從“本質”出發，促進學生的深度學習——以“乘法分配律”教學為例

廣東深圳市鹽田區田東小學 李 軍

一、課前思考

筆者觀摩了好多課堂，發現一些教師非常注重“如何教”，卻不注重學生“學什么”“如何學”。學習如果不能把握知識的“本質”，觸及不到知識的內核，學生的學習只能淺嘗輒止，無法進行深度學習。本文試圖以“乘法分配律”內容教學為例，闡述如何從知識的本質出發，有效促進學生的深度學習。

乘法分配律是學生在已經學習掌握了乘法交換律、結合律，并能初步應用這些定律進行一些簡便計算的基礎上進行學習的。乘法分配律是運算律單元的教學重點，幾個版本的教材基本都是按照分析題意、列式解答、舉例類比、觀察發現、應用提升等層次進行的。這是學生初步接觸乘法分配律，學好分配律是學生后續進行簡便計算的前提和依據。

那么乘法分配律教學的起點到底在哪里？應從生活中引入還是從運算中引入？人教版、蘇教版、北師大版數學教材都是從購物等生活問題中引入乘法分配律，讓學生通過舉例，在不完全歸納推理比較中逐步發現蘊藏在其中的規律。筆者前期的教學設計也一直按照這樣的思路進行，在實際教學時總感到不順，學生也感到理解吃力，學生在實際應用中也不太順手，明明都能說出分配律的內容和表現形式，為何作業中的錯誤卻頻繁出現？筆者思考：我們一直把分配律當作一個全新的知識來教學，其實早在二年級學習兩位數乘一位數及其口算時學生就開始不自覺地使用乘法分配律了。乘法分配律的本質實則是乘法計算的算理和支撐，有效教學的起點是學生的計算經驗而非日常生活，應以此為切入口設計教學。乘法的原理是不是就是學生學習分配律的“最近發展區”？是不是就是學生思維生長的關鍵節點？想到此處，筆者頭腦中突然冒出一個想法：教學乘法分配律時何不嘗試從乘法的意義入手，讓學生在回顧乘法過程、理解乘法算理的基礎上很自然地得出乘法分配律，讓規律自由“生長”出來！學生不但知道乘法分配律從哪里來，比較容易理解乘法分配律的意義，而且能理解得比較深刻，有利于學生掌握知識，從而促進深度學習。

筆者期待，這樣的教學，會不會讓學生有一種“驀然回首，那人卻在燈火闌珊處”的頓悟感？同時，筆者更期待，學生在心底自然而然地“生長”出規律后，會不會這樣去反思：很多內容，如果我們能思考和比較得更加深入一點，多一個角度去觀察，是不是會自然地“生長”出更多意想不到的知識和規律呢？

