預與集 辯與補 用與提
——九年級數學幾何復習課網絡直播教學模式探索

一、背景、問題及成因分析

2019 年底一場突如其來的“新冠”疫情打破了2020 年春節的平靜，在“停課不停教，停課不停學”的背景下，教師們積極響應上級號召，通過學習各類信息技術軟件，開始了網上授課的教學歷程。在新的教學模式下，老師們很快就感受到，網上授課與課堂教學之間存在巨大差異，同時也對網上授課的教學模式產生諸多困惑，例如如何運用和掌握最新的信息技術操作線上授課? 在線上教學中，怎樣更好的提升課堂效果，落實教學知識? 怎么培養和提升學生在家學習自律性和主動性? ……問題不斷呈現，亟需教師們解決，因此“這樣的教學有效嗎”成為老師的口頭出現最多的詞語。

本人在此背景下，對于網上授課存在問題和成因進行如下梳理和分析：

1.存在問題 網上授課完全改變了傳統的課堂教學模式，是一種全新的教學模式；它不僅是對教師教學能力的新挑戰，也是學生學習模式的新體驗。在經過一段時間的直播課堂教學后，學生的新鮮感逐漸化為平淡，網課教學的不足也就隨之逐漸暴露：

(1)自覺準時參與上課的學生越來越少，遲到的現象日益凸顯；

(2)課上師生、生生互動的機會嚴重不足；

(3)課后能及時完成網課作業的學生人數越來越少；

(4)作業質量下滑，學生利用網絡搜尋答案現象嚴重，甚至出現同學間抄襲現象。

2.成因分析 就直播課堂教學而言，造成上述這種現象的原因主要有以下幾個方面：

(1)師生之間隔著網絡，沒有往日的耳提面授，學生無形中覺得這樣的課堂并不是真的課堂，因此對于網課有隨意應對的想法。

(2)直播課的形式或內容不夠新穎，無法長期吸引學生的注意力。

(3)直播課缺少師生、生生參與互動的設計。

(4)授課期間，師生之間與生生之間的交流不夠便利。

(5)課間教師無法象面對面的課堂教學那樣，可以直接監管學生的學習態度、學習情緒、學習行為和方法。

二、網課教學的有效實施模式舉例

下面我以一堂初三數學在線幾何復習直播課為例，談一點自己在網課教學中的教學模式或策略。

年初的網絡直播課，對于初三學生而言已是初中數學的第一輪后期復習階段。如何利用網上直播課形式有效的組織學生，做好中考前落實知識點和提升綜合解題能力至關重要。也就是如何有效的利用網課教學，完成教學目標是我首要解決問題。為了解決網上課直播課本身存在的不足，提高網課的教學質量，我在網絡直播授課中，嘗試過各類教學方法，并將課前、課中和課后的各項工作做得更加細致化，力求教學效果的最大落實。

在幾何綜合復習階段，我發現一題多解的教學方法，比較有利于培養學生的發散思維和“再學能力”；串聯知識的內涵和外延，融會貫通，有利于培養分析問題的能力，提煉結論，并從中優化方法的目的。在一段時間的摸索后，最終嘗試了“預與集”、“辯與補”、“用與提”的初三數學網上幾何復習課教學模式，并取得了一定的成效。

1.課前——“預與集”

(1)“預”，就是預設、預習。“預”是一節課開展的前提，在一定程度上決定一堂課的成功與否。從老師層面，教師除了要求對教材內容自如運用之外，還需充分做好課前準備工作。將查閱資料，翻閱各種教材，教學參考書進行整合后，再精心備課。正所謂“凡事預則立，不預則廢。”只有課前的精心預設，才有可能在課堂上實現精彩的生成。對于初三幾何復習課在網上授課教學模式下，題目選擇至關重要，教師需在蕓蕓題海中找到具有典型的題目，作為一節復習課的辯題，而辯題的拋出既要達到復習基礎知識的目的，同時還要達到學生思維力度提升和解題方法優化的目的。

