互抵消，由電場強度的疊加原理和場強方向特征可知E點的電場強度方向由A點指向E點，D選項錯誤。

圖13

【點評】本題場源位置和研究位置分布在正四面體上，幾何關系不直觀，需要構造正四面體的截面圖(過CD做側棱AB的中垂面)將三維位置關系轉化為二維問題，結合正四體結構的對稱性和等量異種電荷電場線的分布規律綜合分析。

五、三維動力學問題試題編制與分析策略

1.三維動力學模型

物體處于靜止或運動過程受到多個不共線或不共面的作用力而產生三維力學圖示，物體圖像展示可能為平面也可能為三維立體圖像，模型主要聚集力學問題研究。

2.三維動力學模型的分析策略

三維動力學模型的降維目的是直觀、規范呈現物體受力關系，便于觀察和分析力的作用關系，利用圖解法(如平行四邊形定則、三角形定則)或解析法(如正交分解法)求解未知力學量。降維策略主要依據三視圖平面轉化將三維視圖轉換為幾個標準的二維視圖，平面轉化視角應基于受力的直觀可視化描述，具體分為以下幾種類型：

(1)水平面的三維視圖→正視圖

(2)豎直面的三維視圖→俯視圖

(3)斜面的三維視圖→側視圖

(4)若某一平面內受不共線的多個力作用→該平面的正視圖

【例6】如圖14所示，重為8 N的物塊靜止在傾角為30°的斜面上，若用平行于斜面且沿水平方向、大小為3 N的力F推物塊時，物塊剛好被推動。現施加平行于斜面的力F0推物塊，使物塊在斜面上做勻速運動，此時斜面體與物塊間的摩擦力大小為Ff。設最大靜摩擦力與滑動摩擦力大小相等，斜面始終保持靜止，則

圖14

( )

A.F0可能為0.5 N B.F0可能為5 N

C.Ff可能為3 N D.Ff可能為9 N

圖15

圖16

當推力F改為平行斜面的力F0作用時，斜面對滑塊的最大靜摩擦力Ffm=μFN仍為5 N，做出斜面的正俯視圖如圖17，依據平衡條件三個力始終可以構成三力首尾相接的閉合三角形，設靜摩擦力達到最大值，根據三邊關系得Ffm-F1≤F0≤Ffm+F1，即1 N≤F0≤9 N，BC選項正確。

圖17