二、實踐嘗試

課前：在黑板上板書5×3和（5+4）×3兩個式子，問：各表示什么意思？

（一）復習舊知，引出問題

1.問題引入

（1）出示：25×14

師：算式表示什么？如何計算？自己把算式寫在作業本上。

（學生展示自己的作業并說說是怎么計算的）

師（追問）：25×4怎么算的？剛剛我們在計算25×14的時候先算什么？再算什么？

（板書：25×4、25×10）

師：然后呢？（在25×4和25×10之間寫個“+”號）

（師引導學生觀察黑板上的兩個式子： 25×14， 25×10+25×4）

師：兩個算式有什么不一樣？

（板書： 25×14 25×（10+4） 25×10+25×4）

生：左側表示14個25，中間是10與4的和乘25也表示14個25，右側10個25加4個25。

師：現在可以在這三個算式之間畫“=”嗎？

（2）出示15×12

師：這個算式能寫出這個模式嗎？又表示什么呢？

生：15×12=(10+2)×15=10×15+2×15。（師板書）

師（追問）：相等嗎？誰能說明白為什么？

（3）出示：23×16

師：你能寫出上面的格式嗎？自己在本子上寫一寫。

師（板書）：23×16=(10+6)×23=10×23+6×23

同意這種寫法嗎？為什么？

2.嘗試探究：先做后說

出示嘗試問題1：

（20+3）×37=

（10+9）×23=

（32+25）×74=

（學生獨立完成后上臺展示，引導學生觀察等號左側和右側的相同與不同）

嘗試問題2：出示（16+△）×51=

（△+□）×○=

（a+b）×c=

3.比較歸納

師：這就是乘法分配律，而且有自己的語言表達形式。

（學生嘗試用自己的語言表達后教師進一步完善乘法分配律的表述）

師：對于發現乘法分配律的過程，你有什么想法？

生：看來，只要我們認真觀察，深度思考，就會發現最常見的計算里面也蘊藏著一些重要的數學運算規律！

（二）回顧反思，感悟規律

師：同學們回顧一下，在我們學習的過程中，還在哪兒看到或者用到過類似乘法分配律呢？

學生在經驗的有效激發下，回憶起諸如長方形周長計算的兩種方法之間的關系、兩個圖形面積之和的不同算法，在回憶和比較中將以前學習的知識與當前學習的規律進行串聯和溝通。

（三）應用規律，鞏固提升

過程略。

（四）總結回顧，深化認知

教師指著（5+4）×3算式說，“分配律”，就是先“分”后“配”的規律，引導學生從算式意義的角度，一步步梳理和板書出“分”“配”的過程。

師：今天這節課，你有什么收獲？從中你得到什么啟發？

師：很多時候，我們面對熟悉的知識、情境、問題，可以試著往深處想一想，這些知識的背后，是不是蘊藏了一些規律？是不是隱藏了一些看不見的奧秘？經常這樣往深處去思考，我們的思維會變得更有深度！

師：比如，（指著黑板）這個地方是加號。那如果是減號又該如何呢？乘法分配律除了支撐乘法的算理，還有什么其他作用呢？

（學生帶著思考下課）

三、課后思考

本節課教師大膽變革，重在從計算入手，從學生已經學過的習以為常的兩位數乘法開始，一步步引導學生從計算的本質出發，促進學生的深度學習。

首先，在探索運算律的過程中感受演繹推理的價值。在此過程中，嘗試讓學生從演繹推理的角度，來感悟乘法分配律是在計算的基礎上自然而然產生的規律，探究算理的過程，就是“生長出”規律的過程，讓學生明白：運算律就隱藏在我們常見的運算之中。多數教學這部分內容時都是從生活中的事例出發，通過大量舉例后比較發現規律，利用合情推理的思想方法組織學生探究規律。而上述教學案例則是從“事理”走向了“算理”，讓學生利用演繹推理思想方法來探究規律，讓學生在探究規律的過程中獲得一種“頓悟”感，初步感受小學階段不常用“演繹推理”的力量，也讓學生從“意義”“算理”等本質角度展開他的學習之旅。這樣的學習更具有深度，更接近數學的本質，讓學生更容易理解和接受，也對“分配律”理解得更加深刻。

其次，在回顧反思的過程中感受多元表征的方式。在發現的過程中，學生通過對計算的過程進行分析，從而發現了乘法分配律。學生發現后先用自己的語言來描述規律，此時屬于“語言表征”，在學生描述的基礎上引入“符號表征”，體會數字換成符號同樣可以表征規律，而且更具有一般性。隨后，在回顧環節，學生不僅回憶起學過的大量計算的算理運用了乘法分配律（如12×3的口算過程），而且回憶起周長的兩種計算方法之間也有分配律，此時教師借助學生的回答，呈現如圖1的例子。讓學生將符號表征與圖形表征相結合，此時又對分配律進行了“圖形表征”，從而學生對乘法分配律的理解和記憶更加形象、深刻，同時也初步感受了數形結合思想和模型思想。

再次，在理解本質意義的過程中讓深度學習發生。課前，筆者進行了一個簡單的提問：5×3表示什么？（5+4）×3又表示什么？這里看似簡單了解性的提問，其實是有深意的。目的是讓學生從乘法意義的角度，來溝通乘法和加法之間的聯系。乘法分配律是運算律中唯一包含兩種運算的規律，是溝通乘法和加法（減法）之間關系的運算律，這與其他運算律也是有很大區別的，為后續學生的認知進一步拓展建立深刻印象。后續探究乘法分配律，也是從乘法意義的角度來分解出相對應的等式，在觀察等式的基礎來發現規律。最后應用總結階段，筆者回到課前的簡單提問“（5+4）×3”，引導學生經歷了一個別樣的先“分”再“配”的過程（如圖2）。這樣的教學，無疑是從本質出發，從意義入手，讓學生沿著知識的本源探究，讓學生觸及數學學科的本質，展開深度學習和思考，無疑是一種有益的嘗試。