“氣缸模型”常見的呈現方式與解法分析

2020-11-20 01:21:00福建姚龍楷

教學考試(高考物理) 2020年6期

福建姚龍楷

“氣缸模型”是熱學中最具實用價值的模型，由于外界條件的變化而引起氣缸內氣體的狀態發生變化，往往涉及封閉氣體、氣缸和活塞等多個研究對象，通過“氣缸模型”既能考查學生對力學、熱學知識掌握的程度，又能考查學生綜合運用知識和解決問題的能力。近五年的高考試卷幾乎年年有此類問題，預計其仍會是今后高考的熱點問題。因而在復習中要高度重視對氣缸類問題的歸類分析，從鉆研典型習題入手，達到分析和解決同類問題的目的，提高觸類旁通的能力。

其解題的一般思路是：以封閉氣體為研究對象，列出理想氣體的狀態方程；以封閉氣體的物體(如活塞、桿等)為研究對象，列出力的平衡關系方程；再結合有關幾何關系，聯立求解待求的物理量。

一、單氣缸單氣體單過程問題

【例1】一圓筒形氣缸靜置于地面上，如圖1所示。氣缸的質量為M，活塞(連同手柄)的質量為m，氣缸內部的橫截面積為S，大氣壓強為p0，平衡時氣缸的容積為V，現用手握住活塞手柄緩慢向上提，設氣缸足夠長，在整個上提過程中氣缸內氣體溫度保持不變，并不計氣缸內氣體的質量及活塞與氣缸壁間的摩擦。求將氣缸剛提離地面時活塞上升的距離。

圖1

【解析】設氣缸內氣體原來的壓強為p1，活塞處于平衡狀態，則有p1S=p0S+mg①

氣缸剛提離地面時，設氣缸內氣體壓強為p2，地面對氣缸的支持力為零，氣缸處于平衡狀態，則

p0S=p2S+Mg②

對于氣缸內氣體由玻意耳定律可知

p1V=p2(V+Sh) ③

其中h為活塞上升的距離。由①②③式可得

【點評】應用理想氣體狀態方程解決實際問題，要選擇一定質量的理想氣體為研究對象，分析它們平衡時初狀態和末狀態的狀態參量是解題的關鍵。特別是題目給出滿足特定條件狀態下氣體壓強的分析尤為重要。

對本例題研究活塞的平衡初狀態，由①可求出p1；研究氣缸的臨界平衡末狀態(氣缸剛要離地時的平衡態)，由②式求出p2。綜合上述兩個力學平衡方程和一個理想氣體狀態方程，就能找出解題的突破口。

二、單氣缸單氣體雙過程問題

【例2】如圖2所示，一直立的氣缸由橫截面積不同的兩圓筒連接而成，活塞A、B用一長為2l的不可伸長的細線連接，它們可在筒內無摩擦地上下滑動。A、B的橫截面積分別為SA=20 cm2，SB=10 cm2。A、B之間有一定質量的理想氣體。A的上方和B的下方都是大氣，大氣壓強始終保持為1.0×105Pa。

圖2

(1)當氣缸內氣體的溫度為600 K、壓強為1.2×105Pa時，活塞A、B的平衡位置如圖所示。已知活塞B的質量mB=1 kg，求活塞A的質量mA。(計算時重力加速度取g=10 m/s2)

(2)當氣缸內氣體溫度由600 K緩慢降低時，活塞A和B之間的距離保持不變，并一起向下移動(可認為兩活塞仍處在平衡狀態)，直到活塞A移到兩圓筒的連接處。若此后氣體溫度繼續下降，直到活塞A和B之間的距離開始小于2l為止。試分析在降溫的整個過程中，氣缸內氣體壓強的變化情況，并求出氣體的最低溫度。

【解析】(1)活塞A受四個力作用，由平衡條件得

p0SA+mAg+F1-p1SA=0 ①

活塞B受四個力作用，由平衡條件得

p1SB+mBg-F1-p0SB=0 ②

其中F1為細線的拉力，p0=1.0×105Pa，p1為氣缸中氣體的壓強，p1=1.2×105Pa

將①②式聯立解得mA=1 kg

(2)氣缸內溫度從600 K緩慢降低時，氣體先等壓壓縮，直到活塞A移到兩圓筒的連接處為止，然后再等容降溫，再到細線張力變為零。

當活塞A和B之間的距離小于2l，細線張力變為零，活塞B靜止，作用于B的合力為零，即

p0SB-p3SB-mBg=0 ③

解得p3=9×104Pa

氣體經歷的兩個過程三個狀態如下所示

p3=9×104Pa

V3=SB·2l

T3=?

