高中數學解題中構造法的應用措施

■尹 艷

作者單位：江蘇省蘇州市相城區望亭中學

構造法簡單來講主要指的是能夠以題目結論、題干給出條件及自身性質特點，結合條件構造與之相符的數學形式。在數學解題中運用構造法主要是為了轉變題目表現的未知條件成為已知量，從而提高同學們的數學解題效率。

一、運用于函數解題

在高中數學知識中，函數具有舉足輕重的作用，同學們在學習相關知識時，不僅要掌握具體的解題技巧，還要具備符合自身學習情況的解題思想，這也是同學們解答數學問題的關鍵。尤其對于幾何、代數類型數學題的解答，均要考慮到函數思想，通過運用構造函數簡化原本繁雜的問題，從而培養同學們對該類問題的解答能力。

例1如果1，證明：x+y=0。

證明：構造函數(x∈R)，易證f(x)在R上是奇函數且單調遞增。因為，所以lg1=0。所以f(x)=-f(y)，即f(x)=f(-y)。又因為f(x)屬于增函數，所以x=-y，即x+y=0。

二、運用于方程解題

同學們在學習高中數學知識的過程中，可以發現方程密切聯系函數，均是以題型為依據給出數量、結構特征關系。解題時可以運用構造法組成一個或多個等量公式，這樣一來便可以將原本復雜的問題更加簡單化，可以有效提高同學們的解題質量及解題速度。

例2已知a，b，c均為實數，滿足條件a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b。

解析：由已知條件我們發現該題的解題突破口尋找難度較大，但是經過構造方程，則可以迅速找出解題思路。與已知條件相結合可得a+b=6，ab=c2+9，所以直觀可見a，b與一元二次方程的兩個根十分相似。所以結合已經掌握的韋達定理，構造方程t2-6t+(c2+9)=0。由于Δ=(-6)2-4(c2+9)≥0，可以得出36-4c2-36=-4c2≥0。據此可以得出c2≤0，結合題干中的已知條件c為實數，所以可以得出c2=0，證得a=b=3。

三、運用于向量解題

通過構造向量能夠有效增加解題效率，尤其對于多不等式結構，譬如M1M2+N1N2，可以運用向量的數量積表示，變形原本不等式，從而提供新的不等式證明法。

例3在數列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+1，求通項an。

解析：很顯然，該數列{an}并非等差或者等比數列，所以不好通過等差或者等比數列公式來求。而所給出的條件可變形為an+1=2an+1，于是可構造出等比數列{an+1+1}，即可獲得通項an。由于an+1=2an+1，因此an+1+1=2(an+1)，換言之就是說數列{an+1+1}為等比數列，首項為a1+1=1+1=2，公比為q=2。通過變形構造出一個等比數列，進而求得通項。

四、運用于數列解題

在高中數學諸多題目的解答過程中，證明不等式的數學題尤為多，通過使用構造法完成數列構造，可以找出較為高效的解題思路。

例4求方程的實數根個數。

解析：由于已知的等差中項為，因此可以設由兩個式子的平方差得出，代入方程組中任意一個方程，得d2=1，因此d=±1，但是均無法滿足都是非負數，因此原方程無實數解。