基于四元數(shù)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換在大型LNG鋼結(jié)構(gòu)工程建造測(cè)量中的應(yīng)用

葛仁磊，李家軍，楊現(xiàn)陽(yáng)，張 健

(海洋石油工程股份有限公司，青島 266520)

0 引 言

在高精度大型工程測(cè)量中，建造坐標(biāo)系往往基于自身的局部參考坐標(biāo)系，與設(shè)計(jì)安裝坐標(biāo)系不統(tǒng)一，會(huì)影響工程建造質(zhì)量和進(jìn)度[1-2]，需要進(jìn)行三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換實(shí)現(xiàn)建造坐標(biāo)系和安裝坐標(biāo)系的統(tǒng)一。傳統(tǒng)的三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型一般用歐拉角構(gòu)建旋轉(zhuǎn)矩陣，計(jì)算過(guò)程復(fù)雜[3-5]，四元數(shù)幾何意義明確，計(jì)算速度快，可表示所有旋轉(zhuǎn)，無(wú)奇異值[6]，非常適合空間大角度三維坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算。本文基于單位四元數(shù)構(gòu)造旋轉(zhuǎn)矩陣，引入最小二乘原則，實(shí)現(xiàn)了高精度大型LNG鋼結(jié)構(gòu)甲板片建造坐標(biāo)系與安裝坐標(biāo)系的統(tǒng)一。與傳統(tǒng)計(jì)算方法相比，該方法可快速實(shí)現(xiàn)三維坐標(biāo)高精度轉(zhuǎn)換，提高工程建造速度和精度。

1 四元數(shù)基本介紹

三維空間的旋轉(zhuǎn)用四元數(shù)可表示為[7]

q=w+xi+yj+zk

(1)

其中：

(2)

四元數(shù)旋轉(zhuǎn)公式為

(3)

2 基于四元數(shù)的最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換

點(diǎn)Fi和Di的坐標(biāo)關(guān)系可由旋轉(zhuǎn)矩陣R和位移矢量T表示：

(4)

利用四元數(shù)法可以方便地求解出旋轉(zhuǎn)矩陣R，根據(jù)式(3)，令

w2+x2+y2+z2=1

(5)

將式(5)代入式(3)并整理，得

(6)

w、x、y、z除了滿足限制條件式(5)外，將式(6)代入式(4)，得到誤差方程：

即

(7)

式(6)中共有w、x、y、z、Tx、Tx、Tx7個(gè)參數(shù)，且有一個(gè)限制條件：w2+x2+y2+z2=1，w≥0。本文使用基于最小二乘的條件平差進(jìn)行解算，由于誤差方程(7)并不是線性函數(shù)模型，需要對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行線性化后迭代解算，初始值的先驗(yàn)估計(jì)可使用任意三點(diǎn)進(jìn)行。

3 實(shí)例應(yīng)用及分析

本文以海洋石油工程股份有限公司在建某大型高精度LNG鋼結(jié)構(gòu)甲板片建造為例，該甲板片結(jié)構(gòu)模型及設(shè)計(jì)坐標(biāo)如圖1所示，尺寸為32 m×40 m，結(jié)構(gòu)軸線為4 m×5 m，共20個(gè)關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，各節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公差要求為±5 mm。施工現(xiàn)場(chǎng)測(cè)量數(shù)據(jù)利用徠卡TS30全站儀，采用自由定向測(cè)量獲取，測(cè)量點(diǎn)分布如圖2所示，各點(diǎn)坐標(biāo)值和對(duì)應(yīng)信息如表1所示。

表1 L1-1測(cè)量點(diǎn)及理論點(diǎn)坐標(biāo) (單位：mm)

圖2 測(cè)量點(diǎn)分布

圖1 甲板片結(jié)構(gòu)模型及設(shè)計(jì)坐標(biāo)(單位:mm)

各理論點(diǎn)坐標(biāo)為圖紙?jiān)O(shè)計(jì)坐標(biāo)，測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)由于采取自由定向測(cè)量，導(dǎo)致理論點(diǎn)坐標(biāo)與測(cè)量點(diǎn)坐標(biāo)之間產(chǎn)生空間旋轉(zhuǎn)，但各測(cè)量點(diǎn)與理論點(diǎn)空間上保持一一對(duì)應(yīng)。

3.1 數(shù)據(jù)計(jì)算

3.1.1 傳統(tǒng)方法計(jì)算

傳統(tǒng)計(jì)算方法：先計(jì)算甲板片水平，再進(jìn)行水平面投影，以甲板片四條邊的中心點(diǎn)為原點(diǎn)建立基于自身的局部參考坐標(biāo)系，計(jì)算各節(jié)點(diǎn)偏移。該方法使用條件：需將甲板片水平調(diào)至公差范圍內(nèi)，否則會(huì)導(dǎo)致尺寸、偏移數(shù)據(jù)因投影計(jì)算而失真。