對于學生而言，網上授課受區域和空間的影響，無法達到課堂教學直觀交互和反饋的效果，因此需要學生提前做好“預”的相關工作。例如老師提前公布辯題后，學生需要自行翻閱教材，思考問題，嘗試多種角度去分析并完成辯題。以達到思維能力的自我提升，并為課堂中生生和師生之間的思維碰撞做好準備。

比如，在復習等腰直角三角形幾何知識的時候，為了提高學生利用全等、相似以及解析幾何等綜合思維能力，我選擇了下面這樣一個題目，作為一堂課的“辯”題，使學生基于所學，嘗試運用不同方法解答：

辯題：如圖，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是線段BC 上一動點(與點B，C 不重合)，連結AP，延長CB 至點Q，使得CQ=CP，過點Q 作QH⊥AP 于點H，交AB 于點M。

(1)若∠PAC=α，求∠AMQ 的大小(用含a 的式子表示)；

(2)用等式表示線段MB 與PQ 之間的數量關系，并證明。

(2)“集”即為收集。要求學生根據辯題自主整理完成的各種解答方法，并拍照上交至釘釘家校本中，教師則將學生的各類答案進行批改和收集，做好整理分類，記錄學生完成情況，做到心中有數，課堂設計以學生已有的思路、方法為主，并以此為基礎，設計好能調動師生、生生互動的網絡直播教學問題。

比如上題，在對學生預做答案批改中，我發現：學生基本上從全等三角形的視角出發，運用等腰直角三角形和軸對稱等相關性質求證結論。學生解法統計如下：

通過“預”與“集”，我們就能更好、更合理地安排本次網絡直播教學中的重點和難點，并引導學生體驗和分析：哪種方法好? 還有沒有更好的方法?

2.課中——“辯與補”

(1)“辯”，就是分辨、辯論。“辯”的目的不僅僅在于調動學生認真參與網絡直播課，更重要的是引導學生自主思考如何高效、簡潔、精準解題。

首先，在課堂上，利用圖片、幻燈片等方式，呈現整理好的幾種典型的、比較優秀的解法，由解題人使用釘釘在線視頻、語音及連麥功能，談談他的解題思路和過程，分析困惑，其他同學邊看邊聽，采眾人之長，補已之短。

其次，讓其他學生聽后，談談哪一種方法更好。當學生有想法后，讓學生先回復“1”，再以點名的方式，帶領學生參與辯題環節。此時教師需提前準備一些備用圖形，根據辯題者的講解，添加輔助線，并用手機直播實時呈現。幫助學生在聽的同時，也能直觀的看，動態的思考，實時反饋答辯。在這個基礎上，許多學生都積極參與到課堂辯論和探討中來了。

以上題為例，有時同學添好輔助線完成解答后，其他同學在該圖中換一種思路就又出現了新的解法；有時同學也會提出自己的想法，添好輔助線，可自己又無法證實。這時同學們就充分發揮群體的力量，爭相互動，從中得到優化的解題方法。在辯論中，學生的想法不斷地產生碰撞，創造思維能力得到不斷的提升，對問題的分析解決能力得到更廣的培養，使學生達到解一反三的程度。從而滿足初三學生的復習課目的。

以下為網上課堂實錄：

在“辯”的環節中，學生課堂參與的積極性得到了極大的提高。通過辯題的分析、探究，學生在“辯”的過程中不僅收獲了知識和解題方法，互動中的聲音交流和思維碰撞更是師生之間、生生之間情感的共鳴，為今后開展和諧課堂教學打下良好的情感基礎。

(2)“補”，就是補充、填補。“補”的有效性不僅體現了教師的教學能力，也是幫助學生開闊眼界、提升其綜合解題能力的關鍵。

教師是課堂的“組織者”和“引導者”，同時也是互動、互助高效課堂的推動者。在缺少直接交流、互動的網上授課的教學模式下，教師作為教學活動的引導者，就更需要鼓勵學生在課堂上敢于提出問題和意見，充分表達自己的看法。當學生出現瓶頸時，通過有效的問題討論和思考，引起學生認知重塑和知識遷移，引導學生完成發現問題和解決問題的過程。從而在學生掌握已有的解決方案外，提出或獲取一些新思路新想法，這就需要教師進行適當的“補”。

