淺談方陣的冪的求法

孫 鵬 郭 穎 劉 志

（吉林大學，吉林 長春 130000）

在矩陣的運算中，乘法是經常用到的一種計算，矩陣的乘法與數的乘法不一樣，是不滿足交換律的，但是如果矩陣A是一個方陣，那么則可以定義矩陣A 與自身的乘法，即矩陣的冪。矩陣的冪的形式如下：AK=A…AA，稱為A 的K 次冪。

求矩陣的冪如果按照通常矩陣的乘法計算是可以計算出來的，但是當矩陣的冪比較大，通常K≥3 的時候，特別地，如果矩陣的階數也比較大的時候，計算量就很大了，不容易得出最后答案。本文針對幾種不同形式的矩陣結合例題給出求矩陣的冪的方法。

一、數學歸納法

如果一個矩陣的階數不高,并且通過低次冪的計算能夠容易找到An與n 的關系,可以用歸納法證明這種關系,并且用于計算。

例題：設矩陣

故n=k+1 時,（*）式成立。因此，對任何正整數n（n≥2），（*）式恒成立。

二、乘法結合律法

我們知道，直接求矩陣的冪一般會相當麻煩,但是如果一個矩陣可以分解成列向量乘以行向量的形式,再利用矩陣的結合律,就可以大大化簡矩陣的冪的計算.

例題：已知

如果一個矩陣的行與行直接和列與列直接成比例，就可以分解成列向量乘以行向量的形式，這樣就可以用上述方法求矩陣的冪，使得求解矩陣的冪變得容易計算.

三、矩陣對角化法

若矩陣A 可以相似對角化,則可以利用求出矩陣的特征值,求出A 的相似對角矩陣,進而利用對角矩陣求冪,使得簡化計算的冪。

例題：已知

四、將矩陣做拆分計算

利用公式A=aI+bB 把矩陣拆為與單位矩陣相關的和的形式,其中a，b 是數,且B 的方冪容易計算.

例題:設矩陣

以上幾種方法在線性代數的學習中,能夠幫助同學們比較好地了解方陣求冪的基本方法,熟練掌握會得到事半功倍的效果。