由③④⑤式解得T3=300 K

【點評】解本題關鍵在于對每一個物理狀態、情景作深層次的具體分析，在第一問中細線是處于張緊狀態的，所以，活塞A和B受四個力而不是三個力，分析出這一點后才能用平衡方程求解mA。

解答第二問要弄清楚整個過程分兩個階段，第一階段由題中所給的狀態到活塞A落在兩筒的連接處，這一階段氣體的狀態變化屬于等壓過程，而兩個活塞仍處于平衡狀態，細線仍張緊；根據這個才能判斷氣體體積的變化，從而可求氣體的溫度T2。此后氣體溫度繼續下降進入第二階段，題目指出“氣體溫度繼續下降，直到活塞A和B之間的距離開始小于2l為止”，這就表明在A、B活塞間距等于2l的過程，氣體的狀態變化屬于等容變化。在A、B間距剛要小于2l時氣體的溫度就是第二問要求的最低溫度T3。

由本例的解答過程給我們的啟示是：即使氣體變化含有多個過程，只要分析清楚各階段的變化特征，找出狀態參量的變化關系，就能應用相應的定律求解，難題也就不難了。

另外，對于多個研究對象和多過程的問題，若能靈活應用整體法與全過程法，往往能使解題簡化。

對本例題，(1)對A、B兩活塞進行整體分析受力，由平衡條件得p0(SA-SB)+(mA+mB)g=p1(SA-SB) ⑥

聯立③⑥⑦即可得T3=300 K。

三、單氣缸雙氣體單過程問題

【例3】活塞把密閉氣缸分成左、右兩個氣室，每室各與U形管壓強計的一臂相連。壓強計的兩臂截面處處相同。U形管內盛有密度為ρ=7.5×102kg/m3的液體。開始時左、右兩氣室的體積都為V0=1.2×10-2m3，壓強都為p0=4.0×103Pa，且液體的液面處在同一高度，如圖3所示。現緩緩向左推進活塞，直到液體在U形管中的高度差h=40 cm。求此時左、右氣室的體積V1、V2。假定兩氣室的溫度保持不變。計算時可以不計U形管和連接管道中氣體的體積。取g=10 m/s2。

圖3

【解析】以p1、V1表示壓縮后左室氣體的壓強和體積，p2、V2表示這時右室氣體的壓強和體積。則有

p1V1=p0V0①

p2V2=p0V0②

V1+V2=2V0③

p1-p2=Δp=ρgh④

解以上四式得

解方程并選擇物理意義正確的解得到

代入數值得V1=8.0×10-3m3

V2=2V0-V1=1.6×10-2m3

【點評】1.本題破題要點：“緩慢向左推進活塞，直到液體在U形管中的高度差h=40 cm”。隱含因左邊氣體的壓強大、右邊氣體的壓強小導致左、右兩邊液面出現高度差的信息，在達到h=40 cm后有平衡方程：p1=p2+pgh。

2.對有相互聯系的兩部分(或幾部分)氣體，我們簡稱之為“關聯氣體”。研究該類問題時：(1)一般涉及兩類研究對象：一是取質量一定的封閉氣體為熱學研究對象；二是取封閉氣體的液柱或活塞為力學研究對象。(2)兩種研究對象的聯系：氣體的壓強、氣體的體積。(3)分析思路：熱學重在狀態參量的分析，力學重在通過運動狀態利用牛頓第二定律或平衡條件確定氣體的壓強。

四、雙氣缸雙氣體單過程問題

圖4

【解析】活塞平衡時，有

pASA+pBSB=p0(SA+SB)

已知SB=2SA

B中氣體初、末態溫度相等，設末態體積為VB，則有

五、雙氣缸雙氣體雙過程問題

【例5】如圖5所示，A、B為兩個固定的、橫截面積相同的氣缸，各有一個由硬質細桿連接的無摩擦活塞。兩個氣缸中分別充入理想氣體，當A中氣體的體積為B中氣體體積的1.8倍時，活塞處于平衡狀態。若在A活塞上加一水平推力，A、B中氣體的體積相等。若將該推力水平向右加在B活塞上，那么A、B中氣體的體積比是多少?(設氣體溫度不變)