仍以上題為例，在前面的解法辯論中，各種解法主要從構造全等三角形的視角出發，解法六：從等腰直角三角形入手，利用軸對稱性將它補全為更大的等腰直角三角形來解決問題。因此，作為教師的我，為學生補充如下的思考：

補充思考：能不能用等腰直角三角形與正方形之間存在的諸多聯系，思考并解決本題。如：將等腰直角三角形補全為正方形，如圖：

師：“在正方形中求證線段數量關系，我們常見的方法是什么?”

生：“構造相似”。

師：“那你在圖中如何構造相似呢?”

生：“延長QM，交線段BD 于點N。此時，圖中就出現了由平行線構造的“A”字型和“8”字型相似基本模型”。

師：“是否能通過邊的比例關系進行求解? 你能繼續完成證明嗎?”(此時學生會因為沒有現成的線段比值而糾結，教師可以引導學生通過構造MB 為邊的相似三角形，設正方形邊長設為1，利用邊的比例關系進行求解。)

經思考，學生的具體解答如下所示：

補充解法七：如圖，設CP=x，AC=1.

補充思考：由于△ABC 是等腰直角三角形，則∠ACB=90°，能否以直角頂點為原點，建立平面直角坐標系，將幾何條件代數化，從線段解析式出發，求出點M 最終的坐標，再利用兩點之間的距離公式求得線段長，從而解決此題。如：以C 為原點，以CB 所在直線為x軸，以CA 所在直線為y 軸建立平面直角坐標系，然后再來解答。經思考，學生的具體解答如下所示：

補充解法八：以C 為原點，以CB 所在直線為x 軸，以CA 所在直線為y 軸建立平面直角坐標系。

設CB=1，CP=α，則點C(0，0)，點P(a，0)，點B(1，0)，點A(0，1)，點Q(-a，0)，則kAP=-

∵AP⊥QM，得kQM=α.

∴直線QM 的解析式為y=α(x-α).

∵直線AB 的解析式為y=-x+1.

∴兩直線交點M 的橫坐標x=1-α.

“補”的環節，不僅是教師的補充，也可是學生交流后，由學生自己來補充。在這一環節，學生能更加全面的復習幾何、代數和函數的知識，開闊學生的眼界，提升一題多解的能力。

3.課后——“用與提”一堂課是否有效，我想離不開課后作業的檢測、評價與鞏固。通過練習，可以了解學生對本堂課知識的掌握情況和應用能力，同時也是繼續改進教學的依據。

(1)“用”，就是運用、應用。即學生把直播課中學到的知識，靈活地“用”在變式訓練中。著名數學教育家波利亞曾形象的指出：“好問題同某種蘑菇有些相像，它們都成堆地生長，找到一個以后，你應當在周圍找一找，很可能附近就有好幾個”。因此在一題多解后配以有效的變式訓練是極有必要的。它是幫助學生克服思維的狹窄性的有效方法，即學生廣泛存在“只知其一，不知其二”，“聽的懂，但換個條件又不會”的實際困難。

變式教學是指變換問題的條件或結論，變換問題的形式，而不變換問題的本質，使本質的東西更全面。它的有效教學，將幫助學生培養創新意識，拓展學生的創新空間。

比如：將上題中的條件稍作變動后，既可作為課后作業，也可用作學生遷移運用的練習。

如：將題中條件“P 是線段BC 上一點”稍加改動，則：

變式1 如右圖，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是射線CB 上一點(在B 點右側)，連結AP，延長PC 至點Q，使得CQ=CP，過點Q 作QH⊥AP 交PA延長線于點H，交BA 延長線于點M，用等式表示線段MB 與PQ 之間的數量關系，并證明。