計(jì)算結(jié)果如圖3所示，甲板片水平值為-63～+62 mm。除C2和D1節(jié)點(diǎn)外，皆不符合公差要求，各節(jié)點(diǎn)偏移數(shù)據(jù)中有4個(gè)節(jié)點(diǎn)Y方向偏移值超出公差要求。按照此計(jì)算方法，該甲板片需要調(diào)整為水平狀態(tài)，重新采集數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，但甲板片尺寸巨大，噸位重，施工調(diào)整水平存在較大困難，須耗費(fèi)大量時(shí)間和人力物力，易引起結(jié)構(gòu)變形等質(zhì)量問(wèn)題和施工進(jìn)度。

圖3 傳統(tǒng)方法甲板片計(jì)算結(jié)果(單位：mm)

3.1.2 基于四元數(shù)的最小二乘坐標(biāo)轉(zhuǎn)換計(jì)算

首先，基于最小二乘原則進(jìn)行七參數(shù)的迭代計(jì)算，可以按照如下步驟進(jìn)行：

(1) 將誤差方程(7)線性化(具體方法見(jiàn)參考文獻(xiàn)[9])。

(2) 進(jìn)行初始值估計(jì)(任意選擇三個(gè)點(diǎn)，在本例中使用1、2、3號(hào)點(diǎn)進(jìn)行初始值估計(jì))。

(3) 將初始值代入步驟(1)中線性化后的誤差方程，并求得七參數(shù)據(jù)的變化值Δ。

(4) 將初始值與Δ相加，求得最新初始值。

(5) 重復(fù)步驟(3)和(4)，直至Δ的值很小，達(dá)到旋轉(zhuǎn)精度。

計(jì)算結(jié)果如表2所示，由表2可知，經(jīng)過(guò)六次迭代計(jì)算后，各參數(shù)的精度可達(dá)到亞毫米級(jí)，已經(jīng)超過(guò)全站儀的測(cè)量精度，滿足計(jì)算要求。

表2 七參數(shù)計(jì)算結(jié)果

將得到的七參數(shù)進(jìn)行甲板片各節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)擬合計(jì)算，結(jié)果如圖4所示，可知各節(jié)點(diǎn)水平值為-3～+4 mm，滿足公差要求，各節(jié)點(diǎn)偏移值皆在5 mm以內(nèi)，滿足公差要求。

3.2 數(shù)據(jù)對(duì)比分析

將圖3和圖4的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比計(jì)算，如表3所示。

圖4 計(jì)算結(jié)果(單位：mm)

表3 傳統(tǒng)方法與四元數(shù)法精度對(duì)比

由表3可知，采用基于四元數(shù)最佳擬合后的數(shù)據(jù)皆符合公差要求，并且X方向、Y方向和水平值的平均值和均方根值皆大幅降低。原因是采用四元數(shù)方法計(jì)算時(shí)，能夠擬合最佳平面，避免了水平調(diào)整的巨大工作量，并且該方法以安裝坐標(biāo)系為基準(zhǔn)，將擬合誤差均勻分配至各點(diǎn)，克服了局部坐標(biāo)系與甲板片安裝坐標(biāo)系不一致問(wèn)題，提高擬合計(jì)算精度。

為了充分驗(yàn)證基于四元數(shù)最佳擬合算法的正確性，總裝階段針對(duì)實(shí)驗(yàn)?zāi)K進(jìn)行了充分的調(diào)整，最終結(jié)果如圖5所示，與四元數(shù)最佳擬合得到的結(jié)果(見(jiàn)圖4)高度一致，充分說(shuō)明了該算法的正確性與可用性。

4 結(jié) 語(yǔ)

四元數(shù)法是一種非常簡(jiǎn)潔有效的描述物體轉(zhuǎn)動(dòng)的工具，幾何意義明確、計(jì)算簡(jiǎn)單、擬合精度高，是高精度大型工程測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算中最常用的擬合方法之一。本文基于四元數(shù)的最佳擬合法，實(shí)現(xiàn)了甲板片各節(jié)點(diǎn)施工坐標(biāo)系和安裝坐標(biāo)系之間的統(tǒng)一。與傳統(tǒng)計(jì)算方法相比，將誤差均勻分配至各擬合點(diǎn)，基于四元數(shù)的最佳擬合法可大大提高工程施工建造的進(jìn)度和精度，提高工程測(cè)量數(shù)據(jù)處理的自動(dòng)化程度，對(duì)提高數(shù)據(jù)的可靠性與規(guī)范性、最佳擬合法的編程實(shí)現(xiàn)及工程應(yīng)用都具有很好的指導(dǎo)意義。