變式2：如右圖，在等腰Rt△ABC 中，∠ACB=90°，P 是射線BC 上一點(在C 點左側)，連結AP，點P 關于AC 的對稱點Q落在邊BC 上，過點Q 作QH⊥AP，延長HQ 交AB 的延長線于點M，用等式表示線段MB 與PQ 之間的數量關系，并證明。

(2)“提”，就是提煉、提升。即在本節課的基礎上，通過變式練習鞏固以后，把本節課學到的解題思路和方法應用于類似題型的環節，這一環節目的在于進一步落實課堂知識，提高學生解題能力。比如，上述網上復習課之后，我布置了如下的作業：

提高練習1.已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A=90°，點D 是腰AC 上一個動點，過點C 作CE⊥BD 的延長線，垂足為E。

提高練習2.在等腰Rt△ABC 中，AB=AC，∠BAC=90°.

(1)如圖1，D，E 是等腰Rt△ABC 斜邊BC 上兩動點，且∠DAE=45°，將△ABE 繞點A 逆時針旋轉90°后，得到△AFC，連接DF.

①求證：△AED≌△AFD.

②當BE=3，CE=7 時，求DE 的長.

(2)如圖2，點D 時等腰Rt△ABC 斜邊BC 所在直線上的一動點，連接AD，以點A 為直角頂點作等腰Rt△ADE，當BD=3，BC=9時，求DE 的長.

三、實效與反思

1.實效 見證一切教學行為是否成功，最終還要看實效。

(1)通過幾節課的操作，學生參與網課學習的積極性、主動性提高了，最明顯的表現就是：遲到的人數逐漸減少；

(2)在互動辯題中，因為學生得到了展現機會，在心理上獲得了更多的肯定和滿足，因此，網課中沉默的學生人數也大大降低，參與討論的人數越來越多。

(3)作業質量明顯有所好轉，抄襲現象基本杜絕，學生在線限時測試成績也得到了提升。

(4)課后學生在釘釘和微信中主動提出問題的現象增加，師生之間的互動交流的同時也增進了師生的情感。

(5)返校復課后，以“辯”題為母本的一題多解教學模式得到很好的沿用，學生課堂參與度有了很大的提高。

2.反思 “預與集、辯與補、用與提”教學模式，在線上教學相對受限的情況，盡可能地提高了學生的課堂參與度和獲得感。在學中獲得知識和肯定，提高上課的效率。為知識點落實提供相對的保障措施。當然在操作中，我們還有一些的困難與不足亟需解決。

(1)備課中，教師需要精細挑選備好本節課的題目，包括課后的變式和練習。在這個過程中，教師將花費較多的時間和精力。當然所有的努力都是為了學生能精學精練，培養舉一反三的數學解題能力。

(2)辯題過程中不能實現同時多人之間的連線辯題，這樣對于上課的活躍度有一定的影響。因此今后可以嘗試其他的網絡授課軟件，尋找出最佳上課拍檔。

(3)“預與集、辯與補、用與提”的教學模式，目前主要嘗試應用與數學幾何復習課中，對于代數知識的復習課模式，還需不斷嘗試和摸索。

(4)學生的作業，除了被評為優秀作業外，其他的獎勵措施還沒有及時跟進，長此下去，將影響學生辯題的積極性，也不利于成就感的獲得。

在今后的授課中，我們可以及時將解法進行收集、整理和打印，最好能整理成冊。為了提高學生的成就感和表現欲，我們可以將它命名為“2020 級11 班”經典解題集，作為班級數學共享資源，以便發揮出更大的價值。在解題集中我們甚至可以將某些同學的經典解題方法以他的姓名來命名，以此培養學生數學學習興趣。點滴的積累，滿滿的收獲。

在疫情期間，讓我們教師堅守教育夢想，順應教育教學的時代要求，化被動為主動，在不平凡的時期，打造不一樣的精彩課堂。